année 2015-16
DEUX THÉORÈMES
On présente ici le théorème de densité de Stone-Weierstrass et le théo- rème de compacité (dans l’espace des fonctions continues) d’Ascoli- Arzelà.
1. WEIERSTRASS, STONE-WEIERSTRASS
Le point de départ est le théorème de Weierstrass qui affirme que toute fonction continue sur [a,b] est limite uniforme d’une suite de polynômes. Il y a plusieurs démonstrations pos- sibles, avec les polynômes de Bernstein notamment. Ici on utilise la version « originale » liée à la convolution (la convolution sert aussi pour la densité des fonctions continues dans les Lpou encore pour obtenir un critère de compacité dansLp (1≤p< +∞)).
Théorème 1(Weierstrass). Soit f une fonction à valeurs complexes et continue sur[a,b].
Alors il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers f sur[a,b]. Si f est à valeurs réelles les polynômes peuvent être choisis à coefficients réels.
Démonstration. On se ramène aisément au cas où [a,b]=[0, 1] (par transformation affine) et au cas où f(0)=f(1)=0 (il suffit de poser f(x)−f(0)−x(f(1)−f(0))).
Comme il s’agit d’une convolution, il faut tout d’abord étendref en dehors de [0, 1] par 0.
La fonction, notée toujours abusivement f, est uniformément continue surR. On pose Qn(x)= 1
αn
(1−x2)n où αn= Z 1
−1
(1−x2)nd x. On peut minorerαnpar
αn≥2 Z 1
0 (1−x)nd x= 2 n+1
et en déduire que pour toutδ>0 la suiteQn→0 converge uniformément sur [−1,−δ]∪[δ, 1].
PosonsPn(x)=R1
−1f(x+y)Qn(y)d ypour toutx∈[0, 1] et montrons que cette suite convient.
Remarquons que si f est à valeurs réelles alorsPn l’est aussi.
Comme f est nulle en dehors de [0, 1] on a Pn(x)=
Z 1−x
−x
f(x+y)Qn(y)d y= Z 1
0
f(y)Qn(x−y)d y qui est bien un polynôme en la variablex.
Soit ε>0 et soitη>0 la constante d’uniforme continuité (|x−x0| <η entraîne |f(x)− f(x0)| <ε). L’idée est de décomposer l’intervalle d’intégration en deux ou trois parties, au- tour de 0 et pour laquelle on utilise l’uniforme continuité et suffisamment loin de 0 pour lesquelles on utilise la convergence uniforme deQn. CommeR1
−1Qn(y)d y=1 on a
|Pn(x)−f(x)| =
¯
¯
¯ Z 1
−1
(f(x+y)−f(x))Qn(y)d y¯
¯
¯≤ Z 1
−1|f(x+y)−f(x)|Qn(y)d y
≤2 sup|f| Z −η
−1 Qn(y)d y+εZ η
−ηQn(y)d y+2 sup|f| Z 1
η Qn(y)d y
≤ε+4 sup|f|n+1
2 (1−η2)n.
1
Pourn≥N suffisamment grand et indépendant dexon obtient, pour toutx∈[0, 1]
|Pn(x)−f(x)| <2ε.
Corollaire 2. L’ensemble des polynômes est dense dans l’ensemble des fonctions continues définies de[a,b]dansR(ouC) muni de la norme de la convergence uniforme.
Corollaire 3. L’espace vectoriel normé complet(C([a,b]),k · k∞)est séparable.
Démonstration. Exercice (il suffit de considérer les polynômes à coefficients rationnels).
Remarque 4. Pour étendre ce théorème dans un compact deRN il y a une difficulté supplé- mentaire, celle d’étendre correctement f sur toutRN et garder l’uniforme continuité.
Le but est d’étendre ce résultat dans un cadre topologique plus général. Dans la suiteXest un espace topologique séparé et compact. Comme d’habitude C(X,R) désigne l’ensemble des fonctions continues à valeurs réelles muni de la distance
d(f,g)=sup
x∈X|f(x)−g(x)|
qui rend complet cet espace. De plusC(X,R) est une algèbre, c’est à dire, stable par addition et par produit et par multiplication par un scalaire.
Soit Aune algèbre incluse dansC(X,R). On rappelle que
— A sépare les points de X si pour toutx,y∈X avec x6=y il existe f dans A tel que f(x)6=f(y).
— Ane s’annule en aucun point deXsi pour toutxdansX il existef ∈Avérifiant f(x)6=
0
— Adésigne la fermeture deAdansC(X,R) pour la distanced.
