Des coefficients du polynôme caractéristique
Lemme : soientn∈N∗ etAn(t) une matrice deMn(K) de la forme
An(t) =
f1(t) a1,2 · · · a1,n
a2,1 . .. . .. ... ... . .. . .. an−1,n
an,1 · · · an,n−1 fn(t)
où lesfk sont des fonctions affines et lesai,j sont indépendants det. Alors son déterminant s’écrit
detAn(t) =
n k=1
fk(t) +Rn(t)
où Rn est un polynôme de degré au plus n−2(éventuellement nul !).
En particulierdetAn(t) est un polynôme entde degré au plus n(et exactementnsi lesfk sont toutes de degré 1).
Dém.Par récurrence sur n:
•detA1(t) =f1(t) =
1 k=1
fk(t) +R1(t) avecR1= 0, de degré −∞, qui est bien inférieur à1−2 !
•supposons n≥2 tel que la propriété soit vraie au rang n−1 ; en développant le déterminant par rapport à la dernière ligne, j’obtiens
detAn(t) =fn(t) detAn−1(t) +
n−1 j=1
(−1)n+jan,jQj(t) où lesQj(t) sont des déterminants d’ordren−1 :
Qj(t) =
f1(t) a1,n
. .. ...
fj−1(t) ...
aj,1 · · · aj,j−1 aj,j+1 · · · aj,n fj+1(t) ...
. .. ...
fn−1(t) an−1,n .
Les échanges de lignesLi ↔Li+1 pouri=j, . . . , n−2 me donnent Qj(t) = (−1)n−1−jdetBn−1(t)
et l’hypothèse de récurrence s’applique àBn−1(t), dont les coefficients hors diagonale sont indépen- dants de t et les coefficients diagonaux des fonctions affines det, plus précisément n−2 fonctions affines (les fk(t) pour k∈[[1, n−1]]\ {j}) et une fonction constante (aj,n). La propriété au rang n−1montre alors quedetBn−1(t) est un polynôme entde degré au plus n−2.
Par ailleurs, l’hypothèse de récurrence s’applique (plus directement !) àAn−1(t) : detAn−1(t) =n−
1 k=1
fk(t) +Rn−1(t) où Rn−1 est un polynôme de degré au plus n−3; alors
detAn(t) = n
k=1
fk(t) + fn(t)Rn−1(t) +n−
1 j=1
(−1)n+jαn,jQj(t)
où le crochet est une somme de polynômes ent, tous de degré inférieur ou égal à n−2, c’est donc un polynôme ent de degré au plusn−2, ce qui achève la démonstration du lemme.
Des coefficients du polynôme caractéristique Page 2 Soit maintenant M = (ai,j)∈ Mn(K). Le lemme s’applique à la matrice M −tIn, avec, pour tout k, fk(t) =ak,k−t. Ainsi
χM(t) = (−1)ndet (M−tIn) = (−1)n
n k=1
(ak,k−t) +Rn(t) où degRn≤n−2
=
n k=1
(t−ak,k) + (−1)nRn(t)
Il en résulte queχM est unitaire de degrénet que le coefficient detn−1est celui de n
k=1
(t−ak,k), c’est-à- dire−
n k=1
ak,k (cf. les relations entre coefficients et racines. . . Sinon preuve par récurrence immédiate).
Je reconnais −Tr (M).
Enfin, le coefficient constant de χM est χM(0) = (−1)ndetM par définition. En conclusion χM(X) =Xn−Tr (M)·Xn−1+· · ·+ (−1)ndet (M).
Le résultat pour un endomorphisme s’en déduit en choisissant (arbitrairement) une base.
Dans le cas où χM est scindé surK, il s’écrit (puisque nous avons vu qu’il est unitaire de degrén!), χM(X) =
n j=1
(X−λj)
où j’ai noté(λ1, . . . , λn) un système de racinesdeχM (où les différentes racines sont éventuellement répétées selon leur multiplicité).
Autrement dit,(λ1, . . . , λn) estun système de valeurs propres deM.
Il vient alors, grâce aux relations entre coefficients et racines et à l’unicité des coefficients d’un polynôme, Tr (M) = n
j=1
λj et det (M) = n
j=1
λj.
