0, 1, 3, 6, 10, 14, 15

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G203-La règle graduée

Solution

Considérons d’abord la règle de 15 centimètres. Il s’agit de trouver le nombre minimum d’entiers a1, a2 , a3 ,… tels que 0=a0 < a1 < a2 < a3 < …..< an < 15=an+1 et l’ensemble des différences ai - aj [pour i < j de 0 à n+1] reproduise pas nécessairement d’une seule façon tous les entiers de 1 à n. Il est naturel de choisir d’abord quatre graduations espacées de 2 puis 3 puis 4 centimètres soit : 1,3,6,10 dont la différence des termes pris 2 à 2 donne avec les graduations extrêmes 0 et 15 une panoplie assez complète d’entiers :

1,2,3,4,5,6,7,9,10,12,13,14 et 15. Il ne manque que 8 et 11 qui sont facilement obtenus en rajoutant une cinquième graduation 11 par exemple.

Il y a donc cinq graduations intermédiaires 1, 3, 6, 10, 11 qui donnent la configuration 0, 1, 3, 6, 10, 11, 15. La configuration

0, 1, 3, 6, 10, 14, 15

est également possible. On ne peut pas faire mieux et ce résultat est confirmé par ordinateur. Avec cinq graduations intermédiaires au minimum, celui-ci donne 40 configurations possibles qui incluent les deux qui viennent d’être mentionnées.

Toujours avec ces cinq graduations intermédiaires, on peut opérer avec des règles plus

longues de dimension L jusqu’à L =17 centimètres avec les six configurations suivantes : 0, 1, 2, 3, 8, 13, 17 – 0, 1, 2, 6, 10, 14, 17 – 0, 1, 2, 8, 12, 14, 17 – 0, 1, 2, 8, 12, 15, 17 – 0, 2, 4, 6, 9, 16, 17 – 0, 2, 5, 7, 13, 16, 17

Six graduations sont nécessaires et suffisantes pour les règles de longueur L=18 centimètres à L=23 centimètres. Elles permettent de traiter en particulier le cas de la règle de 22

centimètres pour laquelle il n’existe que 9 configurations possibles, à savoir : 0, 1, 2, 3, 8, 13, 18, 22 - 0, 1, 3, 5, 14, 15, 21, 22 -

0, 1, 3, 6, 13, 17, 21, 22

- 0, 1, 3, 9, 15, 19, 20, 22 - 0, 1, 4, 5, 12, 14, 20, 22 - 0, 1, 4, 7, 12, 20, 21, 22 - 0, 2, 3, 7, 13, 19, 21, 22 - 0, 2, 4, 5, 14, 15, 21, 22 - 0, 2, 4, 6, 13, 16, 21, 22 .

Pour L variant de 24 centimètres à 29 centimètres, une septième graduation intermédiaire est indispensable. C’est ainsi que pour la règle de 29 centimètres il n’ y a que 3 configurations possibles, à savoir :

0, 1, 3, 6, 13, 20, 24, 28, 29

puis 0,2, 5, 7, 13, 19, 25, 28 et 29 et enfin 0, 2, 5, 8, 11, 15, 27, 28 et 29.

En examinant les solutions obtenues pour L=15, L=22 et L=29, on peut rapprocher trois d’entre elles qui ont été identifiées en caractères bleus:

L=15 : 0, 1, 3, 6, 10, 14, 15 L=22 : 0, 1, 3, 6, 13, 17, 21, 22 L=29 : 0, 1, 3, 6, 13, 20, 24, 28, 29

Si on réécrit ces configurations en portant les différences entre les graduations consécutives, on obtient :

L=15 : 1, 2, 3, 4, 4, 1 L=22 : 1, 2, 3, 7, 4, 4, 1 L=29 : 1, 2, 3, 7, 7, 4, 4, 1

Une structure régulière apparaît qui consiste à intercaler le chiffre 7 à chaque pas

supplémentaire de 7 centimètres. C’est ainsi que pour L=36, 43 et 50 qui est la longueur qui

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nous intéresse, on peut écrire les séquences suivantes des différences entre les graduations consécutives :

L=36 : 1, 2, 3, 7, 7, 7, 4, 4, 1 L=43 : 1, 2, 3, 7, 7, 7, 7, 4, 4, 1 L=50 : 1, 2, 3, 7, 7, 7, 7, 7, 4, 4, 1

D’où une configuration possible avec une règle de 50 centimètres et 10 graduations

intermédiaires :

0, 1, 3, 6, 13, 20, 27, 34, 41, 45, 49, 50

. On vérifie aisément que toutes les valeurs entières de 1 à 50 sont bien obtenues.

Sources : Pierre Tougne – Pour la Science – décembre 1981, travaux de B. Wichmann : A note on restricted difference bases et site de Peter Luschny :

http://www.luschny.de/math/rulers/prulers.html

Figure

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Références

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