Sur la théorie du corpuscule de spin 1

HAL Id: jpa-00233906

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233906

Submitted on 1 Jan 1945

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Sur la théorie du corpuscule de spin 1

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR LA

THÉORIE

DU CORPUSCULE DE SPIN 1

Par GÉRARD PETIAU. Institut Henri-Poincaré.

Sommaire. 2014 Exposé d la représentation matricielle de la théorie du

corpuscule de spin 1 sous

s _aspects de théorie du mésoton scalaire ou vectoriel et de théorie du _photon. En _particulier la repré-sentation des _systèmes de matrice et leur réductibilité est examinée en détail.

Dans une série de mémoires

_récents,

divers

auteurs

_{[Kemmer (1),}

Taub

_{(2), etc.]}

_reprennent,

sous le nom de théorie

_{corpusculaire}

du mésoton,

une théorie que

_{j’avais développée}

dans ma

Thèse,

en

_iq36,

sans

_préciser

autrement _{que par} son

_spin

la nature du

_{corpuscule auquel}

_{s’appliquaient}

les

équations

d’ondes introduites. Devant l’intérêt

soulevé actuellement _par ces

_questions,

il m’a paru

intéressant de

_préciser

certains

_aspects

de cette

théorie que les auteurs cités

_plus

haut n’examinent que

superficiellement.

1.

_{Principes généraux}

Nous nous _proposons

d’étudier le

_corpuscule

dont l’évolution est

repré-sentée par les solutions de

l’équation

d’ondes

Les matrices

_r,

sont des matrices carrées et

hermitiques

de rang n _que nous

_préciserons

plus

tard et liées entre _{elles par les relations}

et _{seulement par} ces relations.

Le fait

d’astreindre,

en _outre, les

_l’il

entre eux

à de nouvelles relations

_{supplémentaires}

particu-larise la

_{représentation}

des

_r,,.,

ce _que nous ne

supposons pas réalisé pour l’instant.

Les relations

générales

(2)

sont encore

équiva-lentes au

_système

Par

suite,

les

_r,

admettent les _{valeurs propres} réelles o,

La forme

_{d’équation}

_purement

relativiste

₍₁₎

peut

se mettre sous la forme usuelle en

_séparant

(1) Proc. Roy. Soc., Lo _{don, A, 939, 1’l3,} p. 9 1- 1 6. (2, Annals of g ~g, 40, p. 9) 7-917.

la variable

_temporelle

si nous _pouvons construire,

soit une matrice

Ao,

soit une matrice

_Bo

possédant

chacune une inverse et telles _que l’on ait

La structure des

_r,

_permet

de construire aisé-ment

_{A ~}

et

_{B o.}

En

effet,

à

_partir

des

_1’§

nous construisons des

matrices

_C,,

en

_posant

Les relations

₍₃₎

montrent _{alors que}

d’où

donne

Un

_produit

de trois

_matrices,

soit

_C,C,,Cp

com-mute donc avec une matrice

_{r 1-’-’}

1B,

_ho

et

anti-commute avec

Ta.

On voit alors immédiatement _que

_C4

_possède

les

propriétés

que nous

_assignons

à

_{A ~}

et

_C,C2C,

les

propriétés

de

_Bo.

Nous poserons donc

Multipliant l’équation (1)

par

iAo

et par

Bo

et en

_posant

nous obtenons

63

On

_peut

voir facilement que les matrices

Au.

et B~, satisfont aux relations déduites de

(2)

L’équation (1)

présente

l’invariance

relativiste,

c’est-à-dire _que

_lorsque

les axes de coordonnées

subissent une transformation de

Lorentz,

l’équa-tion

₍₁₎

conserve sa forme dans le second

_système,

si l’on fait

subir,

en _outre, aux

_û

une substitution linéaire S.

