3 Limite uniforme de fonctions continues

(1)

Master 1 M´etiers de l’Enseignement, Math´ematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2011/2012 ANALYSE 2

Fiche de Math´ematiques 5- Suites et s´eries de fonctions.

SoientEetF deux espaces m´etriques quelconques et (fn) une suite d’applications deE dansF. Si pour chaque x∈E la suite fn(x) est convergente, sa limite f(x) est une fonction de xet divers probl`emes peuvent se poser, entre autres :

– Si les fonctionsf_n sont continues, leur limite f est-elle continue ?

– Si les fonctions f_n sont d´erivables (ce qui suppose queE soit un ouvert de Ret F un e.v.n.), leur limitef est-elle d´erivable ?

– Plus généralement, siE et F sont deux e.v.n. et si les fonctionsf_n sont différentiables, leur limitef est-elle différentiable ?

1 Convergence simple et convergence uniforme

On d´esigne parX un ensemble quelconque, par (E, d) un espace m´etrique et par (f_n) une suite d’applications deX dansE.

D´efinition 1.1 Convergence simple

On dit que la suite(fn) converge simplement vers l’applicationf (deX dansE) si, pour chaquexdeX, la suite fn(x)converge dansE versf(x). En d’autres termes, la suite (fn)converge simplement vers f si quels que soient ε >0 etx∈X, il existe un entier N tel que l’in´egalit´en≥N entraˆıne d[fn(x), f(x)]≤ε, soit

∀x∈X,∀ε >0,∃N ∈N,∀n∈N, n≥N⇒d[fn(x), f(x)]≤ε. (1) Ce nombreN dépend, en général de εet dex. En exigeant que N soit indépendant dex, on obtient un mode de convergence plus restrictif, appelé convergence uniforme.

D´efinition 1.2 Convergence uniforme

On dit que la suite (f_n) converge uniform´ement vers f sur X si, quel que soit ε >0, il existe un entier N, ne d´ependant que deε, tel que, pour tout n≥N et toutx∈X, on aitd[f_n(x), f(x)]≤ε.

∀ε >0,∃N∈N,∀x∈X,∀n∈N, n≥N⇒d[f_n(x), f(x)]≤ε. (2) Si la suite (f_n) converge simplement (resp. uniform´ement) vers l’application f surX, on dit pour abr´egrer quef est la limite simple (resp. la limite uniforme) de la suite (fn).

Remarque 1.1 La convergence uniforme de (fn) fersf entraˆıne la convergence simple de (fn) versf. La r´eciproque n’est pas vraie.

Remarque 1.2 Désignons par Γ le graphe de l’applicationf. L’ensemble Γεdes points (x, y) deE×F qui vérifient l’inégalité d[f(x), y] < ε est une sorte de tube entourant Γ. Dire que fn vérified[fn(x), f(x)]< ε pour tout x∈X revient à dire que le graphe defn est contenu dans ce tube.

2 Crit` eres de convergence uniforme

Proposition 2.1 Soient (fn) une suite d’applications de l’ensemble X dans l’espace m´etrique (E, d) et f une application deX dansE. Pour chaquen∈Non d´efinit

mn= sup

x∈X

d[fn(x), f(x)].

Pour que la suite(fn) converge uniform´ement versf sur X, il faut et il suffit que la suite(mn)tende vers z´ero.

Pour prouver que la suite (mn) tend vers zéro, il suffit de la majorer par une suite convergeant vers zéro ; pour prouver qu’elle ne tend pas vers zéro, il suffit de la minorer par une suite de nombres positifs ne convergeant pas vers zéro. Pour appliquer ces principes, on se bornera au cas où les fonctionsfn et leur limite f prennent leurs valeurs dans un e.v.n.E : en rempla¸cantfn parfn−f, on se ramène au cas où f = 0. On énonce :

(2)

Proposition 2.2 Soit(fn) une suite de fonctions d´efinies sur un ensemble X `a valeurs dans un e.v.n.E.

1. Pour que la suite(fn)converge uniformément vers zéro surX, il suffit qu’il existe une suite(εn)de nombres réels, convergeant vers zéro, telle que pour toutx∈X, on ait

kfn(x)k ≤εn.

