ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Équations différentielles du second ordre à coefficients constants avec second membre
y ′′ + by ′ + cy = q ( x )
Les solutions de l’équationy′′+by′+cy=q(x) (1), avecq(x)fonctions dex, sont les fonctions y = yg +y0, k ∈ R où yg sont les solutions de l’équation correspondante sans second membre ay′′+by′ +cy = 0 (2) et y0 est une solution particulière quelconque de l’équation (1) qu’il s’agit de trouver par la méthodes expliquée ☞ici.
Exemple
Énoncé
Trouver les solutions de l’équationy′′−3y′+ 2y=ex (1) Réponse
• Équation caractéristique : r2−3r+ 2 = 0, solutions : α= 2 et β = 1
• Solution dey′′−3y′+ 2y= 0 (2) : yg =k1e2x+k2ex, k1, k2 ∈R
• u′−2u=ex donne p.ex. u(x) =−ex v′−v =−ex donne p.ex. v =y0 =−xex
• D’où la solution générale de (1) :y=yg +y0 =k1e2x+k2ex−xex, k1, k2 ∈R
☞ Exercices
page 1 de ??
ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Exercices :
Trouver toutes les solutions de :
y′′−4y′ + 3y= 1 (1)
y′′−4y= 5 (2)
y′′−6y′+ 9y=e2x (3)
y′′+y′−2y= 2(1 +x−x2) (4)
y′′−y= 4xex (5)
y′′−y=sin2x (6)
y′′−y= (1 +e−x)−2 (7)
y′′+ 9y=xcosx (8)
☞ Réponses
☞ Retour
page 2 de ??
ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Réponses :
(1) y=k1ex+k2e3x+1
3, k1, k2 ∈R (2) y=k1+k2e4x+5x
4 , k1, k2 ∈R (3) y=k1e3x+k2xe3x+e2x, k1, k2 ∈R (4) y=k1ex+k2e−2x+x2, k1, k2 ∈R
(5) y=k1ex+k2e−x+ex(x2−x), k1, k2 ∈R (6) y=k1ex+k2e−x− 1
2+ 1
10cos2x, k1, k2 ∈R (7) y=k1ex+k2e−x−1 +e−xln(1 +ex), k1, k2 ∈R (8) y =k1cos3x+k2sin3x+1
8xcosx+ 1
32sinx, k1, k2 ∈R
Remarque : Dans le dernier cas, le polynôme caractéristique possède les racines α = 3i et β = −3i, en remplaçant xcosx par xeix+2e−ix, on arrive à faire les intégrations nécessaires pour trouver la solution particulière x8eix+2e−ix + 321 eix−2e−ix = 18xcosx+321 sinxetc..
☞ Retour
page 3 de ??
ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Méthode pour trouver une solution particulière de y′′+by′+cy =q(x) :
– On cherche les solutionsα etβ (éventuellement doubles ou complexes !) de l’équation carac- téristique : r2+br+c= 0
– On cherche une solutionudeu′−αu=g(x)(voir équations différentielles du premier ordre) – On trouve ensuite la solution particulièrey0recherchée comme solution particulière de l’équa-
tion différentielle du premier ordre v′−βv =u(x)
☞ Retour
page 4 de ??