Posant _pour la rotation infinitésimale

et _{pour la} transformation infinitésimale S

corres-pondante

-un calcul

_classique

montre _{que l’on doit avoir}

Les relations

₍₂₎

montrent alors _que l’on

_peut

prendre

pour

l’expression

-

r,

d’oû

A

_partir

des

_{équations (6)}

et

₍₇₎

et des

conju-guées,

on

_peut

former deux

_équations

de continuité

entre

_grandeurs

_quadratiques

réelles,

soient

Si l’on revient aux matrices

_r,

et si nous

défi-nissons

_{un ~}

_adjoint

ou _{par la relation’}

l’équation (10)

s’écrit encore

Cette

_{équation (12)}

_peut

être considérée comme

résultant

de

₍₁₎

et d’une

_{équation adjointe}

de

_(1),

que nous écrivons

Les matrices

_{r IL}

en se combinant entre

_elles,

peuvent

donner de nouvelles matrices linéairement

indépendantes.

Ces

_grandeurs

donneront naissance

par l’intermédiaire des

Ç-

et

_{des ~}

à des densités

de valeurs moyennes

représentées

par des

f ormes

quadratiques

en

_{tf-+- et ~ qui}

représenteront

les

probabilités

des différentes

_grandeurs

_physiques

de la théorie du

_corpuscule.

Nous allons examiner ces différentes matrices. Nous remarquerons d’abord que les

_produits

ne sont ni

_hermitiques

ni

_{antihermitiques.}

_Toutefois,

nous _pouvons

écrire,

-Posant

on _{voit que}

r£

est donc

_hermitique,

_{tandis que}

_ruv

est

anti-hermitique.

De

même,

on ’voit _que les

_produits

de trois

matrices sont

antihermitiques.

Le

_produit

des

_quatre

matrices

n’a _{pas de}

_propriétés

d’hermiticité

définie,

mais les relations

₍₃₎

montrent _que

d’où l’on déduit l’existence de six

_produits

indé-pendants

Ces

_grandeurs

se

_séparent

alors en deux _groupes

en

_posant

T

Les six

_grandeurs

_{indépendantes}

s’écrivent alors

Nous avons donc

obtenu,

par combinaison de

quatre

six six

_r),

douze trois

_s~,~,

trois

’ ’ ’

De

_même,

si nous considérons les

combinai-sons des

_Cu

et de

_l’[J.’

nous avons, à

_partir

de

quatre

C,

(définis

par

1~),

six trois

un et, avec les

_ftL,

douze

anti-hermitiques,

douze

_{C¡;. Cvf p}

_hermitiques,

_quatre

antihermitiques.

Les

_produits

de

_C,

_par

_f~

ou

_r~,,,

ne _{donnent pas}

de combinaisons

nouvelles,

car et =

r~.

Seuls sont _nouveaux les

produits

De

même,

nous obtenons douze

C,,

indé-pendants.

Quant

aux et

_t;;,

leurs

_produits,

par les

C~,,

n’introduisent pas de

grandeurs

nouvelles.

On voit ainsi que l’on obtient 126 matrices

linéai-rement

_{indépendantes}

_{représentant}

les

_grandeurs

La connaissance de ce nombre nous

_permettra

tout à l’heure de discuter les

_{représentations}

des matrices .

Nous allons maintenant examiner comment les

ondes

_~a

satisfont à

_{l’équation}

de

_propagation

des ondes du second ordre.

Si nous

_{multiplions l’équation (1)}

où

par

l’opérateur

nous obtenons facilement

D’autre

_part,

d’où,

par

addition,

et _{par soustraction}

L’équation (ex)

nous donne

immédiatement,

en

appliquant l’opérateur du

et en sommant _{sur N,}

L’onde û

satisfait donc bien à

_{l’équation}

de

propagation

des ondes du second ordre.

En introduisant les matrices

_A4,

_A,,

et

_{A o=}

_{2 r}

-

~,

l’équation

(~3)

s’écrit

Sous cette

_forme,

on

retrouve

un

_opérateur

hamil-tonien pour le

_corpuscule.

_Toutefois,

_{l’équation (14)}

considérée seule n’est _pas

_équivalente

à

_(1).

Écrivant

₍₁₁₎

sous la forme

une

_grandeur

_{représentée}

par

l’opérateur

C sera

intégrale première

si l’on a

,

Cette définition de

_{l’intégrale première}

nous

permet’

de déterminer la matrice

_{représentative}

de

la

_grandeur

_spin

du

_corpuscule.

