Polynômes

I) Auto-test : Polynômes

1. Donner la définition rigoureuse d’un polynôme.

On appelle polynôme à coefficient dans K toute suite presquenulle d’éléments de K i.e. toute suite (a_n)_n∈NdeF(N, K)qui stationne à0_K i.e. il existe un certainN ∈Ntq∀n≥N, a_n: 0_K

(an)_n∈N= (a0, a1, ..., an,0K,0K, ...)

Leur ensemble est noté K[X]et K[X]∈F(N, K) Définition

2. Définir degré et coefficient dominent. Qu’est ce qu’un polynôme unitaire ?

SoitP =X

n∈N

a_nXⁿ∈K[X]

On appelle degré deP la quantitéd^◦P = sup{n∈N/an6= 0K} Définition(degré)

Si P 6= 0, on appelle coefficient dominant deP le coefficienta_n oùn=d^◦P Définition(coefficient dominant)

On appelle polynôme unitaire un polynôme dont le coefficient dominant est égal à1K

Définition(polynôme unitaire)

3. Exprimer les coefficient dominant deP×Q en fonction de ceux de P etQ.

Soient P = X

n∈N

anXⁿ et Q = X

n∈N

bnXⁿ dans K[X]. On définit alors P ×Q comme le polynôme P

n∈NcnXⁿ, où pourn∈N,cn=Pn

k=0akb_n−k Définition

4. Donner les propriétés du degré.

Soient P et QdansK[X] Alors :

1.d^◦(P+Q)≤max{d^◦P;d^◦Q}avec égalité lorsqued^◦P 6=d^◦Q 2.d^◦(P×Q) =d^◦P+d^◦Q

Théorème

5. SAVOIR REFAIRE : montrer que K[X] est intègre.

L’anneau(K[X],+,×)est intègre siP etQsont dansK[X]et si P×Q= 0 AlorsP ouQest nul.

Théorème

Preuve :

SoientP etQdansK[X]tqP×Q= 0 Doncd^◦(P×Q) =d^◦0 =−∞

ord^◦(P×Q) =d^◦P+d^◦Q Ainsid^◦P+d^◦Q=−∞

Ainsid^◦P =−∞oud^◦Q=−∞

DoncP = 0ouQ= 0

6. Donner une base de K[X] où Kn[X]est intègre (où n∈N).

(1, X, X², ..., Xⁿ, ...)est une base deK[X](base canonique, liste infinie)

Si n∈N, Kn[X] est un sous-espace vectoriel de dimension finie deK[X]et dim(Kn[X]) = n+ 1dont une base est(1, X, X², ..., Xⁿ)

Théorème

7. SAVOIR REFAIRE : Montrer qu’une famille échelonnée en degré est libre dans K[X].

Toute famille de polynômes échelonnée en degré est libre.

Théorème

Preuve :

On réordonne la famille de sorte qued^◦P₁< ... < d^◦P_n Soientλ₁, ..., λ_n dansK tqλ₁P₁+...+λ_nP_n= 0_K[X]. Montrons queλ₁=...=λ_n=O_K

Par l’absurde, on suppose qu’ils ne sont pas tous nuls.

J’envisager= max{k∈J1;nK/λ_k 6= 0_K} Ainsiλ1P1+...λrPr= 0

Pr

|{z}

d^◦P_r

=−1 λr

(λ1P1+...+λr−1Pr−1)

| {z }

par somme degré<d^◦P_r

D’où la contradiction.

8. Définir la divisibilité dansK[X]. Donner la définition de deux polynômesP etQassociés. Que dire de deux polynômes unitaires associés ?

Soient A et B dans K[X]. On dit que A divise B, ou que A est un diviseur de B, ou que B est un multiple de Alorsqu’il existe un certainP ∈K[X]tqB=P×A

On note A|B Définition

Soient AetB dansK[X].

Alors(A|B et B|A)⇔(∃λ∈K^∗, A=λB)

On dit alors que les polynômes AetB sont associés.

Deux polynômes unitaires associés sont égaux.

Théorème

9. Polynômes irréductibles : donner la définition et deux exemples de degré différent dansR[X].

On dit queP ∈K[X]est irréductible dansK[X] lorsque : -P est non constant (d^◦P ≥1)

- ses seuls diviseurs sont lesλ∈K^∗ et lesλP oùλ∈K^∗ Définition

Exemples :

1. Les polynômes de degré 1 sont tous irréductibles dansK[X]

2. DansR[X]siP =aX²+bX+caveca, b, créels eta6= 0. AlorsP est irréductible ssi∆<0 10. Énoncer le théorème de division euclidienne dans K[X].