2. Pour que la suite(f_n) ne converge pas uniformément vers zéro sur X, il suffit qu’il existe une suite (x_n)de points de X telle que la suite(fn(xn))ne tende pas vers zéro.

Proposition 2.3 Le crit`ere de Cauchy pour la convergence uniforme

Soit (f_n) une suite d’applications d’un ensemble X dans un espace métrique (E, d). Pour que la suite (f_n) soit uniformément convergente, il faut qu’à chaque nombre ε >0 on puisse associer un entierN tel que les inégalités n≥N etp≥N entraˆınent

∀x∈X, d[f_n(x), f_p(x)]≤ε (3)

et cette condition est suffisante si l’espace E est complet donc, en particulier, si E=RouC.

Définition 2.1 Soit(f_n)une suite d’applications de l’ensembleX dans l’espace métrique(E, d). On dira que cette suite est uniformément de Cauchy, ou qu’elle vérifie uniformément la condition de Cauchy si, quel que soitε >0, il existe un entierN tel que les inégalités n≥N etp≥N entraˆınent (3).

Exercice 1 Montrer que si (f_n)_n∈_N est une suite de fonctions uniform´ement convergente vers une fonction f sur un intervalleI alors la suite de fonctions (sin(f_n))_n∈_N converge uniform´ement vers sin(f) surI.

Exercice 2 On d´efinit la suite de fonctions (f_n)_n∈_N? surRpar :

∀n∈N^?,∀x∈R, f_n(x) =nsinx n

.

1. La suite (f_n)_n∈_N? converge-t-elle simplement surRet si oui, vers quelle fonction ? 2. La convergence de la suite (fn)_n∈_N? est-t-elle uniforme sur R?

3. La convergence de la suite (fn)_n∈N^? est-t-elle uniforme sur [−1,1] ?

Exercice 3 Soitkun entier positif ou nul et (fn)_n∈_N? d´efinie parfn(x) = x^k x²+n. 1. Pour quelles valeurs de kcette suite converge-t-elle uniform´ement surR?

2. Pour quelles valeurs de kcette suite converge-t-elle uniformément sur toute partie bornéeR? Exercice 4 Soitα >0 et (fn)_n∈_Nla suite de fonctions définie surR⁺ parfn(x) =n^αxexp(−nx).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette suite converge uniformément surR⁺. 2. Étudier la convergence uniforme sur tout intervalle [a,+∞[ aveca >0.

Exercice 5 On d´esigne par (fn)n∈N la suite de fonctions d´efinies surR⁺par :

∀n∈N,∀x∈R⁺, fn(x) =nxsin(x) exp(−nx).

1. Montrer que cette suite converge simplement surR⁺ vers la fonction nulle.

2. Montrer que la fonction ϕ:t7→ϕ(t) =texp(−t) est d´ecroissante sur [1,+∞[.

3. Montrer que la convergence de la suite (fn)_n∈N vers 0 est uniforme sur l’intervallehπ 2,+∞h

.

4. On se propose maintenant de montrer que la convergence de la suite (fn)_n∈Nvers 0 est encore uniforme sur l’intervalleh

0,π 2 i

.

(a) Calculer, pour toutn≥1, la d´eriv´ee de la fonctionfn. (b) Montrer que :

∀x∈

0,1 n

, f_n⁰(x)>0.

(c) Montrer que, sur l’intervalle 1

n,π 2

,f_n⁰ s’annule en un unique pointx_n∈ 1

n,π 2

. (d) En d´eduire les variations def_n sur l’intervalle h

0,π 2 i

.

(e) Montrer que la suite (fn)_n∈Nconverge uniform´ement vers 0 surh 0,π

2 i

et sur R⁺.

(3)

3 Limite uniforme de fonctions continues

Théorème 3.1 E etF étant deux espaces métriques, soit(f_n)une suite uniformément convergente d’applications deE dansF. Si les fonctionsf_n sont toutes continues en un pointadeE, leur limitef est continue au pointa.

