Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions

1 Convergence des suites et séries de fonctions

1.1 Convergence des suites de fonctions

Définition 1.1.1. convergence simple

On considère un intervalleIde R, une suite de fonctions fn:I→Ket une fonction f:I→K.

On dit que (fn)converge simplementvers fsurIsi :

∀x∈I , f(x) = lim

n→+∞fn(x).

On dit alors quef est limite simplede la suite de fonctions (fn).

Définition 1.1.2. convergence uniforme

On considère une suite de fonctionsfn:I⊂R→K et une fonctionf:I→K.

On dit que (fn)converge uniformémentversf surIsi : i. les fonctionsfn−f sont bornées surI

ii. &fn−f&∞I =supx∈I|fn(x)−f(x)| tend vers 0 quandn→+∞. On dit alors quef est limite uniformede la suite de fonctions (fn).

Proposition 1.1.3. [convergence uniforme implique convergence simple]

Soit une suite (fn) de fonctions d’un intervalle I dans K. Si fn est uniformément convergente sur I (ou seulement sur tout segment de I), alors fn est simplement convergente surI. Cette condition suffisante n’est pas nécessaire.

Démonstration. Si fn converge uniformément, surI, pour toutx∈I,|fn(x)−f(x)|!&fn−f&∞et donc la

suite numérique(fn(x)−f(x))converge absolument vers0. "

1.2 Modes de convergence des séries de fonctions

Définition 1.2.1. convergences simple et uniforme d’une série de fonctions

Soit une suite (un)de fonctions d’un intervalleI⊂Rdans K. On dit que la série !unconverge simplement (resp. uniformément) surI si la série de fonctions des sommes partielles (Sn)converge simplement (resp.

uniformément) sur I.

Définition 1.2.3. convergence normale

Soit une suite (un)de fonctions bornées d’un ensembleX dans K.

On dit que la série de fonctions !un converge normalement sur X si la série à termes positifs !

&un&∞

converge, où &un&∞=sup{|un(x)| / x∈X}.

En pratique : Il n’est pas nécessaire de connaître &un&∞pour montrer que !un CVN surI. Il suffit de connaître une série numérique!αnconvergente telle que∀n∈N,∀x∈I ,|un(x)|!αn.

Proposition 1.2.4. [convergence normale implique convergence uniforme]

Soit une suite (un) de fonctions de I dans K. Si !un est normalement convergente sur I, alors !un est uniformément convergente sur I. Cette condition suffisante n’est pas nécessaire.

Démonstration. Si !un converge normalement sur I, pour tout x∈ X, |un(x)| !&un&∞ donc !un(x) converge absolument et le reste d’ordrenvérifie|Rn(x)|=|!

k=n

+∞ un(x)|!!

k=n +∞

|un(x)|!!

k=n +∞

&uk&. Donc&Rn&∞!!

k=n +∞

&uk&∞→0lorsque n→+∞. "

PC 1 - C06 11 novembre 2021

2 Propriétés de la limite d’une suite de fonctions

2.1 Continuité d’une limite uniforme

Proposition 2.1.1. [continuité de la limite d’une suite de fonctions]

Soit une suite (fn)de fonctions d’un intervalle I⊂Rdans K.

On suppose les deux conditions suivantes vérifées : i. les fonctionsfn sont continues surI,

ii. la suite de fonctions (fn)converge uniformément sur I.

Alors la limite de la suite (fn)est continue sur I.

2.2 Intégration d’une limite uniforme

Proposition 2.2.1. [intégration sur un segment d’une limite uniforme]

On considère une suite (fn)n∈N de fonctions deC([a, b],K).

Si la suite (fn)_n∈N converge uniformément sur [a, b]alors la suite"#

a b

fn

$

n∈N

converge et l’on a :

#

a b lim

n→+∞fn= lim

n→+∞

#

a b

fn.

