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on appelle polynôme en A, toute matrice de la forme P(A), où P ∈ K[X]

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Problème : Commutant de certaine matrice

Dans ce problème, n est un entier naturel non nul et K est l’un des corps R ou C. Pour tout A ∈ Mn(K),

— on appelle commutant de A, l’ensemble, noté C(A), des matrices de Mn(K) commutant avec A,

— on appelle polynôme en A, toute matrice de la forme P(A), où P ∈ K[X]. L’ensemble des polynômes enA est notéK[A].

Rappelons que siP =

n

X

k=0

akXk alorsP(A) =

n

X

k=0

akAk

L’objectif de ce problème est de calculer un certain nombre de commutant.

Partie I : Préliminaires

1. Montrer que, pour toutA∈ Mn(K),K[A]etC(A) sont des sous-espaces vectoriels deMn(K).

2. Montrer que, pour tout A∈ Mn(K),K[A]etC(A) sont des sous-anneaux deMn(K).

3. Montrer que, pour tout A∈ Mn(K),K[A]⊂ C(A).

4. Soit P ∈ GLn(K). Montrer que la restriction à C(A) de l’application ϕ définie par ϕ(M) = P−1M P est un isomorphisme deC(A)sur C(P−1AP).

Partie II : Étude d’un exemple

On pose A=

1 1 0 0 1 0 0 0 1

.

1. CalculerC(A).

2. Calculer la dimension de C(A).

3. Calculer(A−I3)3. Est-il vrai queK[A] =C(A)?

Partie III : Commutant de certaine matrice diagonale SoitD∈ Mn(K)diagonale de coefficients diagonaux d1,· · ·, dn deux à deux distincts.

1. Montrer que l’ensemble des matrices deC(D)est l’ensemble des matrices diagonales deMn(K).

2. En déduire la dimension deC(D).

3. Montrer que la famille(In, D,· · ·, Dn−1) est libre.

Indication : On introduira un polynôme de degré 6n−1 admettant n racines.

4. Est-il vrai que C(D) =K[D]?

Partie IV : Commutant d’une matrice diagonalisable à valeurs propres distinctes Dans cette partie, on suppose que A∈ Mn(K) est semblable à la matriceD de la partie précédente.

1. En utilisant ce qui précède, calculer C(A).

2. Calculer la dimension de C(A).

3. Est-il vrai K[A] =C(A)?

Partie V : Commutant d’une matrice diagonale

1

(2)

SoitD∈ Mn(K)diagonale, par blocs, de la formeD=

d1Ip1 (0) d2Ip2

. ..

(0) drIpr

avecd1,· · · , dr∈ Kdistincts deux à deux.

Attention, on donne iciD par blocs etp1+· · ·+pr=n.

Par exemple, la matrice

4 0 0 0

0 5 0 0

0 0 6 0

0 0 0 6

est de la forme

4I1 (0)

5I1

(0) 6I2

.

1. Montrer queC(D)est l’ensemble des matrices diagonales par blocs de la forme

M1 (0) . ..

(0) Mr

 oùM1 ∈ Mp1(K),· · · , Mr∈ Mpr(K).

2. Calculer la dimension de C(D).

Indication : On introduira l’application

ϕ: Mp1(K)× · · · × Mpr(K) → C(D) (M1,· · ·, Mr) 7→

M1 (0) . ..

(0) Mr

 .

3. Est-il vrai que K[D] =C(D)?

Partie VI : Commutant de certaine matrice nilpotente

Dans cette partie, on suppose que N =

0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 ... ... . .. ... ...

0 0 · · · 1 0

∈ Mn(K).

Plus précisément, si l’on nommeni,j le coefficient d’indice(i, j) de N alors ni,j =

1 sij =i−1, 0 sinon.

1. Calculer les puissances successives deN. 2. CalculerC(N).

3. Montrer que(In, N,· · · , Nn−1) forme une base de C(N).

4. Est-il vrai que K[N] =C(N)?

Partie VII : Commutant d’une matrice élémentaire SoitEr,sla matrice élémentaire d’indice (r, s) de Mn(K).

1. Déterminer C(Er,s).

2. Calculer la dimension de C(Er,s).

3. Est-il vrai que K[Er,s] =C(Er,s)?

* * * FIN DU SUJET * * *

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