Celui-ci sera

repré-senté _par une matrice telle _que

On trouve alors immédiatement la solution

qui correspond

au

_spin

dans la direction r

_(indices

d’espaces

dans l’ordre p, q,

r)

et dont les valeurs

propres sont

Posant

on

_peut

considérer

_{l’opérateur}

_{correspondant}

au

spin

total

,

Nous en tirons

Or, on a

p 2

L’opérateur

1 s

1

satisfaisant à

_{l’équation}

carac-téristique

possède

donc les deux _{valeurs propres zéro} et

Ces _{valeurs propres des}

_opérateurs

de

_spin

total

et de

_spin

dans la direction Oz nous

_permettent

de considérer

_{l’équation}

d’ondes comme

_{correspondant}

à un

_corpuscule

de

_spin

zéro et il--

h ~

Les

_{représentations}

des matrices

_r~,.

- Nous avons vu _que les

_T’~,,

_{par leurs}

combinaisons,

don-naient naissance à un

_système

de 126 matrices linéairement

_{indépendantes.}

Afin d’examiner les différentes

_{représentations}

de

ce

_système,

nous

_appliquerons

le lemme de Schur : une

matrice,

qui

commute avec toutes les matrices d’une

_{représentation}

_{irréductible d’un groupe}

_G,

est

nécessairement

_multiple

de la matrice unité. Si elle

relie deux

_{représentations}

irréductibles non

équi-valentes,

elle est nulle.

Nous sommes donc conduit à chercher les matrices

qui

commutent avec les 126 matrices obtenues

précédemment.

On voit facilement

qu’une

telle matrice ne

_peut

65

suffit

_qu’elle

commute avec l’un des commuer avec l’ensemble des matrices du

_système.

Nous chercherons donc cette Jllalrice sous

la forme

Nous avons alors

d’où

et

a et b étant deux constantes arbitraires.

Pour

_appliquer

le lemme de

_Schur,

il nous faut

chercher les valeurs propres de cette matrice.

Elles

_{correspondent}

aux _{valeurs propres}

simul-tanées des deux matrices

Or,

les matrices

_A

et B ne sont _pas

_{indépendantes.}

On _{voit facilement que}

On en

tire,

_pour

B,

l’équation caractéristique

dont les racines sont

)’1 et ~2

étant les valeurs propres de A et de

B,

on a ainsi les trois

_couples

1

En

_{égalant A}

et B à ces

_couples

de

valeurs,

on

obtiendra de nouvelles relations entre matrices

_qui

réduiront le nombre des

_grandeurs

indépendantes

dans les 126

_{précédentes}

suivant la

_{représentation}

irréductible considérée. La relation

multipliée

par donne facilement

d’où,

si

_{)’2;;;Z:: l,}

_o, relation

_qui

existera

par suite dans les deuxième et troisième cas.

De

même,

la relation

donne

d’olt l’on

_tire,

_par

_{soustraction,}

Par

_suite,

si

_~.1

est différent de 2, l’on aura

~.,

n’étant _pas

_{égal à ~}

cette dernière

relation,

transportée

dans

_(R),

donne ou

d’où,

si

_~~l

+ 2 n’est pas

_nul,

Nous voyons alors _que le troisième cas,

_"’1

=2013

10,

/’2

= 5 donne

ri,

=

o, la

représentation

irréductible

se réduit à la matrice unité.

-Dans le second cas,

~l

===2013 ~

Î2

==2013 3, nous avons les relations

qui

réduisent de 126 à 25 les matrices linéairement

indépendantes

non nulles formées _par

combi-naisons des

ru.

Dans le

_premier

cas, les seules restrictions

intro-duites résultent des relations

qui

nous

_donnent,

en outre

soient 26 relations réduisant à 100 le nombre des matrices linéairement

_{indépendantes.}

Nous voyons donc que la théorie du

_corpuscule

de

_{spin i}

_peut

se

_développer

au _{moyen de deux}

représentations

irréductibles de rang o et 5, la

représentation singulière

de _rang i étant écartée.