Soient AetB dansK[X], avecB6= 0

Alors il existe un unique couple (Q;R)dansK[X]² tqA=BQ+Retd^◦R < d^◦B.

Qest le quotient et Rle reste de la division euclidienne deAparB. Théorème

11. SAVOIR REFAIRE : soientλ∈K etO∈K[X]. Montrer que λ est racine deP si et seulement si (X−λ) diviseP.

Soient λ∈Ket P ∈K[X].

Alorsλest racine deP dansKssi(X−λ)diviseP ssi∃Q∈K[X]tqP= (X−λ)Q Théorème

Preuve :

SoitP ∈K[X], d’oùP˜ : K → K x 7→ P(x)˜

Soitλ∈K. Si(X−λ)|P, on dispose deQ∈K[X] tqP = (X−λ)Q AlorsP˜:x7→(x−λ) ˜Q(x)

DoncP˜(λ) = (λ−λ) ˜Q(λ) = 0 Doncλest racine deP.

Réciproquement, supposons queλest racine deP.

On effectue la division euclidienne dePpar(X−λ)d’où un unique couple(Q, R)∈K[X²]tq







P= (X−λ)Q+R d^◦R < d^◦(X−λ) = 1 DoncRest une constante. On noteµ=R∈K

P = (X−λ)Q+µ

OrP˜(λ) = 0i.e.(λ−λ) ˜Q(λ) +µ= 0 doncµ= 0et P= (X−λ)Q

Donc(X−λ)|P

12. SAVOIR REFAIRE : Soit P un polynôme de degrén∈N. On suppose queP admetn+ 1racines distinctes. Montrer que P = 0.

Si P ∈K[X]avecd^◦P ≤n∈Net si P admetn+ 1 racine distinctes dansK alors P = 0.

Corollaire

Preuve :

SoitP ∈K[X]tqd^◦≤n

On suppose queP admetn+ 1racines distinctes notéesλ₁, ..., λ_n+1 dansK On applique le théorème àλ₁

D’où un certainQ1∈K[X]tqP = (X−λ1)Q1

P˜(λ2) = 0K, donc(λ2−λ1)

| {z }

6=0K

Q˜1(λ2) = 0K

DoncQ˜1(λ2) =OK i.e.λ2 est racine deQ1dansK On applique le théorème àQ1

D’oùQ2∈K[X]tqQ1= (X−λ2)Q2

ainsiP = (X−λ1)(X−λ2)Q2

OrP˜(λ3) = 0 i.e.(λ3−λ1)(λ3−λ2) ˜Q2(λ3) = 0 DoncQ(λ˜ 3) = 0K

D’oùQn+1∈K[X]tq P

|{z}

d^◦≤n

= (X−λ1)×...×(X−λn+1)

| {z }

d^◦=n+1

Qn+1

n≥d^◦P=n+ 1 +d^◦Qn+1

SiQ_n+16= 0, alors on a un problème de degré.

AinsiQ_n+1= 0, doncP = 0

13. Comment montrer qu’un polynôme est nul via les racines ?

Un polynôme qui admet une infinité de racines est nul Corollaire

14. Définition de la multiplicité d’une racine ? Racine simple, double, triple...

Soient P∈K[X],λ∈K et d∈N

On dit queλest racine dePde multiplicité exactementd/ d’ordredlorsque(X−λ)^d|Pet(X−λ)^d+16 |P i.e. ∃Q∈K[X]tqP = (X−λ)^dQavecQ(λ)˜ 6= 0K

Définition(Multiplicité des racines)

15. SAVOIR REFAIRE : Énoncé et preuve de la formule de Taylor dans K[X].

Soient a∈K etP ∈K[X], Alors

P=X

n∈N

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ Théorème(Formule de Taylor dansK[X])

Preuve :

SoientN ∈Net L: KN[X] → KN[X]

P 7→ P−

N

X

n=0

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ Il s’agit de prouver queLest nulle.

NB : siP ∈KN[X]etn > N, alorsP⁽ⁿ⁾= 0 Donc

N

X

n=0

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ=X

n∈N

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ J’affirme que Lest linéaire.

Il suffit de montrer que∀k∈N,L(X^k) = 0

En effet(X^k)_0≤k≤N est une base deKN[X]et une application linéaire nulle sur une base est nulle sur l’espace tout entier.

On note doncP =X^k montrons queL(X^k) = 0(oùk∈Nest fixé)

P⁰ = kX^k−1 P⁰⁰ = k(k−1)X^k−2

... = ... P⁽ⁿ⁾ = k!