Corollaire 3.1 E etF étant deux espaces métriques, soit(fn)une suite uniformément convergente d’applications continues deE dans F. Alors la fonctionf = lim

n→+∞fn est continue.

Proposition 3.1 Extension

E etF ´etant deux espaces m´etriques, soit (fn) une suite d’applications continues deE dans F, convergeant vers une applicationf, de telle sorte que cette convergence soit uniforme sur chaque partie compacte deE. Alors f est continue surE.

Proposition 3.2 Double passage `a la limite

E et F étant deux espaces métriques et A une partie de E, soit (fn) une suite d’applications de A dans F, convergeant uniformément surAvers une application f. Soitaun point d’accumulation deAtel que, pour chaque n∈N, la limitebn= lim

x→afn(x)existe. Si l’espace m´etrique F est complet, la suite(bn)a une limitebetf(x)tend versb quandxtend vers a. En d’autres termes, on a la formule d’interversion des deux signeslim:

n→+∞lim lim

x→af_n(x) = lim

x→a lim

n→∞f_n(x).

(les hypoth`eses entraˆınant l’existence des deux membres de (3.2)).

Théorème 3.2 Si (f_n)_n∈_N est une suite de fonctions uniformément continues qui converge uniformément vers une fonctionf sur l’intervalle I, alors la limitef est uniformément continue sur cet intervalle.

Pour ce qui est de l’intégration des fonctions continues, on déduit du théorème précédent le résultat suivant.

Théorème 3.3 Si (fn)_n∈N est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l’intervalleI, on a alors pour tout segment[a, b]⊂I :

Z b a

f(x)dx= lim

n→+∞

Z b a

fn(x)dx.

En fait le théorème précédent est encore valable dans le cadre de l’intégrale de Riemann. On rappelle qu’une fonctionf est Riemann-intégrable sur [a, b] si et seulement si elle est bornée et pour tout réelε >0 on peut trouver deux fonctions en escaliersg, htelles queg≤f ≤het

Z b a

(h(x)−g(x))dx < ε.

Théorème 3.4 Si (f_n)_n∈_N est une suite de fonctions Riemann-intégrables qui converge uniformément versf sur I= [a, b], alors la fonctionf est Riemann-intégrable sur I et on a :

Z b a

f(x)dx= lim

n→+∞

Z b a

fn(x)dx.

Théorème 3.5 Si (fn)n∈N est une suite de fonctions Riemann-intégrables surI qui converge uniformément vers une fonction f sur I, alors la suite de fonctions (Fn)_n∈N définie surI par Fn(x) =

Z x x0

fn(t)dt où x0 est donné dans I, converge simplement sur I vers la fonction F définie sur I par F(x) =

Z x x₀

f(t)dt et la convergence est uniforme sur tout segment[a, b]⊂I.

Théorème 3.6 Soit (fn)_n∈N une suite de fonctions dérivables sur I telle que la suite (f_n⁰)_n∈N converge uni- formément sur I vers une fonction g. S’il existe un point x0 ∈ I tel que la suite (fn(x0))_n∈N soit convergente alors la suite (fn)n∈N converge simplement vers une fonction dérivable f telle f⁰ = g et la convergence est uniforme sur tout segment[a, b]⊂I.

Exercice 6 Montrer que la suite de fonctions d´efinie sur R par fn(x) = cos(nx) n’admet aucune sous-suite uniform´ement convergente surR.

Exercice 7 Etudier la convergence simple puis uniforme sur´ R des suites de fonctions d´efinies par fn(x) = r

x²+ 1

n² etgn(x) =f_n⁰(x).

(4)

4 Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment

Le fait qu’une fonction continue sur un segment y est en fait uniformément continue nous donne la possibilité de construire des suites de fonctions élémentaires (en escaliers, affines par morceaux ou polynomiales) qui convergent uniformément vers cette fonction.

4.1 Approximation uniforme par des fonctions en escaliers

Th´eor`eme 4.1 Toute fonction f continue sur un segment [a, b] est limite uniforme d’une suite de fonctions en escaliers.

Théorème 4.2 Toute fonction f continue sur un segment [a, b] est Riemann-intégrable.

