Les équations d'ondes du second ordre dans la théorie du méson

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Les équations d’ondes du second ordre dans la théorie

du méson

Gérard Petiau

To cite this version:

LES

_ÉQUATIONS

D’ONDES DU SECOND ORDRE DANS LA

THÉORIE

DU

MÉSON

Par GÉRARD PETIAU. Institut Henri Poincaré.

Sommaire. - Nous _nous

proposons dans ce travail d’établir et d’étudier les _équations d’ondes du second ordre pour le corpuscule de spin

h/203C0

(méson) placé dans un _{champ électromagnétique. Après}

avoir _rappelé les résultats du problème correspondant dans la théorie de l’électron de Dirac, nous considérons le cas des _équations d’ondes du

_corpuscule

de spin h/203C0

sous leurs différents aspects : équations de Proca vectorielles ou scalaires, équations matricielles du méson, équations du _photon de M. Louis de Broglie.

1. Les

_équations

du second ordre de la théorie

l’électron de Dirac. ~-- Les

équations

d’ondes de Dirac

_{représentent}

_{l’évolution de l’électron par} les

_{solutions 1}

du

_système

_{d’équations}

linéaires

. - ,

où

s

désigne

la

charge

de la

particule

(pour

l’élec-tron E

_==2013e.)

A,

===-A1,

A,

_=--A2,

Az

--uA3,

V =

A

o

représentent

les

composantes

du

potentiel

vecteur et le

_potentiel

scalaire du

_champ

électro-magnétique

dans

_lequel

est

_placé

le

_corpuscule.

Ce

champ

est défini _par les

_composantes

liées par les relations

où

la connexion étant _{définie par les coefficients}

V-11 OC2, oc3, oc4 forment un

_système

dé

_quatre

matrices

du

_quatrième

_{rang telles que}

Si nous

_{multiplions l’équation (1)}

_par

_{l’opérateur}

- ’ .

-nous obtenons immédiatement

or

d’où

_{l’équation}

Pour

_rapprocher

cette

_équation

de

_{l’équation}

d’onde

non relativiste

_{correspondant}

à l’hamïltonien

-nous devons la

_multiplier

_par

20134,

ce

_qui

nous 2m0

donne

_{l’équation}

ou encore, en

_posant

117

L’équation

du second ordre dérivée de l’hamiltonien

classique

se trouve donc

complétée

_par un terme

supplé-mentaire dû à l’intervention de

_l’énergie

_potentielle

correspondant

à l’existence du moment

électro-magnétique

propre de

composantes

Nous pouvons

également

arriver à ce résultat en utilisant au lieu de la variable

_{d’espace-temps}

1,

la variable d’univers ict =

x4.

1 Nous avons alors en

posant

A~ _~ iA o

d’où

et en

_multipliant

_{l’équation (1)}

_par

_Ía4

La

_{multiplication}

de cette

_équation

_par

_{l’opérateur}

adjoint

-

Ímoc

donne immédiatement

et en divisant par z ma

Le moment

_{électromagnétique}

_{propre de} compo-santes

-4 hF.

introduit

_{l’opérateur}

d’énergie

7t mo C

potentielle

supplémentaire

LI a

""

2. Les

_équations

d’ondes du second ordre

dans la théorie de Proca. -~ On sait

que cette théorie considère deux

_types

_{d’équations}

d’ondes caractérisant les mésons vectoriels ou

pseudo-scalaires. Nous examinerons successivement ces

deux cas,

A. Cas du méson vectoriel. - Les

équations

d’ondes

_{représentant}

le

_corpuscule

s’écrivent

,

CL, "v, 5, Ce

_{représentant}

le

_{quadrivecteur}

et le

tenseur

_{antisymétrique}

du second ordre dont l’évo-lution caractérise l’état du

_corpuscule..

D,,,

D, sont les

_opérateurs

Nous poserons

Nous introduisons encore la connexion 9pp =- _1,

900 =1.