Étude

de la

_{représentation}

du

_cinquième

_rang

(mésoton scalaire).

- Nous _avons établi

qu’il

exis-tait une

_{représentation}

de la théorie du

_cinquième

rang sans faire intervenir

_{explicitement}

aucune

hypo-thèse sur la nature des

_v.

Nous allons chercher à

préciser

lâ

_{représentation}

dans

_{l’hypothèse}

où ces

cinq grandeurs

représentent

les

_{quatre composantes}

Dans la transformation de Lorentz

_{représentée}

_par

nous avons vu _{que la forme de}

l’équation

d’ondes se conservait en faisant

subir,

aux

~! , la

substitution

linéaire

Désignant

par

l’onde

invariante,

par

~~

(~1’

~2’ Y3, ~4.)

les ondes

_composantes

d’un

vec-teur, nous _avons, dans une transformation de

Lorentz,

Ces relations

₍₂₆₎

sont

_{équivalentes}

à

₍₂₅₎

en les

écrivant

Par

_{identification,}

on est conduit à écrire

On

_aperçoit

alors immédiatement une

_solution,

soit

En

_particulier

Les

_grandeurs

non nulles de la théorie du

_corpuscule

se réduisent alors aux 2 5

_grandeurs

On _{vérifie facilement que} l’on a bien entre matrices les relations

que nous avons obtenues

_{précédemment.}

Les

_équations

du

_corpuscule

_que nous écrivons

se

_développent

suivant

Si l’on _pose

on obtient

Sous cette

forme,

on retrouve le

_premier

_type

d’équation

d’ondes de Proca

₍₃₎

ou

_équation

d’ondes

du mésoton scalaire.

L’équation (28), multipliée

à

_gauche

_par

l’opé-rateur

nous donne

D’autre

_part,

nous avons, en

_{faisant p.=}

₄

dans

l’équation (a),

(30)

et

₍₃₁₎

se

développent

alors suivant

Nous obtenons ainsi un double

_système

_{d’équations,}

conséquences

de

_{l’équation}

_(28).

Nous avons vu

_{précédemment}

_{que la}

grandeur

spin

était

représentée

par la densité

La matrice = i

[e~e~

- _{a encore} les valeurs

propres o, + 1, -

~.

Si nous considérons les solutions ondes

_planes

de la forme

Les

_systèmes

_{d’équations}

donnent

d’où

On voit _{ainsi que,} dans l’onde

_plane,

les densités de valeur _{moyenne du}

_spin

sont

nulles,

quoique

les

valeurs _propres de la matrice de

_spin

ne soient pas nulles.

On

_peut

donc considérer cette

_{représentation}

du

corpuscule

comme caractérisant

_plus

particuliè-rement un

_corpuscule

de

_spin

zéro.

Étude

de la

_{représentation}

_{du dixième rang}

67

tenant à

_préciser

la

_{représentation}

du dixième _rang de notre

_corpuscule

en lixant une variance tensorielle

aux fonctions d’ondes. A

priori,

nous _pouvons

cher-cher si les 10 fonctions d’ondes

_peuvent

se

_répartir

entre les

_{quatre composantes}

d’un vecteur et les six

composantes

d’un tenseur du second ordre.

Partant de

_{l’hypothèse}

_{que les fonctions d’ondes}

possèdent

ces

_variances,

nous _{allons montrer que}

l’on

_peut

en déduire une

_{représentation}

des

matrices satisfaisant à l’ensemble des relations

que nous avons établies entre les matrices de la

représentation

du dixième rang.

Les

_composantes

d’un tenseur du second ordre

se transforment dans la transformation de Lorentz

suivant

Si le tenseur est

_{antisymétrique,}

cette transforma-tion s’écrit encore, en

_séparant

les transformations subies par les

composantes

de

_temps

_p

4

de celles

subies

_{par les}

_composantes

_d’espace

_pq

_{(p,q,r= 1,2,3)}

Relations

_qui

s’écrivent encore en introduisant des

matrices

efL,v,

(e>>~’

=

De

même,

les _{transformations subies par les}

composantes

d’un vecteur s’écrivent

Si l’on considère maintenant l’ensemble de on

_peut

l’écrire

Rassemblant,

dans les

_{expressions (32)}

et

₍₃₃₎

les coefficients de _mpq et de on obtient

Identifiant alors avec

on est amené à _poser

Connaissant les

_expressions

de

_Tpq

et de

_{T p4,}

la relation

nous

_permet

de trouver les

_r~,.