Exercice 8 Lemme de Riemann-Lebesgue

Montrer que pour toute fonctionf continue par morceaux sur un segment [a, b], on a :

n→+∞lim Z b

a

f(x) sin(nx)dx= 0.

Exercice 9 Soitf une fonction continue par morceaux sur un segment [a, b]. Calculer la limite suivante :

n→+∞lim Z b

a

f(x) sin²(nx)dx.

4.2 Approximation uniforme par des fonctions affines par morceaux et continues

Th´eor`eme 4.3 Toute fonctionf continue sur un segment[a, b]est limite uniforme d’une suite de fonctions continues affines par morceaux.

Th´eor`eme 4.4 Toute fonction affine par morceaux et continue sur un segment[a, b] admet des primitives.

Th´eor`eme 4.5 Toute fonction f continue sur un segment [a, b] admet des primitives.

4.3 Approximation uniforme de la fonction x 7→ |x| sur [−1, 1] par des fonctions polynomiales

L’approximation uniforme de la fonctionx7→ |x|sur [−1,1] par des fonctions polynomiales nous sera utile pour approcher uniform´ement toute fonction continue et affine par morceaux par des polynˆomes sur un segment [a, b].

On introduit la suite de fonctions (Pn)n∈Nd´efinie surRparP0(x) = 0 et

∀n≥1, P_n+1(x) =P_n(x) +1

2(x²−(P n(x))²) (4)

On v´erifie facilement par r´ecurrence surn≥0 que chaque fonctionPn est polynomiale.

Théorème 4.6 La suite (P_n)_n∈_N définie par (4) converge uniformément sur[−1,1]vers la fonction x7→ |x|.

Exercice 10 On désigne par (a_n)_n∈_N la suite des coefficients qui interviennent dans le développement en série entière de la fonction x7→√

1−xsur l’intervalle ]−1,1[, soit :

∀x∈]−1,1[, √

1−x=

+∞

X

n=0

anxⁿ.

1. Montrer que la s´erie

+∞

X

n=0

an est convergente.

2. En d´eduire que : (a) la fonctionx7→√

1−xest limite uniforme d’une suite de polynˆomes sur l’intervalle [−1,1], (b) la fonctionx7→ |x|est limite uniforme d’une suite de polynˆomes sur l’intervalle [−1,1].

(5)

5 Limites de fonctions d´ erivables ou diff´ erentiables

Théorème 5.1 E désignant un e.v.n. et I un intervalle deR, soit (f_n) une suite d’applications dérivables de I dansE, convergeant simplement vers une application f. Pour que f soit dérivable surI, il suffit que la suite des dérivées(f_n⁰)soit uniformément convergente surI et pour toutt∈I, on a alors :

f⁰(t) = lim

n→+∞f_n⁰(t), soit :

d dt

n→+∞lim fn(t)

= lim

n→+∞

d

dt[fn(t)]. (5)

La convergence uniforme de la suite (f_n⁰) permet donc de permuter les opérations de dérivation et de passage à la limite, donc d’échanger les signes lim

n→+∞et d dt.

Proposition 5.1 Généralisation : cas des applications différentiables

E etF désignant deux e.v.n. et U un ouvert deE, soit (fn)une suite convergente d’applications différentiables de U dansF, telle que la suite (f_n⁰) de leurs différentielles soit uniformément convergente sur U (ces différentielles

´

etant consid´er´ees comme des applications de U dans L(E, F)). Alors l’applicationf = lim

n→+∞f_n est diff´erentiable sur U et, pour chaquex∈U, on a

f⁰(x) = lim

n→+∞f_n⁰(x).

6 Th´ eor` eme de Weierstrass

Théorème 6.1 Toute fonction continue sur un segment [a, b]est limite uniforme d’une suite de polynômes.

Exercice 11 EXERCICE SYNTH ´ETIQUE

Etant donn´´ e deux nombres r´eels positifs ou nulsaetb, on notera (a_n) et (b_n) les suites d´efinies para₀=a,b₀=b et, pourn≥0, par :

an+1= an+bn

2 ,bn+1=p anbn

Sia= 1 etb=xavecx≥0 alorsan et bn sont des fonctions de xqu’on notera respectivementun etvn. 1. (a) D´emontrer que pourn≥1 eta6=b, on a :

( 0≤bn≤bn+1 < an+1< an

an+1−bn+1≤ 1

2(an−bn) . Que deviennent ces in´egalit´es sia=b?