Le

_système

_{(1), (2)}

s’écrira avec ces notations

tandis que le

champ

extérieur est _{défini par}

_A,,

F

On voit facilement _{que l’on} a

A

_partir

du

_système

_{(3), (4),}

nous _{pouvons déduire}

deux nouvelles

_équations

_qui

en sont les consé-quences.

D’une

_part,

si nous

_appliquons

_{l’opérateur}

_Dit

à

_(4),

nous avons

d’où

D’autre

_part,

_{l’équation (3)}

nous _{donne par}

permutation

circulaire

que nous écrivons encore

équa-tions

₍₃₎

et

₍₄₎

vont nous conduire aux

_équations

du second ordre.

Appliquons

Dv à

_(3),

nous avons

d’où

Le second membre

traduit,

d’une

_part,

l’existence d’un moment

_magnétique

_{propre par le} terme

en ?

et _montre, d’autre

_part,

une action

mésique

d’un

_{type particulier}

_par le terme

_{en .}

C à

Si nous considérons

_{l’équation (8)}

sous la forme

.,

et si nous

_appliquons

_{l’opérateur}

_DP,

nous obtenons

ou encore

ce

_qui

nous donne

_{l’équation}

du second ordre

Nous pouvons encore modifier cette

_équation

en

évaluant le dernier terme.

En

_effet,

nous avons

Or nous avons vu _que

nous en tirons

Reportant

dans

_{l’équation}

_(10),

nous obtenons

finalement

Ici encore à côté du terme traduisant l’existence

du,

moment

_{magnétique J}

_(FP’.15"Jp

apparaissent

de nouveaux termes

_{correspondant}

à des effets

_mésiques

sans

_équivalence

dans la théorie

de l’électron.

B. Cas du méson scalaire

_{(ou pseudoscalaire).}

-Le

_corpuscule

est

_représenté

_par l’invariant

_(ou

le

pseudo-invariant)

J et le vecteur

_(ou

pseudo-vecteur)

liés par les

équations

et nous avons encore

Nous obtenons immédiatement la relation

.,,

et

_{l’équation}

du second ordre

De même

_{l’équation}

₍₃₎

nous donne

et il nous reste

Cette

_équation

_peut

d’ailleurs se déduire

immédia-tement de

_(4).

En

effet,

nous avons

Appliquant

D~

à

_(4),

on en tire avec

₍₁₎

119

magnétique

9- e xE

Ur mais pas d’action de

caractère nouveau.

3. Les

_équations

du second ordre et les

équations

matricielles du méson. - Nous

représentons

le méson _par

_{l’équation}

d’onde

sont des matrices telles _que

Nous passons de

l’équation (1)

à la

formé d’univers

correspondante

en

_multipliant

cette

_équation

_par

in,

posant

x4 =

ict,

~--

iA o

=

A4,

Nous avons alors entre matrices la relation

et

_{l’équation}

₍₁₎

devient

Nous déduirons

_{l’équation}

du second ordre à

_partir

de

_(2).

Pour

_cela,

nous

_séparons

le terme

_{d’indice li.}

et nous écrivons

Multipliant

par

(i

-r§)

et tenant

_compte

de

_rÎj.

=

T’~,,

nous obtenons

.

ou encore, divisant par

imoc,

Or

_{l’équation}

₍₂₎

_multipliée

_par s’écrit

Par

_addition,

nous en tirons

Si

_PIIL

==

P4

cette

équation correspond

à

l’équation

d’évolution pour toutes les fonctions d’ondes du

corpuscule.

A

_partir

de

₍₂₎

et

_{(3)_nous}

allons obtenir

l’équa-tion du second ordre.

