Complément
Lemme 3.2.1 Dans un anneau A principal, si p ∈ A est irréductible, alors (p) est un idéal maximal.
Démonstration. Soit p un élément irréductible deA. On a (p)6=A car p n'est pas inversible. SoitI un idèal deAtel que(p)⊂I A. AlorsI = (p), en eet : puisqueAest principal,I = (a), oùa∈A. Comme(p)⊂I = (a), alorsa/p. On aa /∈ U(A) car(a) =I 6=A, ainsia∼pdoncI = (a) = (p).
Proposition 3.2.2
(i). Dans un anneau principal, un élément p est irréductible si, et seulement si,p est premier.
(ii). Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul deA est maximal.
Démonstration.
(i). Soit pun élément irréductible de A. D'après le lemme 3.2.1, on a(p) est maximal d'où(p) est premier et ainsi, d'après la proposition 3.1.7 (1),p est premier carp6= 0.
La réciproque est (2) de la proposition 3.1.7.
(ii). SoitI un idéal premier non nul deA. On aI = (p), avecp∈A\ {0}, carAest principal etI est non nul. Alors, d'après la proposition 3.1.7 (1),pest premier d'où, d'après 1),pest irréductible ainsi, d'après le lemme 3.2.1, l'idéal I = (p)est maximal.
lemme 3.2.5 Si aetbsont deux éléments d'un anneau principal A, alors, (i) il existe un élémentdde A tel que(a) + (b) = (d).
(ii) il existe un élémentm de Atel que (a)∩(b) = (m).
Démonstration. Soitaetb deux éléments d'un anneau principalA. (i) l'idéal(a) + (b) est principal et ainsi∃d∈A: (a) + (b) = (d). (ii) l'idéal(a)∩(b) est principal et ainsi∃m∈A: (a) + (b) = (m).
Proposition 3.2.6 Si aetb sont deux éléments non nuls d'un anneau principalA, alors, (i). d=a∧b si, et seulement si,(a) + (b) = (d), avec d∈A.
(ii). m=a∨bsi, et seulement si, (a)∩(b) = (m), avec m∈A.
Démonstration. Soit a et b deux éléments non nuls d'un anneau principal A. D'après le lemme précdent, ∃d ∈ A : (a) + (b) = (d). On a d= pgcd(a, b). En eet, d/a (car (a) ⊂(a) + (b) = (d)) et d/b (car (b) ⊂ (a) + (b) = (d)). D'autre part, si c/a et c/b, alors (a) ⊂ (c) et (b) ⊂ (c) d'où (d) = (a) + (b)⊂(c), alors c/d.Ainsi, si(a) + (b) = (d),dest un pgcd deaetb.
Réciproquement, sia∧b=d, alors(a)⊂(d)(card/a) et(b)⊂(d)(card/b), d'où(a) + (b)⊂(d).
D'autre part, l'idéal (a) + (b) est un idéal principal (A est principal) d'où ∃ c ∈ A tel que I = (a) + (b) = (c), alors c/a (car (a) ⊂ (a) + (b) = (c)) et c/b (car (b) ⊂ (a) + (b) = (c)) d'où, par dénition ded,c/d et ainsi(d)⊂(c) = (a) + (b).
De même, on montre l'existence du ppcmet (ii)
theorem 3.2.7 (Théorème de Bezout) Soit a et b deux éléments de A. a etb sont premiers entre eux si, et seulement si, il existeu etv, deux éléments de A, tels queau+bv= 1.
Démonstration. En utilisant la proposition précédente,aetbsont premiers entre eux si, et seulement si, (a) + (b) = (1) =Asi, et seulement si, ∃u, v∈A: 1 =ua+vb
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