polynômes

(1)

POLYNÔMES.

Définitions : On appelle fonction monôme toute fonction définie sur IR, par f(x) = axⁿ, avec a∈IR et n∈IN.

axⁿ est le monôme de coefficient a et d’exposant n.

si a ≠ 0, n est le degré du monôme

remarque : une constante a peut être considérée comme un monôme de coefficient a et d’exposant 0.

Définitions : On appelle (fonction) polynôme, une somme de (fonctions) monômes.

Un polynôme est réduit s’il ne comporte pas plusieurs monômes de même exposant.

Le degré d’un polynôme réduit est celui de son monôme de plus haut degré.

le réel a est une racine de P(x) ⇔ P(a) = 0 Polynômes particuliers : avec a ≠ 0 : P(x) = a, degré 0

P(x) = ax + b, degré 1, P(x) est un binôme P(x) = ax² + bx + c, degré 2, P(x) est un trinôme

On admet que : 2 fonctions polynômes sont égales (*) si elles ont le même degré et que les coefficients des monômes de même exposant sont égaux.

(*) les fonctions sont égales c'est à dire P(x) = Q(x) pour tous les réels x.

Applications : 1

1 1

1 factorisation d’un polynôme.

P(x) = x³− 3x − 2.

1. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que P(x) = (x − 2)(ax² + bx + c).

2. Terminer la factorisation de P(x).

1. On met (x − 2)(ax² + bx + c) sous la même forme que P(x) en développant :

(x − 2)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx − 2ax² − 2bx − 2c = ax³ + (b − 2a)x² + (c − 2b)x −2c

les polynômes ax³ + (b−2a)x² + (c−2b)x −2c et P(x) sont égaux si les coefficients des monômes de même exposant sont égaux

Par identification avec P(x) on obtient



 

^{a = 1}_{b - 2a = 0}

c - 2b = -3 -2c = -2

d’où

 



^{a = 1}

b = 2 c = 1

et donc P(x) = (x − 2)(x² + 2x + 1) 2. P(x) = (x − 2)(x² + 2x + 1) = (x − 2)(x + 1)²

ex : P(x) = x⁴+ 2x² − 3

1. Montrer qu’il existe quatre réels a, b, c et d tels que P(x) = (x −1)(ax³+ bx² + cx + d) 2. Terminer la factorisation de P(x).

ex : P(x) = x³− 2x² − 5x + 6

1. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que P(x) = (x − 1)(ax² + bx + c).

2. Terminer la factorisation de P(x).

22

22 changement d’écriture d’une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes).

f(x) = x²+3x +4

x +2 . f(x) existe à condition que x + 2 ≠ 0 c'est à dire x ≠ −2 donc D_f = IR\{−2}.

Montrer qu’il existe 3 réels a, b et c tels que : pour tout x de D_f , f(x) = ax + b + c x +2 on met ax + b + c

x +2 sous la même forme que f(x) en réduisant au même dénominateur : ax + b + c

x +2 = … = ax² + (2a + b)x + 2b + c

x + 2 ceci doit être égal à f(x) pour tout réel x de D_f .

il faut pour cela que les polynômes x ² + 3x + 4 et ax² + (2a + b)x + (2b + c) soient égaux pour tout réel x de D_f . et donc que les coefficients des monômes de même exposant soient égaux

Par identification on obtient :

 



^{a = 1}

2a+b = 3 2b+c = 4

d’où

 



^{a = 1}

b = 1 c = 2

et donc, ∀ x ∈ D_f, f(x) = x + 1 + 2 x +2

ex : f(x) = x² - x

x - 2 . Montrer qu’il existe 3 réels a, b et c tels que : pour tout x de D_f , f(x) = ax + b + c x -2

(2)

ex : P(x) = x⁴+ 2x² −−−− 3

1. Montrer qu’il existe quatre réels a, b, c et d tels que P(x) = (x −1)(ax³+ bx² + cx + d)

(x −1)(ax³+ bx² + cx + d) = ax⁴+ bx³ + cx² + dx − ax³− bx² − cx – d = ax⁴+ (b – a)x³ + (c – b)x² + (d– c)x – d le polynôme obtenu doit être égal à P(x) pour tout réel x

il faut pour cela que les coefficient des monômes de même exposant soient égaux

par identification avec P(x), on obtient

 



^{a = 1}_{b - a = 0}

c - b = 2 d - c = 0 -d = -3

d’où



 

^{a = 1}_{b = 1}

c = 3 d = 3

et donc P(x) = (x – 1)(x³ + x² + 3x + 3)

2. Terminer la factorisation de P(x). P(x) = (x – 1)(x³ + x² + 3x + 3)

x³ + x² + 3x + 3 = (x³ + x²) + (3x + 3) = x²(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x² + 3) donc P(x) = (x – 1)(x + 1)(x² + 3) (x² + 3 ne se factorise pas).

ex : P(x) = x³−−−− 2x² − 5x + 6

1. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que P(x) = (x − 1)(ax² + bx + c).

(x − 1)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx – ax² − bx – c = ax³ + (b – a)x² + (c – b)x – c

par identification avec P(x), on obtient :



 

_{b - a = -2}^{a = 1}

c - b = -5 -c = 6

d’où

 



^{a = 1}

b = -1 c = -6

et donc P(x) = (x – 1)(x² − x − 6)

2. Terminer la factorisation de P(x). P(x) = (x – 1)(x² − x − 6)

x² − x − 6 a pour discriminant ∆ = (−1)² − 4(1)(−6) = 25 = 5² et donc pour racines 1 - 5

2 = −2 et 1 + 5 2 = 3 donc P(x) = (x – 1)(x + 2)(x – 3)

ex : f(x) = x² - x

x - 2 . f(x) existe à condition que x − 2 ≠ 0 c'est à dire x ≠ 2 donc D_f = IR\{2}.

Montrer qu’il existe 3 réels a, b et c tels que : pour tout x de D_f , f(x) = ax + b + c x -2 ax + b + c

x -2 = … = ax² + (b - 2a)x - 2b + c

x - 2 ceci doit être égal à f(x) pour tout réel x de D_f . Par identification on obtient :

 



^{a = 1}

b - 2a = -1 -2b+c = 0

d’où

 



^{a = 1}

b = 1 c = 2

et donc, ∀ x ∈ D_f, f(x) = x + 1 + 2 x -2