Colle PC Semaines 23 et 24 2014-2015
Programme :
• Systèmes différentiels ;
• Espaces préhilbertiens et euclidiens ; EXERCICE 1 :
Résoudre le système différentiel réel (H) :X′=AX oùA=
0 2 2
−1 2 2
−1 1 3
avecX =
x1(t) x2(t) x3(t)
• • • Correction :
On calcule le polynôme caractéristique et l’on trouve :χA(X) =−(X−1)(X−2)2
On forme la matrice A−2I =
−2 2 2
−1 0 2
−1 1 1
, elle est de rang 2 donc ker(A−2I) = 1 6= 2, donc la matriceA n’est pas diagonalisable mais elle est trigonalisable.
On trouve ker(A−2I) = vect{(2,1,1)}et ker(A−I) = vect{(2,0,1)}.
On pose v1 = (2,0,1) etv2= (2,1,1). On cherche une base (v1, v2, v3) de R3 dans laquelle la matrice de l’endo- morphismeuassocié àAestT =
1 0 0 0 2 1 0 0 2
.
v3 doit vérifieru(v3) =v2+ 2v3⇔(u−2id)(v3) =v2. On résout donc le système (A−2I)X =v2avecX
x y z
et on choisit une solution de sorte que (v1, v2, v3) forme une base.
(A−2I)X=v2⇔
−2x+ 2y+ 2z= 2
−x+ 2z= 1
−x+y+z= 1
v3= (−1,0,0) convient.
La matrice de passage de (e1, e2, e3) à (v1, v2, v3) estP =
2 2 −1
0 1 0
1 1 0
. On aT =P−1AP.
Le changement de fonction inconnue défini parX=P Y aboutit au systèmeY′ =T Y ⇔
y′1=y1
y′2= 2y2+y3
y′3= 2y3
On en déduit
y1=aet
y2=be2t+cte2t y3=ce2t
(En effet on cherche une solution particulière de y′2−2y2 = ce2t sous la forme y=c(kt+l)e2t).
AvecX =P Y, on trouve les solutions :
x1= 2aet+ (2b−c+ 2ct)e2t x2= (b+ct)e2t
x3=aet+ (b+ct)e2t
EXERCICE 2 :
Résoudre le système différentiel (S)
x′= 3x+ 2y+z y′ =x+ 3y−z z′= 2x+ 4y+ 3z
• • •
Correction : (S)⇔X′ =AX avecA=
3 2 1
1 3 −1
2 4 3
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χA(X) =
3−X 2 1
1 3−X −1
2 4 3−X
àchercher= −(X−3)3, 3 est valeur propre triple mais comme A6=I3,An’est pas diagonalisable, mais elle est trigonalisable.
• Recherche de vecteurs propres :A
x y z
= 3
x y z
⇔
2y+z= 0 x−z= 0 2y+ 4y= 0
⇔x=z=−2y. le sous-espace propre est une droite engendrée par exemple parw1= (2,−1,2).
On cherche une base de trigonalisation (w1, w2, w3) dans lequel l’endomorphisme associé àAadmet la matrice
3 1 0 0 3 1 0 0 3
.
• On cherche doncw2vérifiantAw2= 3w2+w1, c’est à dire que l’on résout (A−3I3)
x y z
=
2
−1 2
et ce système permet le choix dew2= (1,0,2).
• Aw3= 3w3+w2 conduit au choix suivant : w3= (1,0,1).
On construitP =
2 1 1
−1 0 0
2 2 1
, puisP−1=
0 −1 0
−1 0 1
2 2 −1
ce qui donneP−1AP =T. (S)⇔
x′ y′ z′
=P T P−1
x y z
⇔P−1
x′ y′ z′
=T P−1
x y z
. Si l’on poseP1
x y z
=
u v w
alors on aP−1
x′ y′ z′
=
u′ v′ w′
(coefficients deP−1 constants et propriété de la dérivation) Ainsi (S) devient
u′ v′ w′
=
3 1 0 0 3 1 0 0 3
x y z
⇔
u′ = 3u+v v′ = 3v+w w′= 3w
• Début de la résolution :w′ = 3w⇒ w(t) =ae3t puisv′(t) = 3v(t) +ae3t et v(t) =be3t+vp(t) où vp est une solution particulière de l’équation complète de la forme t 7→ bpte3t puisque t 7→ e3t est solution de l’équation homogène. La recherche devp conduit àbp=a.
Ainsi v(t) = (at+b)e3t
Et enfin, u′(t) = 3u(t) +v(t) implique queu(t) =ce3t+up(t) oùup est une solution particulière de l’équation complète de la formet7→(λt2+µt)e3t. La recherche de upconduit à λ=1
2aet µ=b.
On obtient donc
u(t) =
1
2at2+bt+c
e3t v(t) = (at+b)e3t
w(t) =ae3t
mult.par.P⇔
x(t) = [at2+ (2b+a)t+ 2c+b+a]e3t y(t) =−
1
2at2+bt+c
e3t
z(t) = (at2+ 2(b+a)t+ 2c+ 2b+a)e3t EXERCICE 3 :
Résoudre le système différentiel réel (H) :X′=AX oùA=
2 0 1
−1 1 −1
1 2 0
avecX(0) =
x0
y0
z0
• • •
Correction : χA(X) =
2−X 0 1
−1 1−X −1
1 2 −X
àchercher= (1−X)3, A n’est pas diagonalisable car 1 est la seule valeur propre etA6=I3.
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La matrice A−I3=
1 0 1
−1 0 −1 1 2 −1
est de rang 2 car les colonnes C1 et C2 sont linéairement indépendantes et C3=C1−C2. Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est donc de dimension 1, engendré par (1,−1,−1).
Dans cette situation, (A−I3)2 6= 0 et (A−I3)3 = 0. La matriceA−I3 est nilpotente d’ordre 3 donc la famille (0.5u2(e1), u(e1), e1) est une base de R3. (uendomorphisme associé àA−I3)
On construitP =
1 1 1
−1 −1 0
−1 1 0
, puisP−1AP =
1 2 0 0 1 1 0 0 1
=T carP−1(A−I3)P =
0 2 0 0 0 1 0 0 0
.
À partir de là, la démarche est comparable à celle de l’exercice précédent :
x(t) = [at2+ (a+ 2b)t+c+b+a]et y(t) = [−at2−(a+ 2b)t−c−b]et z(t) = [−at2+ (a−2b)t+b−c]et
et l’on cherchea, betc en fonction dex0, y0et z0.
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