Si nous _{prenons, par}

_exemple,

nous avons, à

_partir

de

Réciproquement,

cette

_expression

nous redonne

_f4

par

Nous avons

ainsi,

en

₍₃₅₎

et

_(36),

des

_expressions

pour les matrices

rp,

rt1.

Nous allons montrer _que

ces matrices satisfont aux relations établies

précé-demment.

Pour

cela,

nous _{remarquerons que l’on}

_peut

écrire

(le signe

+

indique

la matrice

_transposée)

en

_posant

les relations suivantes liant les et av

on voit alors facilement _que ces relations entraînent les relations

_(2).

Un calcul facile montre

_également

_{que l’on} a bien

Nous avons donc bien établi ainsi une

représen-tation

_{correspondant}

au cas cherché.

Si nous

_reportons

les

_expressions

₍₃₅₎

et

₍₃₆₎

des

_r,

dans

_{l’équation}

_(1),

celle-ci se

_développe

suivant

Si l’on pose

ces

_équations

s’écrivent encore

On reconnaît ici les

_équations

de

Maxwell,

com-plétées

du second membre liant les

_champs

aux

potentiels

et

_qui

sont la forme

_proposée

_{par Proca}

et Kemmer _pour

_représenter

les

_équations

d’ondes du mésoton.

En

_plus

de ces

_{équations, les ~}

satisfont à des

équations complémentaires.

système

ce

_qui

s’écrit encore

et

_qui

se

_développe

suivant

d’où

_quatre

_{équations supplémentaires auxquelles}

s’ajoute l’équation

obtenue en

_appliquant

à

_{(1) l’opération}

La matrice de

_spin

_S,",

se

_représente

ici par

et la matrice ,de

_spin

total par

1 ~ i ,

On voit alors immédiatement que l’on a

pour tous les sauf

pour Ç

pour

lequel

Toutes les

ondes,

sauf

_{t¥4’ correspondent}

donc à

un

_spin

total ±

_2,;,

l’onde

_{~4 correspondant}

à une

onde de

spin

total nul.

_{t.¥4.représente}

ici le

_potentiel

scalaire. Nous retrouvons ainsi un résultat établi

par M. Louis de

Broglie

dans sa théorie du

_photon.

Il en _{résulte que l’onde de}

_spin

total nul ne

_peut

s’éliminer que dans un

_{repère particulier}

_pour

_lequel

le

_potentiel

scalaire est nul.

. La théorie du

_photon.

- La théorie du

photon

de M. Louis de

_Broglie

rentre dans le cadre de l’étude

précédente

et

_semble,

à certain

_point

de vue,

_plus

complète, indépendamment

des idées

_{physiques qui}

la caractérisent et la rendent

_plus

satisfaisante.

Dans cette

théorie,

le

_corpuscule

de

_spin

i est

caractérisé par un

_système

de seize fonctions d’ondes

_(i,

2, 3,

4),

solutions simultanées de deux

_systèmes

_{d’équations}

de Dirac

_conjugués

agissant

chacun sur l’un des indices i ou k de la

fonction d’ondes

Ce

_système

est encore

_équivalent

à

_{l’équation}

unique

A cette

_{équation correspond,}

avec la variable

x, _ -1-

ict,

l’équation

dans

_laquelle

on a

_posé

avec,

_ju.

_

yi

le

signe

+

_désignant

la matrice

transposée.

Les Yu.

et les forment deux

_systèmes

de matrices anticommutantes de Dirac telles que

Les _ltJ. et

_j,

forment les bases de deux

_systèmes

de matrices de

_{Dirac y.}

et

_j,~.