(b) D´emontrer que les deux suites (a_n) et (b_n) sont convergentes et qu’elles ont la mˆeme limite.

On notera M(a, b) cette limite commune et f la fonction num´erique d´efinie sur [0,+∞[ par f(x) = M(1, x).

(c) D´emontrer que, quels que soient les r´eelsa≥0, b≥0, λ≥0 et quel que soit l’entier natureln, on a :







M(a_n, b_n) =M(a, b) M(a, b) =M(b, a) M(λa, λb) =λM(a, b)

.

En d´eduire que, poura >0, on aM(a, b) =af b

a

.

(d) D´emontrer que, pour toutn≥0, les fonctionsun et vn sont continues.

(e) D´emontrer que, pour toutn≥1 et toutx≥0, on a :

0≤un(x)−f(x)≤2⁻ⁿ|1−x|.

(f) En d´eduire que la fonctionf est continue.

(g) D´emontrer que pour toutx≥0, on a √

x≤f(x)≤ 1 +x

2 . En d´eduire que la fonctionf est d´erivable au pointx= 1.

(h) Calculerf(0). La fonctionf est-elle d´erivable en ce point ? Le graphe def a-t-il une tangente au point d’abscisse nulle ?

(6)

(i) D´emontrer que, pour toutx >0, on af(x) =xf 1

x

.

(j) Démontrer que le graphe def présente une branche parabolique, dont on précisera la direction quandx tend vers +∞.

(k) D´emontrer que, pour toutn≥0, les fonctions u_n et v_n sont croissantes. En d´eduire que la fonctionf est croissante.

2. On restreint désormais les fonctions u_n et v_n à l’intervalle ]0,1[. On noteraw_n la fonction définie sur ]0,1[

parw_n=p

u²_n−v²_n etk_n la fonction d´efinie sur ]0,1[ park_n= 2⁻ⁿln u_n

wn

. (a) En remarquant queM(a, b) =M

a+b 2 ,√

ab

et quew_n+1=u_n−v_n

2 , d´emontrer que pour tout entier n≥0, on a

2M(u_n+1, w_n+1) =M(u_n, w_n).

En d´eduire que, pour tout entiern≥0, on a :

2ⁿM(un(x), wn(x)) =f(p

1−x²).

(b) D´emontrer que, pour toutx∈]0,1[, on a :

n→+∞lim 2ⁿf

wn(x) un(x)

=f(√ 1−x²) f(x) . (c) D´emontrer que, pour toutx∈]0,1[, on a lim

n→+∞

w_n(x) un(x) = 0.

En rempla¸cantf par un équivalent dans le résultat de la question précédente, en déduire que, pour tout x∈]0,1[, on a : lim

n→+∞kn(x) = π 2

f(x) f(√

1−x²).

(d) D´emontrer que, pour toutn≥0, les fonctionsun,vn,wnet kn sont continument d´erivables sur ]0,1[ et que, pour toutn≥1, on au⁰_n>0 etv_n⁰ >0.

(e) D´emontrer que la fonction k⁰_n

v²_n est ind´ependante den(on pourra utiliser la relationwn+1=un−vn

2 ).

(f) Déduire du résultat précédent que, pour toutn≥0 et toutx∈]0,1[, on a : k_n⁰(x) = v_n²(x)

x(1−x²).

(g) D´emontrer que la suite de fonctions (k_n⁰) converge uniform´ement sur tout compact de ]0,1[, vers la fonction :

x7→ f²(x) x(1−x²). (h) D´emontrer que la fonctionx7→ f²(x)

x(1−x²) est la d´eriv´ee de la fonctionx7→ π 2

f(x) f(√

1−x²). (i) Calculer directement cette dérivée et en déduire, en faisantx= 1

√2 queπ= 2√ 2

f³

√1 2

f⁰

√1 2

. 3. Pour toutn≥1, on notera yn la fonction d´efinie sur ]0,1[ paryn= un

v_n etzn la fonction d´efinie sur ]0,1[ par z_n= v_n⁰

u⁰_n. On noteK un compact de ]0,1[.