Démonstration. En effet, par convergence uniforme, la limitef est alors continue et :

%%%%%%

%%

#

a b

fn−

#

a b

f%%%%%%%%!#

a b

|fn−f|!#

a b

&fn−f&∞= (b−a)&fn−f&∞ _n→→_+∞0. "

Proposition 2.2.2. [intégration sur un segment d’une série de fonctions convergeant uniformément]

On considère une suite (un) de fonctions deC([a, b],K).

Si la série de fonctions &

unconverge uniformément sur [a, b] alors la série & #

a b

un converge et l’on a :

#

a b'

&

n=0 +∞

un

(

=&

n=0 +∞"#

a b

un

$ .

Démonstration. En effet, la sommeS=&

n=0 +∞

unest alors continue et :

%%%%%%

%%

#

a b

Sn−

#

a b

S%%%%%%%%!#

a b

|Sn−S|!#

a b

&Sn−S&∞= (b−a)&Sn−S&∞_n→→_+∞0. "

2.3 Dérivation de la limite d’une suite

Proposition 2.3.1. [dérivation de la limite d’une suite de fonctions]

On considère un intervalle réel Iet une suite de fonctionsfn∈C¹(I ,K)telle que : i. (fn) converge simplement surI,

ii. la suite (fn$) des dérivées converge uniformément sur (tout segment inclus dans)I.

Alors la limite de (fn)est de classeC¹surIet l’on a :)

n→lim+∞fn

*_$

= lim

n→+∞fn$. Démonstration. Soitf la limite simple de la suite(fn).

Sia∈I, pour tousn∈Net x∈I, fn(x)−fn(a) =

#

a x

fn$

et d’après2.2.1, comme(fn$)converge uniformément sur[a, x] : f(x)−f(a) = lim

n→+∞(fn(x)−fn(a)) = lim

n→+∞

#

a x

f^$=

#

a x lim

n→+∞fn$.

2 Section 2

Donc f est une primitive delimn→+∞fn$ qui est continue surI: f est de classe C¹et f^$=limn→+∞fn$. "

En pratique :Attention ! l’hypothèse de convergence uniforme est sur la suite des dérivées et non sur(fn).

Proposition 2.3.2. [classe C^k de la limite d’une suite de fonctions]

On considère un intervalle réel Iet une suite de fonctionsfn∈C^k(I ,K)telle que : i. Pour tout i∈!0, k−1", la suite +

f_n⁽ⁱ⁾,converge simplement surI, ii. la suite+

f_n^(k),

des dérivéesk-ièmes converge uniformément sur (tout segment inclus dans) I.

Alors la limite de (fn)est de classeC^k surIet l’on a, pour touti∈!1, k" : ) lim

n→+∞fn

*_(i)

= lim

n→+∞

+f_n⁽ⁱ⁾, . Proposition 2.3.3. [dérivation de la somme d’une série de fonctions]

On considère un intervalle réel Iet une suite de fonctionsun∈C¹(I ,K)telle que :

i. !

un converge simplement surI,

ii. !un$ converge uniformément sur (tout segment inclus dans)I.

Alors la sommeS=&

n=0 +∞

un est de classeC¹surIet l’on a : '&

n=0 +∞

un

(_$

=&

n=0 +∞

un$.

A retenir

CVU ⇒CVS

Convergences simple, uniforme et normale d’une série de fonctions, CVN ⇒CVU⇒CVS 2. On ne peut pas, en général, intervertir deux limites.

La limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.

→ La conclusion n’est plus vraie si la convergence n’est que simple.

→retenir la ruse : CVU sur tout segment⇒continuité sur tout segment⇒continuité surI.

Intégration terme à terme sur un segment par convergence uniforme.