Par

suite,

une matrice

_générale

caractérisant une

grandeur quelconque

du

_corpuscule

sera de la forme

Deux matrices de

_{ce type}

satisfont à la loi de compo-sition

On

_peut

voir

_{immédiatement,}

au _{moyen de cette}

règle,

que les

quatre

matrices

_r~,

satisfont aux

relations

_(2),.

₍₃₎

de l’étude

_{précédente.}

Par

suite,

les 126 matrices obtenues _par

_composition

des

quatre

r,

définis en

₍₄₄₎

forment un

_système

réduc-tible

_qui

se

_décompose

en une somme de trois

,systèmes

irréductibles de _rang I o, 5 et 1.

,

Ceci

_signifie

encore

_qu’il

existe une transformation

permettant

de ramener simultanément ces 126 ma-trices sous la forme de matrices à échelons de

rang 10, 5 eut 1.

Mais la théorie du

_photon

est

_{plus large}

_{que la}

théorie

_{précédente.}

La construction des

_r,

nous a

conduit à

_adopter,

_pour matrices

_{représentant}

les

grandeurs

de la théorie du

_photon,

l’ensemble des

matrices de la forme

_r’.

Or,

il y a 136 matrices de

ce

_type

_qui

ne s’obtiennent pas toutes _par

combi-naisons des

_quatre

_ru.

Il _y a donc lieu d’examiner

à nouveau la réductibilité de la théorie dans le cas

69

On

_peut

_{voir que} la différence entre les deux théories

_provient

du fait que la théorie du

photon

dérive de

_cinq

matrices fondamentales satisfaisant

aux relations

₍₂₎

ou

_(3),

une matrice r~ étant

construite à

_partir

des matrices "[,1

et j ,

= suivant

Mais alors que y=

et j,

s’obtenait pas combinaison

des _y, et

_j,,,

_r:,

ne _{s’obtient pas par} une

combi-naison des

_17,,,

Au _{moyen des}

_cinq

matrices r0153

₍₀₁₅₃

== IJ, ~r, 2, A,

5),

on

_peut

_construire,

_par

_combinaison,

136 matrices linéairement

_{indépendantes}

au lieu des 126

précé-dentes.

Ces matrices s’écrivent

Pour étudier la réductibilité de ce

_système,

il nous

faudra chercher les matrices commutant avec

_r,,

ct

_h.,.

L’étude de la commutabilité des

_l,,

_ayant

été

faite

_{précédemment,}

il nous suffit d’examiner la

commutabilité de

I’,.

Posant encore

nous

avions

(1:t

étant

_égal

à + I ou - I suivant que les indices a

et 5 commutent ou

anticommutent).

Or,

d’où

S commute donc avec

l’.,

si _{Cl3 =- al.} D’autre

part,

nous avons vu _{que, pour que}

_1~

commute avec

S,

il faut que

_{a;3 + a1}

= o.

Dans le cas de la théorie du

_photon,

nous aurons

donc d’où

Avec les notations

_{précédentes,}

nous aurons ici

S=a(~1+b’).

Il nous reste maintenant à trouver les valeurs

propres de S.

On voit facilement

_que

satisfait à

_{l’équation}

caractéristique

d’où l’on tire les valeurs _propres ~S’ _ =-

5,

conformément aux résultats de

_(21).

Mais ici les trois

_{représentations}

irréductibles de la théorie

_précédente

ne _{subsistent pas, les}

repré-sentations de

_{rang 5}

et i étant fusionnées. Ceci est

d’ailleurs d’accord avec le résultat

_auquel

on devait s’attendre

_d’après

le théorème de Burnside en

décomposant

le nombre total des matrices

linéai-rement

_{indépendantes.}

Nous avons, d’une

part,

et, d’autre

_part,

Il nous reste à _{montrer que les valeurs propres A}

de

S,

_{),1= 3, )t}

= - 5

correspondent

à des

repré-sentations du dixième et du sixième _rang.

Pour

_préciser

cela nous allons considérer la

repré-sentation tensorielle des fonctions d’ondes du

photon.

Les seize fonctions d’ondes

_peuvent

se

repré-senter comme éléments d’une matrice du

_quatrième

rang 1B

(Dtk

Il.