(k−n)!X^k−n sin≤k

Ainsi







P⁽ⁿ⁾(a) = _(k−n)!^k! a^k−n (sin≤k) P⁽ⁿ⁾(a) = 0 (sin > k)

AinsiL(X^k) =X^k−

k

X

n=0

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ

L(X^k) = X^k−

k

X

n=0

k!

(k−n)!n!a^k−n(X−a)ⁿ

= X^k

k

X

n=0



 k n



(X−a)ⁿa^k−n

= X^k−(X−a+a)^k

= X^k−X^k

= 0

16. SAVOIR REFAIRE : Caractérisation de la multiplicité d’une racine à l’aide des dérivées nièmes.

SoitP ∈K[X],P 6= 0,a∈K etd∈N^∗

Alorsaest racine deP de multiplicité exactementdssi







P(a) =...=P^(d−1)(a) = 0K

P^(d)(a)6= 0K

Théorème(Multiplicité d’une racine)

Caractérisation :

On utilise la formule de Taylor :

P=X

n∈N

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ

Soitd∈N^∗

P =

d−1

X

n=0

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ

| {z }

notéR

+X

n≥1

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ

| {z }

notéT

Remarque :T = P^(d)(a)

n! (X−a)^d+P^(d+1)(a)

n! (X−a)ⁿ⁺¹+...

On peut le factoriser par(X−a)^d

D’où un certainQ∈K[X]tqT = (X−a)^dQ

AinsiP = (X−a)^dQ+Ret d^◦R < d=d^◦((X−a)^d)

AinsiQetRsont les quotient et le reste de la division euclidienne deP par(X−a)^d Prouvons l’équivalence

On suppose queP(a) =...=P^(d−1)(a) = 0K et P^(d)6= 0K

R= 0, doncP = (X−a)^dQ Ainsi(X−a)^d|P

orQ= P^(d)(a)

d! +P^(d+1)(a) (d+ 1)! +...

DoncQ(a)6=OK

Donc(X−a)6 |Qi.e. (X−a)^d+16 |P

Doncaest racine de multiplicité exactementddeP

Réciproquement, supposons queaest de racine de multiplicité exactementd.

Donc(X−a)^d|P, doncR= 0 car c’est le reste de la division euclidienne deP par(X−a)^d

OrR=

d−1

X

n+0

P⁽ⁿ⁾(a)

n! (X−a)ⁿ

DoncP(a) =P⁰(a) =...=P^(d−1)(a) = 0K

AinsiP = (X−a)^dQ

(X−a)^d+16 |P donc(X−a)6 |Q DoncQ(a)6= 0K

DoncP^(d)(a)6= 0K

17. Énoncé le théorème d’Alembert-Gauss. Quels sont les polynômes irréductible deC[X]?

Tout polynôme non constant de C[X]admet au moins une racine complexe.

Théorème

Les polynômes irréductibles de C[X]sont exactement ceux de degrés 1 Corollaire

18. Soit z∈Cune racine de P ∈R[X]. Que dire ? Donner des polynômes irréductible deR[X]

Si P ∈R[X]est non constant et si zest racine complexe de P alorsz aussi.

Lemme

Les polynômes irréductibles de R[X] sont exactement ceux de degré 1 et ceux de degré 2 qui ont un discriminant∆<0

Théorème

19. Définir les fonctions symétriques élémentaires des racines pour un polynôme de degrés 3. Donner les relations coefficients/racines dans le cas général.

SoitP ∈K[X]scindé.

On écritP =anXⁿ+...a1X+a0oùan6= 0K.

On note α1, ..., αn ses racines dans K que l’on répète avec ordre de multiplicité de sorte que P = an

n

Y

k=1

(X−ak)

On appelle fonction symétrique en les racines les quantités σ₁=

n

X

k=1

α_k σ₂= X

1≤i<j≤n

α_iα_j ... σ_n= X

A≤i1<...<i_n≤n

α_i1×...×α_in=

n

Y

i=1

α_i Définition

20. Écrire un polynôme unitaire de degré 2,3,4 ou plus en remplaçant les coefficients par les fonction symétriques σk.

1 an

P =Xⁿ−σ₁Xⁿ⁻¹+σ₂Xⁿ⁻²+...+ (−1)ⁿσ_n Corollaire

21. SAVOIR REFAIRE : polynômes interpolateurs de Lagrange

22. SAVOIR REFAIRE : Les polynômes de Tchebychev