POLYNÔMES.
Définitions : On appelle fonction monôme toute fonction définie sur IR, par f(x) = axn, avec a∈IR et n∈IN.
axn est le monôme de coefficient a et d’exposant n.
si a ≠ 0, n est le degré du monôme
remarque : une constante a peut être considérée comme un monôme de coefficient a et d’exposant 0.
Définitions : On appelle (fonction) polynôme, une somme de (fonctions) monômes.
Un polynôme est réduit s’il ne comporte pas plusieurs monômes de même exposant.
Le degré d’un polynôme réduit est celui de son monôme de plus haut degré.
le réel a est une racine de P(x) ⇔ P(a) = 0 Polynômes particuliers : avec a ≠ 0 : P(x) = a, degré 0
P(x) = ax + b, degré 1, P(x) est un binôme P(x) = ax² + bx + c, degré 2, P(x) est un trinôme
On admet que : 2 fonctions polynômes sont égales (*) si elles ont le même degré et que les coefficients des monômes de même exposant sont égaux.
(*) les fonctions sont égales c'est à dire P(x) = Q(x) pour tous les réels x.
Applications : 1
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1 factorisation d’un polynôme.
P(x) = x3 − 3x − 2.
1. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que P(x) = (x − 2)(ax² + bx + c).
2. Terminer la factorisation de P(x).
1. On met (x − 2)(ax² + bx + c) sous la même forme que P(x) en développant :
(x − 2)(ax² + bx + c) = ax3 + bx² + cx − 2ax² − 2bx − 2c = ax3 + (b − 2a)x² + (c − 2b)x −2c
les polynômes ax3 + (b−2a)x² + (c−2b)x −2c et P(x) sont égaux si les coefficients des monômes de même exposant sont égaux
Par identification avec P(x) on obtient
a = 1b - 2a = 0c - 2b = -3 -2c = -2
d’où
a = 1b = 2 c = 1
et donc P(x) = (x − 2)(x² + 2x + 1) 2. P(x) = (x − 2)(x² + 2x + 1) = (x − 2)(x + 1)²
ex : P(x) = x4 + 2x² − 3
1. Montrer qu’il existe quatre réels a, b, c et d tels que P(x) = (x −1)(ax3 + bx² + cx + d) 2. Terminer la factorisation de P(x).
ex : P(x) = x3 − 2x² − 5x + 6
1. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que P(x) = (x − 1)(ax² + bx + c).
2. Terminer la factorisation de P(x).
22
22 changement d’écriture d’une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes).
f(x) = x²+3x +4
x +2 . f(x) existe à condition que x + 2 ≠ 0 c'est à dire x ≠ −2 donc Df = IR\{−2}.
Montrer qu’il existe 3 réels a, b et c tels que : pour tout x de Df , f(x) = ax + b + c x +2 on met ax + b + c
x +2 sous la même forme que f(x) en réduisant au même dénominateur : ax + b + c
x +2 = … = ax² + (2a + b)x + 2b + c
x + 2 ceci doit être égal à f(x) pour tout réel x de Df .
il faut pour cela que les polynômes x ² + 3x + 4 et ax² + (2a + b)x + (2b + c) soient égaux pour tout réel x de Df . et donc que les coefficients des monômes de même exposant soient égaux
Par identification on obtient :
a = 12a+b = 3 2b+c = 4
d’où
a = 1b = 1 c = 2
et donc, ∀ x ∈ Df, f(x) = x + 1 + 2 x +2
ex : f(x) = x² - x
x - 2 . Montrer qu’il existe 3 réels a, b et c tels que : pour tout x de Df , f(x) = ax + b + c x -2