Si nous

_développons

cette matrice sur

le

_{système complet}

_{formé par les seize} matrices unitaires

_1~A

dérivées des _ytL

_{précédents,}

nous avons

ainsi

et

_{réciproqucluenl}

Connaissant la substitution subie par les W,, dans une transformation de

_Lorentz,

on en

_déduit

la variance tensorielle des On voit facilement ainsi en

_remplaçant

_par son

_expression

₍₄₇₎

dans la substitution subie établie en

₍₉₎

que les ~r~ se

_{répartissent}

en

Les résultats de l’étude

_précédente

vonL nous

permettre

de classer ces

_grandeurs

_par

_rapport

aux

représentations

irréductibles de la théorie.

Si nous considérons

_{l’équation}

nous savons _{que cette}

_équation

admet des solutions

quand

1.

_prend

les

_{valeurs 1.1}

== 3

et i’2

== 5.

Or,

cette

_équation

est

_équivalente

à un

_système

d’équations

entre

_{grandeurs ’ [}

étant

_développé

suivant

_(47)].

Si nous

_multiplions

₍₄₉₎

_par une matrice arbitraire et si nous _prenons

succes-sivement _pour -rl les seize matrices

_YfJ,

on obtiendra

Ce

_système

s’écrit

ou encore

Les matrices

_yz,

étant

unitaires,

on voit facilement que cette

_équation

s’écrit encore

kA

étant un entier déterminé par les

_propriétés

de commutation de avec les matrices

_y~

et

Or,

une matrice

_yY.

commute avec i,

y’

et 6 et une matrice commute avec 1,

3 ;~x,

par

suite,

L’équation (50)

est alors satisfaite si A =

1,~

== 3,

par les dix et si À =

}B2

=- 5

par les six

6b’,

~x. On voit ainsi _que, dans la théorie du

_photon,

dérivée de

_cinq

r,,,

la réductibilité classe les deux invariants dans la théorie non maxwellienne.

Mais

_{l’équation}

d’ondes ne fait intervenir _que

quatre

matrices

_T,

et, par

suite,

se

_sépare

en trois

systèmes :

Par

suite,

si l’on considère les 126 matrices formées

avec les

_1,

et si _{l’on passe} des aux

6bk,

la

réduc-tion donnera des matrices à trois échelons de _rang o, 5 et i _{et, par}

suite,

en

_0,-’,

les densités de valeurs moyennes se

_{décomposeront}

en une somme de trois formes

_quadratiques

construites,

l’une sur les

la seconde sur les et ~o et la dernière nulle en

raison de = o.

Pour les

_grandeurs

dérivées de la

_{représentation}

en

Tx,

la réduction donne des matrices à deux échelons seulement de rang 10 et 6. Les densités de

valeur

moyenne se

_décomposent

en une somme de deux formes

_{quadratiques,}

l’une construite sur

les et la seconde sur les ~o et les termes en q.3 étant annulés.

Le

_système

des

_T’«

_peut

encore se

_compléter

par 120 matrices de la forme

Ces matrices sont liées entre elles et avec les par les lois de

_composition

En raison de la forme de ces

_relations,

les

J~

ne

_peuvent

être considérées

_{indépendamment}

des

_rj.

Si l’on considère le

_système

total,

on voit faci-lement

_qu’il

se _compose de 256 matrices déduites de

_quatre

_r,

et de

_quatre

_qui

entraînent

l’exis-tence de

r;

et de

J;,,

Mais ce

_système

total n’est

plus

réductible,

c’est-à-dire

_qu’il

n’est

_{plus possible}

de trouver une

_{représentation}

dans

_laquelle

ces

256 matrices se réduisent simultanément en matrices

à échelons de même _{rang. Par}

_suite,

dans les densités

de _{valeurs moyennes,} les

_J~

donneront des formes

quadratiques

mixtes construites simultanément sur

les +xP et les ou

_tbü,

c’est-à-dire sur un

mélange

des

_grandeurs

maxwelliennes et non maxwelliennes. Manuscrit reçu le 1 5 mai 1941? dont la publication s’est trouvée anormalement retardée