(a) D´emontrer queyn ≥1 et que la suite de fonctions (yn) converge uniform´ement vers 1 surK.

(b) D´emontrer que, pour toutn≥1, on a











yn+1 = 1 +yn

2√ y_n z_n+1 = 1 +y_nz_n

(1 +zn)√ yn

.

(c) Démontrer quezn≥1. En déduire queu⁰_n≤v⁰_n et que la suite de fonctions (u⁰_n) est décroissante.

(d) D´emontrer que, pour toutn≥1, on ayn+1 ≤zn+1 ≤√

yn ≤yn. En d´eduire que la suite de fonctions (zn) converge uniform´ement vers 1 surK.

(e) D´emontrer que v_n+1⁰ (x) ≤ v⁰_n(x) si (p

yn(x)−1)² ≤ z_n(x)−1

zn(x) et que cette dernière inégalité est satisfaite à partir d’un rang n₀ indépendant de x dans K. En déduire que, pour tout n ≥ n₀, on a u⁰_n≤u⁰_n+1≤v⁰_n+1≤v_n⁰ surK et que les suites (u⁰_n) et (v_n⁰) convergent uniformément sur K.

(7)

7 S´ eries de fonctions

D´efinition 7.1 SoitX un ensemble quelconque et(u_n)une suite d’applications de X dans un e.v.n. E et, pour chaquen∈Nsoit S_n l’application deX dans E d´efinie parS_n(x) =

n

X

k=0

u_k(x). Si la suite(S_n)est uniform´ement convergente surX, on dit que la s´erieX

n

un est uniform´ement convergente surX.

Théorème 7.1 Soit(un)une suite d’applications d’un espace métrique X dans un e.v.n. E. Si la sérieX

n

un est uniform´ement convergente surX et si chacune des fonctions un est continue au point adeX (resp. continue sur X) alors la fonction S:x7→

+∞

X

n=0

un(x)est continue au point a(resp. continue surX).

Proposition 7.1 Soient X un espace m´etrique, A une partie deX et (u_n) une suite uniform´ement convergente d’applications deA dans un e.v.n. completE. Soit aun point d’accumulation deA tel que, pour chaquen∈N, la limite v_n = lim

x→au_n(x)existe. Alors la s´erie X

n

v_n est convergente, sa somme S =

∞

X

n=0

v_n est la limite, lorsque x

tend vers a, deS(x) =

+∞

X

n=0

un(x). En d’autres termes,

+∞

X

n=0

x→alimun(x) = lim

x→a +∞

X

n=0

un(x). (6)

Proposition 7.2 Dérivation terme à terme d’une série

SoitI un intervalle deRet(u_n)une suite d’applications d´erivables deI dans un e.v.n.E telle que la s´erieX

n

u_n soit simplement convergente. Si la s´erie X

n

u⁰_n formée avec leurs dérivées est uniformément convergente sur I,

alors la fonctionS:t7→

+∞

X

n=0

un(t)est d´erivable surI et on a S⁰(t) =

+∞

X

n=0

u⁰_n(t)soit :

d dt

+∞

X

n=0

un(t) =

+∞

X

n=0

d

dt[un(t)].

La convergence uniforme de la s´erie X

n

u⁰_n permet donc d’´echanger les signesX et d

dt, c’est-à-dire de permuter les opérations de sommation et de dérivation : on dit que la dérivée de la fonctionS s’obtient en dérivant terme à terme la sérieX

n

u_n.

Proposition 7.3 Soit I un intervalle de R et (un) une suite d’applications de I dans un e.v.n. complet E telle que la s´erieX

n

u⁰_n formée avec leurs dérivées soit uniformément convergente sur I. Pour que la sérieX

n

u_n soit simplement convergente surI, il faut et il suffit que, pour un point t₀ deI, la s´erieX

n

u_n(t₀)soit convergente et la convergence deX

n

u_n est alors uniforme sur toute partie born´ee deI.

