MPSI B DM 10 29 juin 2019
Exercice 1
On dénit
1des polynômes B
n,kpar :
∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀k ∈ J 0, n K , B
n,k= (X + 1)
n−k(X − 1)
k. 1. Quel est le degré d'un B
n,ket son coecent dominant ? Établir
X
n= 1 2
nn
X
k=0
n k
B
n,k.
2. Pour n et k xés, les coecients dans B
n,kde X
0, X
1· · · , X
nsont notés µ
0, µ
1· · · , µ
n. En substituant
1+y1−yà X , montrer que
X
k=
n
X
j=0
λ
jB
n,joù les λ
jsont des nombres réels qui s'expriment très simplement en fonction des µ
n−j. 3. Soit P = (X − a)(X − b) un polynôme du second degré de racines a et b . Exprimer en
fonction de a et b les réels γ
0, γ
1, γ
2tels que P =
2
X
j=0
γ
jB
2,j4. Soit a
1, a
2, · · · , a
n∈ [−1, 1] et Q = Q
nk=1
(X − a
k) .
Montrer qu'il existe des réels positifs ou nuls δ
0, δ
1, · · · , δ
ntels que Q =
n
X
j=0
δ
jB
n,jet δ
0+ δ
1+ · · · + δ
n= 1
Exercice 2
On désigne par cotan la fonction cotangente
cossin. Soit x un nombre réel non entier.
1. a. Préciser les racines 5-èmes de e
2iπx.
b. Soit θ réel ( θ 6≡ 0 mod 2π ), simplier i
Z+1Z−1pour Z = e
iθ.
1d'après ESTP 96 deuxième épreuve. Ces polynômes sont très proches des polynômes de Bernstein.
2. Déterminer les racines du polynôme complexe
(X − i)
5(i + cotan(πx)) + (X + i)
5(i − cotan(πx))
3. En déduire des expressions simples pour la somme et le produit
4
X
k=0
cotan((x + k) π 5 ),
4
Y
k=0
cotan((x + k) π 5 )
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
