Problème : Commutant de certaine matrice
Dans ce problème, n est un entier naturel non nul et K est l’un des corps R ou C. Pour tout A ∈ Mn(K),
— on appelle commutant de A, l’ensemble, noté C(A), des matrices de Mn(K) commutant avec A,
— on appelle polynôme en A, toute matrice de la forme P(A), où P ∈ K[X]. L’ensemble des polynômes enA est notéK[A].
Rappelons que siP =
n
X
k=0
akXk alorsP(A) =
n
X
k=0
akAk
L’objectif de ce problème est de calculer un certain nombre de commutant.
Partie I : Préliminaires
1. Montrer que, pour toutA∈ Mn(K),K[A]etC(A) sont des sous-espaces vectoriels deMn(K).
2. Montrer que, pour tout A∈ Mn(K),K[A]etC(A) sont des sous-anneaux deMn(K).
3. Montrer que, pour tout A∈ Mn(K),K[A]⊂ C(A).
4. Soit P ∈ GLn(K). Montrer que la restriction à C(A) de l’application ϕ définie par ϕ(M) = P−1M P est un isomorphisme deC(A)sur C(P−1AP).
Partie II : Étude d’un exemple
On pose A=
1 1 0 0 1 0 0 0 1
.
1. CalculerC(A).
2. Calculer la dimension de C(A).
3. Calculer(A−I3)3. Est-il vrai queK[A] =C(A)?
Partie III : Commutant de certaine matrice diagonale SoitD∈ Mn(K)diagonale de coefficients diagonaux d1,· · ·, dn deux à deux distincts.
1. Montrer que l’ensemble des matrices deC(D)est l’ensemble des matrices diagonales deMn(K).
2. En déduire la dimension deC(D).
3. Montrer que la famille(In, D,· · ·, Dn−1) est libre.
Indication : On introduira un polynôme de degré 6n−1 admettant n racines.
4. Est-il vrai que C(D) =K[D]?
Partie IV : Commutant d’une matrice diagonalisable à valeurs propres distinctes Dans cette partie, on suppose que A∈ Mn(K) est semblable à la matriceD de la partie précédente.
1. En utilisant ce qui précède, calculer C(A).
2. Calculer la dimension de C(A).
3. Est-il vrai K[A] =C(A)?
Partie V : Commutant d’une matrice diagonale
1
SoitD∈ Mn(K)diagonale, par blocs, de la formeD=
d1Ip1 (0) d2Ip2
. ..
(0) drIpr
avecd1,· · · , dr∈ Kdistincts deux à deux.
Attention, on donne iciD par blocs etp1+· · ·+pr=n.
Par exemple, la matrice
4 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 6
est de la forme
4I1 (0)
5I1
(0) 6I2
.
1. Montrer queC(D)est l’ensemble des matrices diagonales par blocs de la forme
M1 (0) . ..
(0) Mr
oùM1 ∈ Mp1(K),· · · , Mr∈ Mpr(K).
2. Calculer la dimension de C(D).
Indication : On introduira l’application
ϕ: Mp1(K)× · · · × Mpr(K) → C(D) (M1,· · ·, Mr) 7→
M1 (0) . ..
(0) Mr
.
3. Est-il vrai que K[D] =C(D)?
Partie VI : Commutant de certaine matrice nilpotente
Dans cette partie, on suppose que N =
0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 ... ... . .. ... ...
0 0 · · · 1 0
∈ Mn(K).
Plus précisément, si l’on nommeni,j le coefficient d’indice(i, j) de N alors ni,j =
1 sij =i−1, 0 sinon.
1. Calculer les puissances successives deN. 2. CalculerC(N).
3. Montrer que(In, N,· · · , Nn−1) forme une base de C(N).
4. Est-il vrai que K[N] =C(N)?
Partie VII : Commutant d’une matrice élémentaire SoitEr,sla matrice élémentaire d’indice (r, s) de Mn(K).
1. Déterminer C(Er,s).
2. Calculer la dimension de C(Er,s).
3. Est-il vrai que K[Er,s] =C(Er,s)?
* * * FIN DU SUJET * * *
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