Multipliant (3)

par P~ et sommant sur p., nous obtenons

120

Or,

nous avons _par

_ailleurs,

d’où nous tirons

L’équation (4)

devient alors

Mais nous avons

d’où

_{l’équation}

du second ordre

Remarquons

que l’on

peut

encore écrire le terme

en

Il F. 12

sous la forme 2TTmoc2

Nous voyons ici s’introduire le

_{pseudovecteur}

associé au

_{pseudovecteur}

pour donner le terme de

_{l’équation}

du second ordre

(en

divisant par

2 ma)

.

correspondant

à une

_énergie

_potentielle

supplé-mentaire

_s’ajoutant

à celle

_provenant

du moment

magnétique

propre.

4. Les

_équations

du second ordre et les

équa-tions de

_type

_photonique.

-- Nous considérons

l’équation

du

_corpuscule

de

_spin

:1t

sous la forme donnée _{par M. L. de}

_Broglie

aux

_équations

_générales

du

_photon.

désignant

deux

_systèmes

de matrices

anticommutantes

_{indépendantes,}

le

_corpuscule

de

spin

h

est

_représenté

_par

les solutions de

_{l’équation}

d’ondes

.- -..

que nous écrivons encore

en introduisant les

_opérateurs

_sU’),

_{(r = 1, 2)}

tels que

L’opérateur

s,,,) est _{tel que}

en

_posant

Les

_opérateurs

Sll) et s’2> ne commutent pas et nous avons

121

théorie du

_photon

T

Nous aurons donc

Si nous

_appliquons

_{l’opérateur}

2 .(s~ - s2)

à

l’équation

(2),

nous obtenons

et finalement

Cette

_{équation qui}

s’écrit encore

correspond

â

_{l’équation}

de condition associée à

l’équation

(1)

dans la théorie du

_{photon. -’}

Si nous

_{multiplions l’équation}

₍₂₎

₊

_s,2),

2

on obtient

Mais

_{l’équation}

₍₄₎

_multipliée

_---s~?~)

donne

d’oit nous déduisons

Nous obtenons ici une

première

forme

d’équation

du second ordre. Nous allons la

_préciser

en calculant .

le dernier terme.

La

_règle

de

_{multiplication}

nous donne

et si nous

_désignons

_par un indice’ les r _pour

lesquels

les indices ne

_prennent

_que des valeurs

différentes,

nous avons

Le terme

en A

s’écrit alors

Or si l’on

_{multiplie l’équation}

₍₁₎

_par on a avec

d’où,

pour le terme

précédent, l’expression

Reportant

dans

_(6),

il vient

la ~ Partie 3. Nous avons, en

_effet,

et,

par

suite,

en tenant

_compte

de = _0,

Il _y a donc bien

_équivalence

entre

_{l’équation}

₍₇₎

ci-dessus et

_{l’équation (5.3).}

Divisant _par 2moc, nous avons donc

_{l’équation}

du second ordre du

_corpuscule

de

spin h)

sous les

27t formes

_{équivalentes,}

Dans le cas du méson

scalaire,

les conditions de

réduction du

_système

des matrices

_ry

donnent

et

de telle sorte _que

_{l’équation (8)}

se réduit à

Dans les

_équations

₍₈₎

et

₍₉₎

nous _voyons

appa-raître un terme

_{correspondant}

à

_l’énergie

_potentielle

d’origine

électromagnétique

Si l’on _{remarque que les valeurs propres} de . la matrice i

_{rv r)}

sont o, ± i, on voit que l’on

peut

considérer le méson comme

_possédant

un moment

_{électromagnétique}

_propre de valeurs _propres

correspondant

au

_magnéton

_mésique.

Pour l’électron de

_spin

4h ,

le

_magnéton

est

_{± ---}

_.)

(

1t

Mais alors _que dans la théorie de l’électron le

terme

_d’énergie

_magnétique

_propre était seul à

compléter

l’équation

du second ordre

_classique,

nous _{voyons ici que} dans la théorie du méson deux

autres termes s’introduisent et caractérisent la « structure

quantique »

du méson

plus

complexe

que celle de l’électron.

Je remercie M. Louis de

Broglie

pour la

bien-veillante attention

_qu’il

a

_apportée

à ce travail.