L3 - LOG (Année 2015/2016) Natacha Portier/Anupam Das/Ignacio García-Marco Devoir à la maison
Exercice 1.
Ecrire les arbres de preuve pour les propriétés suivantes : (1) ((P →Q)→P)→P
(2) (∃xA∨ ∃xB)↔ ∃x(A∨B) Exercice 2.
Une groupe abélien(G,·,1)est ditordonnablesi et seulement si il existe surGune relation d’ordre total≤compatibleavec l’operation·, c’est-à-dire telle que, pour tous élémentsx, y etzdeG, six≤y, alorsx·z≤y·z.
Une groupe abélien(G,·,1)est ditsans torsionsi et seulement si, pour tout élémentxde G, distinct de1, et pour tout entier naturel non nuln,xnest différent de1.
Une groupe abélien(G,·,1)est ditde type finisi et seulement si il est engendré par une partie finie deG(ce qui veut dire qu’il existe une partie finieX ⊂Gtelle que le plus petit sous-groupe deGcontenantXsoitGlui-même).
1.Soit(G,·,1)un groupe abélien. Définir un ensembleA(G)de formules de calcul pro- positionnel qui soit satisfaisable si et seulement si le groupeGest ordonnable.
2.Montrer que, pour qu’un groupe abélien soit ordonnable, if faut el il suffit que tous ses sous-groupes de type fini soient ordonnables.
3. Montrer que, pour qu’un groupe abélien soit ordonnable, il faut et if suffit qu’il soit sans torsion.
Aide : On peut utiliser le théoreme d’algèbre suivant :
Pour tout groupe abélien de type fini sans torsion(G,·,1)non réduit à l’élément neutre, il existe un entierptel que(G,·,1)soit isomorphe au groupe(Zp,+,0).
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