→ Attention aux hypothèses du théorème analogue sur la dérivation

Un peu d’histoire : la notion de convergence uniforme naît vers 1840 en Allemagne comme condition suffi- sante de conservation de la continuité par passage à la limite. Karl Weierstrass (1815-1897) et Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), notamment, en étudient les propriétés. La réciproque de la proposition 2.1.1est l’objet de nombreuses recherches jusqu’à la découverte en 1880 par Georg Cantor (1845-1918) d’un contre-exemple où une suite de fonctions continues converge vers une fonction continue sans que la convergence ne soit uniforme :

fn:R+→R, x)→ 2n x 1 +n²x²

Le mathématicien italien Ulisse Dini (1845-1918) donne des réciproques partielles au théorème.

Propriétés de la limite d’une suite de fonctions 3

PC 1 - C06

Exercices sur les suites et séries de fonctions

--- 06.1.3.tm

Exercice 1. Soitα∈Ret fn(x) =n^αx(1−x)ⁿpour x∈[0,1].

Trouver la limite simple de la suite de fonctions(fn)n∈Net en étudier la convergence uniforme.

Indication :pour α!1, on pourra réduire l’intervalle pour obtenir une convergence uniforme.

--- 06.1.8.tm

Exercice 2. Soit f: [−1,1]→[−1,1]une fonction continue vérifiant : ∀x=/ 0, |f(x)|<|x|.

On pose, pour toutx∈[−1,1], f0(x) =xpuisfn+1(x) =f(fn(x)).

1. Déterminer f(0).

2. Montrer que la suite (|fn|)n∈Nconverge simplement sur[−1,1].

On notera" la fonction limite simple de cette suite.

3. Soit x∈[−1,1]. En considérant une infinité de termes fn(x)de même signe, montrer que |f("(x))|="(x)ou

que|f(−"(x))|="(x).

4. En déduire que la suite(fn)_n∈Nconverge simplement et déterminer sa limite.

--- 06.1.10.tm

Exercice 3. Soit fn(x) =(−1)ⁿcosⁿx n+ 1

1. Étudier l’ensembleD de définition de!

n=1

+∞fnpuis la convergence normale de!fnsur un segment[a, b]d’un

intervalle deD.

2. On veut étudier la convergence uniforme de!fnsurD. On pose, pourn∈N,Rn=!

k=n+1

+∞ fket on considère

un réelA >0.

a. Montrer que l’on peut choisir N∈Ntel que!

k=n+1

N 1

k+ 1!2A.

b. Montrer alors, que pour unx∈D bien choisi,Rn(x)!!

k=n+1

N fn(x)!A.

c. En déduire queRnn’est pas borné surD et conclure.

Indication :

1. !fn(x)A-CV lorsque|cosx|<1, S-CV lorsque cosx= 1et DV lorsque cosx=−1. !fnNCV sur tout segment

de]kπ,(k+ 1)π[.

2. b. Il suffit de choisirxtel que cos^Nx!¹₂

E06 11 novembre 2021

--- 06.1.20.tm

Exercice 4. Soit la suite de fonctions(fn)définie surR+∗ parfn(x) =n x^αe^−nx2oùαest un réel donné.

Étudier, selon les valeurs deα, les modes de convergence de la série de fonctions!

fn.

--- 06.1.1.tm

Exercice 5. Quelles sont les propriétés suivantes conservées par passage à la limite simple ? Monotonie, monotonie stricte, continuité, dérivabilité, périodicité ?

Indication :pour les contre-exemples éventuels, penser à la suite des fonctions fn:t%→tⁿsur un intervalle adapté.

--- 06.1.4.tm

Exercice 6. Interversion limite/intégrale 1. Soit fn:x%→ncosⁿxsinxpourx∈"

0,^π₂# .

Étudier la limite simple des fonctionsfnpuis comparer$

0

π

2limfn et lim$

0

π 2fn.

2. Même question sur[0,1]avec fn(x) = 2ⁿx

1 + 2ⁿn x².

--- 06.1.9.tm

Exercice 7. On posef(x) =%

n=0

+∞ Arccos(cosn x)

n!