Proposition 5. SoitAune algèbre deC(X,R). Alors (1) A est une algèbre.
(2) si f ∈Aalors|f| ∈A.
(3) si f etg sont dansAalorsmax(f,g)etmin(f,g)sont dansA.¯
Démonstration. Le premier point est évident. Pour le 2ème on utilise le théorème de Weiers- trass. En supposant, ce qui est toujours possible, −1≤ f ≤1, soit Pn une suite de poly- nômes à coefficients réels qui converge uniformément vers la fonctionx7→ |x|sur l’intervalle [−1, 1]. Ainsi la quantité supr∈[−1,1]¯
¯Pn(r)−|r|¯
¯tend vers 0 quandntend vers l’infini. Comme
|f(x)| ≤1 pour toutx∈X on a sup
x∈X
¯
¯|f(x)| −Pn(f)¯
¯≤ sup
r∈[−1,1]
¯
¯Pn(r)− |r|¯
¯
d’où la convergence de la suitePn(f) vers|f|dansC(X,R). Ainsi|f| ∈A.¯
Pour le 3ème point, il suffit de remarquer que max(f,g)=12(f+g)+12|f−g|et min(f,g)=
1
2(f+g)−12|f −g|.
Proposition 6. Soit Aune algèbre deC(X,R)séparant les points et ne s’annulant en aucun point de X. Alors pour toutx1 et x2 appartenantX et pour tout c1 etc2 dansRil existe f dansA tel quef(x1)=c1et f(x2)=c2.
Démonstration. Soientg,hetk a tels que
g(x1)6=g(x2), h(x1)6=0, k(x2)6=0
et posons
u(x)=g(x)k(x)−g(x1)k(x) v(x)=g(x)h(x)−g(x2)h(x).
Les fonctionsu etv vérifientu(x1)=v(x2)=0,u(x2)6=0 etv(x1)6=0. Pour conclure il suffit de poser
f(x)=c1
v(x) v(x1)+c2
u(x) u(x2).
Théorème 7(Stone-Weierstrass). Soit A une algèbre deC(X,R)(X espace topologique sé- paré et compact) séparant les points deX et ne s’annulant en aucun élément de X. Alors A est dense dansC(X,R).
Démonstration. Soit f ∈C(X,R) et soit ε>0. Le but est de « construire » ϕ∈ A¯ tel que d(f,ϕ)≤ε.
Pour toutξ,y∈X soitϕξy∈Atel que
ϕξy(ξ)=f(ξ) ϕξy(y)=f(y).
ξétant fixé, {ϕξy;y∈X} est une famille de fonctions paramétrisées par y dansX. Comme ϕξy etf coïncident eny et sont continues, pour touty∈X soitOy un ouvert tel que
y∈Oy, ∀x∈Oy ϕξy(x)<f(x)+ε.
La collectionOy des ouverts recouvre X, compact. SoitOy1,. . . ,Oyn une sous recouvrement fini deX. Posons
ϕξ=min{ϕξy1, . . . ,ϕξyn}.
Nous avonsϕξ∈A¯et par construction
∀x∈X ϕξ(x)≤f(x)+ε et ϕξ(ξ)=f(ξ).
Cette construction se fait pour toutξ∈X. À nouveau les fonctionsϕξet f sont continues et coïncident enξ: pour toutξ∈X soitOξtel que
ξ∈Oξ, ∀x∈X ϕξ(x)>f(x)−ε.
En extrayant, à nouveau, un sous recouvrement fini {Oξ1, . . . ,Oξm} on pose ϕ=max{ϕξ1, . . . ,ϕξm}.
Par constructionϕ∈Aet de plus
∀x∈X f(x)−ε≤ϕ(x)≤f(x)+ε
soitd(f,ϕ)≤ε.
Remarque 8. On trouve dans la littérature la version où A contient les constantes (les fonc- tions constantes) plutôt que «Ane s’annule en aucun point deX».
Et pour les complexes ? Commençons par l’ensembleH(D) des fonctions holomorphes sur le disque deC. En effetH(D) semble vérifier les hypothèses du théorème précédent mais malheureusement d’après le cours d’analyse complexe de L3, H(D) n’est pas dense dans C(D,C). En effet la fonctionz7→z¯est continue mais non holomorphe. Pour avoir un résultat de densité similaire il faut ajouter une propriété à l’algèbre : A est une algèbre conjuguée pour la fermeture, c’est-à-dire f ∈A entraîne ¯f ∈A (attention, le premier ¯a est le complexe conjugué tandis que le secondA est la fermeture).