8 Crit` eres de convergence uniforme pour les s´ eries

Proposition 8.1 Crit`ere de Cauchy pour les s´eries

Soit(u_n) une suite d’applications d’un ensembleX dans un e.v.n.E. Pour que la s´erieX

n

u_n soit uniformément convergente surX, il faut qu’à chaque nombre ε >0 on puisse associer un entier N tel que, pour tout x∈X et tous entiersn etpvérifiantp > n≥N, on ait :

|un+1(x) +un+2(x) +. . .+up(x)| ≤ε

et cette condition est suffisante si E est complet (donc en particulier si E est de dimension finie).

(8)

Remarque 8.1

– La somme de deux séries uniformément convergentes est uniformément convergente.

– Si λest un scalaire fixe, la convergence uniforme de la s´erieX

n

un(x) entraˆıne celle deX

n

λun(x).

– Siϕest une fonction scalaire surX, la convergence uniforme de la s´erieX

n

un(x) n’entraˆıne pas n´ecessairement celle deX

n

ϕ(x)λun(x).

D´efinition 8.1 Convergence normale

Soit(u_n) une suite d’applications d’un ensembleX dans un e.v.n. E. On dit que la s´erieX

n

u_n est normalement convergente surX s’il existe une s´erie num´erique convergente, soitX

n

vn, telle que pour toutn∈Net tout x∈X on ait

kun(x)k ≤vn.

Théorème 8.1 Soit E un e.v.n. complet. Pour qu’une série de fonctions, à valeurs dans E, soit uniformément convergente, il suffit qu’elle soit normalement convergente.

Exercice 12 Exemples et contre-exemples Pourx≥0, on poseun(x) = x

n²+x². 1. Montrer que la s´erie

+∞

X

n=1

un(x) converge simplement surR⁺, mais que la convergence n’y est pas uniforme.

2. Montrer que la s´erie

+∞

X

n=1

(−1)ⁿun(x) converge uniform´ement surR⁺, mais que la convergence n’est pas normale.

Exercice 13 S´erie altern´ee

On consid`ere la s´erie de fonctionsS(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ x+n. 1. Prouver queS est d´efinie sur I=]−1,+∞[.

2. Prouver queS est continue surI.

3. Prouver queS est dérivable sur I, calculer sa dérivée et en déduire queS est croissante surI.

4. Quelle est la limite deS en−1 ? en +∞?

Exercice 14 Pourx >0, on poseS(x) =

+∞

X

n=1

1 n+n2x. 1. Montrer queS est d´efinie et continue surR^?+. 2. ´Etudier la monotonie deS.

3. D´eterminer la limite en +∞deS puis un ´equivalent deS en +∞.

4. Déterminer un équivalent àS en 0.

9 Autres crit` eres

Proposition 9.1 Soit (un) une suite de fonctions numériques ou complexes, définies sur un même ensemble X, de la forme :

un(x) =εn(x)vn(x) avecεn(x)>0.

Pour que la s´erie X

n

un(x) soit uniformément convergente sur X, il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées :

1. Pour chaquex∈X, la suite ε_n(x) est d´ecroissante.

2. La suiteε_n(x)tend uniform´ement vers z´ero lorsquentend vers +∞.

(9)

3. Il existe un nombreAtel que l’on ait

n

X

k=0

vk(x)

≤A quels que soientx∈X etn∈N.

Théorème 9.1 Théorème d’Abel

SoitEun e.v.n. complet et(an)une suite d’éléments de Etelle que la sérieX

n

an soit convergente. Alors la s´erie X

n

rⁿan est uniform´ement convergente sur l’intervalle0≤r≤1.

R´ ef´ erences

[1] Jacqueline LELONG-FERRAND, Jean-Marie ARNAUDI ÈS. Cours de mathématiques. Tome 2, Ana- lyse, 4ème édition .

[2] Jean-Etienne ROMBALDI.Suites de fonctions.

http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ rombaldi/Capes/AnalyseChap16.pdf [3] CAPES de Math´ematiques 1995.1`ere composition.