Montrer que f est définie surR, continue, paire et 2π-périodique. Calculerf en0,πet ^π₂.

Indication :f(0) = 0, f(π) =πsh1 et f&π 2

'=^π₂(e−cos1)

--- 06.1.11.tm

Exercice 8. Pourn!0 etx∈R, on considère fn(x) =e^n(x−n)

1. Montrer que la série!fn est simplement convergente surR.

2. La fonction f somme de cette série est-elle continue ?

Indication :Il y a CVN sur tout intervalle]−∞, A]oùA∈R.

--- 06.1.12.tm

Exercice 9. Pourx∈R, on poseun(x) =_n2+^x_x2

1. Étudier convergences simple et normale de la série !

un.

2. Étudier la continuité de la somme f de cette série.

2

3. Soit x >0et n!1. Montrer que$

n

n+1 x

x²+t²dt" x x²+n²"$

n−1

n x

x²+t²dt.

4. En déduire que f admet une limite et la déterminer.

Indication :!unCVN sur tout[−A, A], max|un|=₂¹_n.

4. Sommer et calculer les intégrales du 3 pour obtenir un encadrement des sommes partielles.

--- 06.1.16.tm

Exercice 10. Pourx!0 etn!1, on pose fn(x) = x

√n(x+n).

1. Montrer que la série!fn est simplement convergente surR+. On note f sa somme.

2. Montrer que!fn est normalement convergente sur tout segment deR+. L’est-elle surR+?

3. Étudier la continuité de f.

4. Soientx!n!1. Montrer quef(x)!%

k=1

n 1

2√k. En déduire que lim

+∞f= +∞. 5. Étudier lim

x→0⁺

f(x) x .

--- 06.2.4.tm

Exercice 11. Étudier la définition, la continuité et la classeC¹de la fonction :

f:x%→%

n=1 +∞ (−1)ⁿ

n sin(x n )

--- 06.2.5.tm

Exercice 12. (difficile) Construction d’une fonction continue surRnulle part dérivable

Soita∈]0,1[et soitbun multiple de4. On considère la fonction :

f:x%→%

n=0 +∞

aⁿcos(bⁿπx)

1. Montrer que f est définie et continue surR.

Soient p∈N^∗et h=_b¹p.

2. Montrer que f(x+h)−f(x)

h =%

n=0 p

aⁿcos(bⁿπx+bⁿhπ)−cos((bⁿπx))

h .

On pose alorsSp−1=^f(x+h)_h^−f(x)+ 2b^pa^pcos(b^pπx)(soitSp−1=!

n=0

p−1a^{ncos(bnπx+bnh}_h^{π)−cos((bnπx))}).

3. Montrer que|Sp−1|"π!

n=0 p−1

bⁿaⁿ. E06

4. On suppose que b a−1>2π.

a. Montrer que|Sp−1|<π b^pa^p

b a−1 et qu’il existeεp∈R,|εp|<¹₂ tel que : f(x+h)−f(x)

h =a^pb^p(εp−2cos(b^pπx))

b. Montrer de même qu’il existeηp∈R,|ηp|<¹₂ tel que :

f( x+^h₂)

−f(x)

h 2

=a^pb^p(

ηp−2 2√ cos(

b^pπx−π 4

))

c. Montrer que sin^π₈= ^{2− 2}

! √

2 >¹₄.

d. En remarquant que siθ,θ^'∈Rvérifientθ^'−θ=^π₄, alors|cosθ|!sin^π₈ ou|cosθ^'|!sin^π₈, montrer que :

******

**f(x+h)−f(x) h

******

**!a^pb^p +

2sinπ 8−1

2 ,

ou

******

****

****

f( x+^h₂)

−f(x)

h 2

******

****

****

!a^pb^p +

2√2sinπ 8−1

2 ,

e. En déduire que f(x+k)−f(x)

k ne possède pas de limite lorsquek→0et quef n’est dérivable en aucun

point deR.

4