1
A quoi servent-ils ? voir vidéo du professeur « Des polynômes du 2nd degré tout autour de nous_.mp4 » sur http://urbanmathproject.free.fr/documents.php#Classe_de_1ere
I. Fonction polynôme de degré 2
Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec 𝑎 ≠ 0.
Remarque :
Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle aussi, par abus de langage, « trinôme ».
Exemples et contre-exemples :
- 𝑓(𝑥) = 3𝑥2− 7𝑥 + 3 on a : a = 3 ; b = -7 et c = 3 - 𝑔(𝑥) =1
2𝑥2− 5𝑥 +3
5 a= 1
2; b = -5 et c = 3
5
- ℎ(𝑥) = 4 − 2𝑥2 a = -2 ; b = 0 et c = 4
- 𝑘(𝑥) = (𝑥− 4)(5 − 2𝑥) est une fonction polynôme de degré 2.
- 𝑚(𝑥) = 5𝑥− 3 n’est pas un trinôme car a = 0. C’est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine).
- 𝑛(𝑥) = 5𝑥4− 7𝑥3+ 3𝑥 − 8 est une fonction polynôme de degré 4.
II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2
Une écriture différente pour un trinôme. Exemple : Soit la fonction f définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 10𝑥 + 9.
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique :
𝑓(𝑥) = (x − )
2+ où , et sont des nombres réels.
𝑓(𝑥) = 𝑥
2− 10𝑥 + 9 = (𝑥 − 5)
2− 25 + 9 = (𝑥 − 5)
2− 16
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)
2− 16 est la forme canonique de f.
Pour être à l’aise avec la mise en forme canonique, consulter le fichier « Fiche méthode sur la forme canonique » sur http://urbanmathproject.free.fr/documents.php#Classe_de_1ere
Exercices : n° 29 page 59 + n° 34 et 37 page 88 + n° 19 page 87 + n° 56 page 62.
Propriété :
Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 peut s'écrire sous la forme :
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)2+ 𝛽
avec 𝛼 = −
𝑏2𝑎
et 𝛽 = 𝑓(𝛼) = −𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
.
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.car 𝑥
2− 10𝑥 est le début du développement de (𝑥 − 5)
2et (𝑥 − 5)
2= 𝑥
2− 10𝑥 + 25
Les polynômes du 2nd degré
-Partie 1-
2
III. Variations et représentation graphique
Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 −1)2+3 Alors : 𝑓(𝑥) ≥3 car 2(𝑥 − 1)2 est positif.
Or 𝑓(1) =3 donc pour tout x, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(1).
f admet donc un minimum en 1 et ce minimum est égal à 3.
Propriété :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)
2+ 𝛽, avec 𝑎 ≠ 0.
- Si 𝑎 > 0, f admet un minimum au point de coordonnées (𝛼; 𝛽).
- Si 𝑎 < 0, f admet un maximum au point de coordonnées (𝛼; 𝛽).
On peut retenir que f admet un extremum (ou un minimum) pour 𝑥 = −
𝑏 2𝑎.
- Si 𝑎 > 0:
x
−∞ −
𝑏2𝑎
+∞
f
𝑓 (−
𝑏2𝑎
)
- Si 𝑎 < 0:
x
−∞ −
𝑏2𝑎
+∞
f
𝑓 (−
𝑏2𝑎
)
Dans un repère orthogonal (𝑂 ; 𝑖⃗, 𝑗⃗), la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.
Le point M de coordonnées (−
𝑏2𝑎
; 𝑓 (−
𝑏2𝑎
)) est le sommet de la parabole.
Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f.
La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation 𝑥 = −
𝑏 2𝑎.
Exercices : n° 73 et 74 page 63 + n° 86 page 93.
n° 68, 71 et 67 page 63.
Fiche exercices « Trinômes et représentation graphique.pdf » surhttp://urbanmathproject.free.fr/documents.php#Classe_de_1ere