2. Démontrer que le polynôme P est l'unique polynôme de degré 2 passant par les points A, B et C.

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2012-2013

Travaux dirigés - 6 Exercice 1

Q. 1 1. Ecrire explicitement un polynôme P de degré 2 passant par les points A p 1; 2 q , B p 2; 6 q et C p 3; 12 q .

2. Démontrer que le polynôme P est l'unique polynôme de degré 2 passant par les points A, B et C.

Q. 2 Ecrire explicitement un polynôme Q de degré 3 tel que

Q p 1 q 4, Q p 2 q 5,

Q ¹ p 1 q 3, Q ¹ p 2 q 2.

Exercice 2

Soient n P N et n 1 couples de R ² , p x _i , y _i q i Pv 0,n w , tels que les x _i sont distincts deux à deux. On note Q. 1 1. Soit i P v 0, n w . Montrer qu'il existe un unique polynôme L _i de degré n vériant

L _i p x _j q δ _ij , @ j P v 0, n w . (2.1) 2. Montrer que les p L i q i Pv 0,n w forment une base de R n r X s (espace vectoriel des polynômes à coecients réels

de degré inférieur ou égal à n ).

On déni le polynôme P n par

P n p x q

¸ n i 0

y i L i p x q . (2.2)

Q. 2 Que peut-on dire du polynôme P n ?

Soit π _n le polynôme de degré n 1 déni par π n p x q

¹ n i 0

p x x i q . (2.3)

Q. 3 Soit f P C ^{n 1} pr a; b s ; Rq . On suppose que @ i P v 0, n w , x i P r a; b s et y i f p x i q . Montrer que, @ x P r a; b s , il existe ξ x appartenant au plus petit intervalle fermé contenant x, x 0 , . . . , x n tel que

f p x q P n p x q π _n p x q

p n 1 q ! f ^{p n 1 q} p ξ _x q . (2.4) Indication : Etudier les zéros de la fonction F p t q f p t q P n p t q f p x q P n p x q

π _n p x q π n p t q .

On cherche, par la suite, à exprimer le polynôme P n sous une autre forme moins coûteuse en terme d'opérations.

Q. 4 Soit i P v 0, n w .

1. Calculer π _n ¹ p x q et en déduire π ¹ _n p x _i q .

2. Calculer L _i p x q en fonction de π _n p x q et π ¹ _n p x _i q . Q. 5 1. Montrer que

P n p x q π n p x q

¸ n i 0

y i

p x x _i q π _n ¹ p x _i q . (2.5)

1

2. Démontrer que

¸ n i 0

L i p x q 1. (2.6)

En déduire que

P n p x q

° n i 0

y

p x x

q π

p x

q

° n i 0

p x x

q 1 π

p x

q

. (2.7)

Q. 6 1. Donner le coût de calcul de P n p x q par (2.2).

2. Donner le coût de calcul de P n p x q par (2.7).

3. Pour le calcul de P n p x q avec plusieurs valeurs de x , peut-on améliorer son coût?

Exercice 3

Soit t ₀   t ₁ deux nombres réels et soit ε un réel tel que 0   ε   ^t

₂ ^t

. Q. 1 Expliciter un polynôme P ε de degré 3 tel que

P ε p t 0 q P ε p t 0 ε q 1, (3.1)

P _ε p t ₁ q P _ε p t ₁ ε q 0. (3.2)

On note Φ ₀ p t q lim

ε Ñ 0 P ε p t q .

Q. 2 1. Montrer que Φ 0 p t 0 q 1, Φ ¹ ₀ p t 0 q 0, Φ 0 p t 1 q 0 et Φ ¹ ₀ p t 1 q 0 (i.e. Φ 0 est une fonction de base des polynômes de degré 3 pour l'interpolation de Hermite).

2. Peut-on obtenir toutes les fonctions de base de Hermite par des procédés analogues. Si oui, expliquer

comment!

Exercice 4

Q. 1 Construire les polynômes h 00 , h 10 , h 01 et h 11 de degré 3 vériant

h 00 p 0 q 1,h ¹ ₀₀ p 0 q h 00 p 1 q h ¹ ₀₀ p 1 q 0, (4.1) h 10 p 1 q 1,h 10 p 0 q h ¹ ₀₀ p 0 q h ¹ ₁₀ p 1 q 0, (4.2) h ¹ ₀₁ p 0 q 1,h ₀₁ p 0 q h ₀₁ p 1 q h ¹ ₀₁ p 1 q 0, (4.3) h ¹ ₁₁ p 1 q 1,h 11 p 0 q h ¹ ₁₁ p 0 q h 11 p 1 q 0; (4.4) On pose

Pp x q αh 00 p x q βh 10 p x q γh 01 p x q δh 11 p x q . (4.5)

Q. 2 Quelles sont les particularités de P?

Soient a et b deux réels, a   b et Q le polynôme de degré 3 vériant

Q p a q u _a , Q ¹ p a q v _a , Q p b q u _b et Q ¹ p b q v _b .

Q. 3 Exprimer le polynôme Q avec les fonctions h ₀₀ , h ₁₀ , h ₀₁ et h ₁₁ .

2

Exercice 5

Soient p x i , y i , z i q ß Pv 0,n w n 1 triplets de R ³ , où les x i sont des points distincts deux à deux de l'intervalle r a, b s . Le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite, noté H n , associé aux n 1 triplets p x i , y i , z i q i Pv 0,n w , est déni par

H n p x _i q y _i et H ¹ n p x _i q z _i , @ i P v 0, n w (5.1)

Q. 1 Quel est a priori le degré de H n ?

On déni le polynôme P n par

P n p x q

¸ n i 0

y i A i p x q

¸ n i 0

z i B i p x q (5.2)

avec, pour i P v 0, n w , A i et B i polynômes de degré au plus 2n 1 indépendants des valeurs y i et z i . Q. 2 1. Déterminer des conditions susantes sur A i et B i pour que P n H n .

2. En déduire les expressions de A _i et B _i en fonction de L _i et de L ¹ _i p x _i q où L i p x q

¹ n j 0 j i

x x j

x i x j

.

Q. 3 Démontrer qu'il existe un unique polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite de degré au plus 2n 1

déni par (5.1).

Soit f P C ^{2n 2} pr a, b s ; Rq . On suppose de plus que, @ i P v 0, n w , x i P r a, b s , y i f p x i q et z i f ¹ p x i q . On note

π _n ² p x q

¹ n i 0

p x x _i q ² . Q. 4 Montrer que

| f p x q H n p x q| ¤ f ^{p 2n 2 q}

p 2n 2 q 8 ! π _n ² p x q . (5.3)

Indications : Etudier les zéros de la fonction F p y q f p y q H n p y q f p x q H n p x q

π _n ² p x q π ² _n p y q et appliquer le

théorème de Rolle.

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