, n désigne un entier naturel. Pour toute matrice A ∈ M n ( R ) , le polynôme caractéristique de la matrice A (noté P A ) est le polynôme associé à la fonction x → det(xI n − A) de R dans R.

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 17 pour le 12/05/14 1

septembre 2019

Problème

Dans ce problème

, n désigne un entier naturel. Pour toute matrice A ∈ M n ( R ) , le polynôme caractéristique de la matrice A (noté P _A ) est le polynôme associé à la fonction x → det(xI _n − A) de R dans R.

Partie I. Coecients du polynôme caractéristique

1. Calculer les polynômes caractéristiques des matrices suivantes :









0 0 0 −a 1 0 0 −b 0 1 0 −c 0 0 1 −d







 ,





0 a b

−a 0 c

−b −c 0





2. Soit A ∈ M n ( R ) , préciser le degré de P A , son coecient dominant, le coecient du terme de degré n − 1 et le coecient du terme de degré 0.

3. Pour i entre 1 et n , on note X i ∈ M n,1 ( R ) la colonne dont tous les coecients sont nuls sauf celui d'indice i qui vaut 1.

a. Montrer que pour B ∈ M n ( R ) et h réel, le coecient de h dans le développement de det(hI n + B) est tr( ^t Com B) .

b. En déduire le coecient du terme de degré 1 dans P _A .

Partie II. Théorème de Cayley-Hamilton

Dans cette partie et la suivante, A ∈ M _n ( R ) est xée et on note P au lieu de P _A avec P = P A = X ⁿ + a 1 X ⁿ⁻¹ + a 2 X ⁿ⁻² + · · · + a n−1 X + a n et a 0 = 1

On dénit aussi, pour tout x réel, la matrice C(x) par C(x) = ^t Com(xI n − A)

1. Soit B ₀ , B ₁ , · · · , B _n des matrices dans M _n ( R ) telles que, pour une innité de x réels, B 0 + xB 1 + · · · + x ⁿ B n = 0 _M

(

)

Montrer que B 0 , B 1 , · · · , B n sont nulles. En déduire un principe d'identication à for- muler clairement.

1

d'après Ec Sup d'Ingénieurs de Marseille Math 2 M 1990

2. Montrer qu'il existe des matrices C 0 , C 1 , · · · , C n−1 ∈ M n ( R ) telles que C(x) = C ₀ + xC ₁ + · · · + x ⁿ⁻¹ C _n−1

3. Montrer les relations suivantes

C _n−1 = I n

C _n−2 − C _n−1 A = a ₁ I _n C n−3 − C n−2 A = a 2 I n

...

C 0 − C 1 A = a _n−1 I n

−C 0 A = a _n I _n 4. a. Exprimer C _n−1 , C _n−2 , · · · , C 1 , C 0 en fonction de A .

b. Prouver le théorème de Cayley-Hamilton c'est à dire

A ⁿ + a 1 A ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 A + a n I n = 0 _M

₍

₎

Partie III. Application aux matrices nilpotentes

1. a. Écrire le développement de P(x + h) suivant les puissances de h à l'aide de la formule de Taylor.

b. Montrer que P ⁰ (x) = tr(C(x)) .

2. Montrer que tr(C _j ) = (j + 1) a _n−j−1 pour tous les j entre 1 et n − 1 . 3. Montrer que tr(A) = tr(A ² ) = · · · = tr(A ⁿ ) = 0 implique A ⁿ = 0 _M

₍

₎ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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