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Équations différentielles du second ordre à coefficients constants avec second membre y

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Academic year: 2022

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(1)

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Équations différentielles du second ordre à coefficients constants avec second membre

y ′′ + by + cy = q ( x )

Les solutions de l’équationy′′+by+cy=q(x) (1), avecq(x)fonctions dex, sont les fonctions y = yg +y0, k ∈ R où yg sont les solutions de l’équation correspondante sans second membre ay′′+by +cy = 0 (2) et y0 est une solution particulière quelconque de l’équation (1) qu’il s’agit de trouver par la méthodes expliquée ☞ici.

Exemple

Énoncé

Trouver les solutions de l’équationy′′−3y+ 2y=ex (1) Réponse

• Équation caractéristique : r2−3r+ 2 = 0, solutions : α= 2 et β = 1

• Solution dey′′−3y+ 2y= 0 (2) : yg =k1e2x+k2ex, k1, k2 ∈R

• u−2u=ex donne p.ex. u(x) =−ex v−v =−ex donne p.ex. v =y0 =−xex

• D’où la solution générale de (1) :y=yg +y0 =k1e2x+k2ex−xex, k1, k2 ∈R

☞ Exercices

page 1 de ??

(2)

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Exercices :

Trouver toutes les solutions de :

y′′−4y + 3y= 1 (1)

y′′−4y= 5 (2)

y′′−6y+ 9y=e2x (3)

y′′+y−2y= 2(1 +x−x2) (4)

y′′−y= 4xex (5)

y′′−y=sin2x (6)

y′′−y= (1 +ex)2 (7)

y′′+ 9y=xcosx (8)

☞ Réponses

☞ Retour

page 2 de ??

(3)

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Réponses :

(1) y=k1ex+k2e3x+1

3, k1, k2 ∈R (2) y=k1+k2e4x+5x

4 , k1, k2 ∈R (3) y=k1e3x+k2xe3x+e2x, k1, k2 ∈R (4) y=k1ex+k2e2x+x2, k1, k2 ∈R

(5) y=k1ex+k2e−x+ex(x2−x), k1, k2 ∈R (6) y=k1ex+k2e−x− 1

2+ 1

10cos2x, k1, k2 ∈R (7) y=k1ex+k2ex−1 +exln(1 +ex), k1, k2 ∈R (8) y =k1cos3x+k2sin3x+1

8xcosx+ 1

32sinx, k1, k2 ∈R

Remarque : Dans le dernier cas, le polynôme caractéristique possède les racines α = 3i et β = −3i, en remplaçant xcosx par xeix+2eix, on arrive à faire les intégrations nécessaires pour trouver la solution particulière x8eix+2eix + 321 eix2eix = 18xcosx+321 sinxetc..

☞ Retour

page 3 de ??

(4)

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Méthode pour trouver une solution particulière de y′′+by+cy =q(x) :

– On cherche les solutionsα etβ (éventuellement doubles ou complexes !) de l’équation carac- téristique : r2+br+c= 0

– On cherche une solutionudeu−αu=g(x)(voir équations différentielles du premier ordre) – On trouve ensuite la solution particulièrey0recherchée comme solution particulière de l’équa-

tion différentielle du premier ordre v−βv =u(x)

☞ Retour

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