Théorème 9. Soit Aune algèbre conjuguée deC(X,C). On suppose queA sépare les points et ne s’annule en aucun point deX. AlorsA est dense dansC(X,C).
Démonstration. Il suffit de remarquer que Re(f)= f+2f¯. Ainsi sif est dans Aalors Re(f)∈A.
En posant
AR={f ∈A¯;f(x)∈R, ∀x∈X}
on démontre que AR est une algèbre (fermée) qui sépare les points deX et ne s’annule en aucun point deX. La conclusion vient de Stone-Weierstrass.
2. ASCOLI-ARZELÀ
Le but est de donner un critère de compacite dansC(E,R) oùEest un ouvert deRN. Une suite de fonctions (fn) définies deE dansRest dite uniformément bornée s’il existeM>0 tel que
sup
E |fn| ≤M, ∀n∈N.
La suite (fn) est dite équi-continue dansE s’il existe une fonction continue croissanteω : R+7→R+tel queω(0)=0 et pour toutx,ydansE,
|fn(x)−fn(y)| ≤ω(|x−y|), ∀n∈N.
Cette dernière propriété revient à dire que les constantes d’uniforme continuité sont indé- pendantes den.
Théorème 10 (Ascoli). Soit (fn) une suite de fonctions uniformément bornée et équicon- tinue dans E. Alors il existe une sous-suite (fnk) et une fonction continue f :E 7→Rtelles que
fnk(x)→f(x) ∀x∈E;
(1)
|f(x)−f(y)| ≤ω(|x−y|) ∀x,y∈E;
(2)
fnk→f uniformément sur tout compactK⊂E. (3)
Démonstration. ConsidéronsQN∩E qui est dense dansE. Pourx1∈QN∩E, la suite de réels fn(x1) est bornée. Nous pouvons alors extraire une sous-suite fn,1(x1) qui converge vers un réel noté f(x1).
Pour x2∈QN∩E la suite réelle fn1(x2) est bornée : il existe alors une sous-suite fn1,2(x2) telle que fn1,2(x2) converge vers f(x2).
À l’aide d’extractions successives de sous-suites on obtient pour toutm∈Nune sous-suite
fn1,...,m telle que pour tout j∈{1, . . . ,n} on a
fn1,...,m(xj)→f(xj).
On utilise alors le procédé de la diagonale qui consiste à choisir comme sous-suite fnk =
fk1,...,k. On a alors pour toutm∈N
fnk(xm)→f(xm).
Nous avons défini une fonction f surQN∩E, il nous reste à l’étendre surE. Soitx∈E\QN. Soitε>0 et par densité soitxl∈QN∩Etel que|x−xl| <ε. Par la propriété d’équi-continuité nous avons
|fnk(x)−fnp(x)| ≤ |fnk(x)−fnk(xl)| + |fnk(xl)−fnp(xl)| + |fnp(xl)−fnp(x)|
≤2ω(ε)+ |fnk(xl)−fnp(xl)|.
La suite fnk(xl) étant convergente, elle est de Cauchy. Comme ω(0)=0 et ω continue on obtient que la suite fnk(x) est de Cauchy. On note alors f(x) cette limite et (1) est démontré.
Par passage à la limite la propriété (2) subsiste pour la fonction f.
Montrons la propriété (3). SoitK un compact deE et soitε>0. La collection des boules B(x,ε), x∈E, recouvreK. Comme K est compact soient x1, . . . ,xp ∈E tels que la famille
(B(xj,ε))1≤j≤psoit un sous-recouvrement fini deK. Choisissons un indicem(p) tel que pour tout 1≤j≤pet pour toutnk≥m(p) on a
|fnk(xj)−f(xj)| ≤ε.
Sixest un élément deK,xappartient à une bouleB(xj,ε) ce qui donne pour toutnk≥m(p)
|fnk(x)−f(x)| ≤ |fnk(x)−fnk(xj)| + |fnk(xj)−f(xj)| + |f(x)−f(xj)|
≤ε+2ω(ε).
À une bonne rédaction près la suite fnk converge uniformément surK. Nous avons donné ici la versionRN. Il faut savoir que ce théorème s’étend dans un cadre topologique plus général.
Théorème 11. Soit(fn)une suite de fonctions continues de (E,dE)séparable dans(F,dF).
On suppose que la suite(fn)est équicontinue et equibornée (pour toutxdansEl’ensemble {fn(x) ;n∈N}est compact). Alors il existe une sous suite(fnk)k∈Net une fonction continue f définie deEdansF telles que
— fnk converge simplement vers f
— fnk converge uniformément sur tout compact deE.
