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Soit G un groupe abélien d'ordre n

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Academic year: 2022

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THÉORIE ANALYTIQUE DES NOMBRES EXERCICES 3

Exercice 1. Soitxun élément d'ordred dans un groupe abélien niG. Soit ω ∈T une racine d-ième de l'unité. Montrez qu'il y a exactement

|G|/d caractères χ∈Gˆ tels que χ(x) = ω.

Exercice 2. Soit G un groupe abélien d'ordre n. Soit x∈G. Montrez que dans l'anneau de polynômes C[X], l'identité suivante est vériée :

Πχ∈Gˆ(1−χ(x)X) = (1−Xd)n/d.

Exercice 3. Soit (an) et (bn) des suites de nombres complexes. Mon- trez la formule d'Abel :

m0

X

n=m

anbn=

m0

X

n=m

an

! bm0 +

m0−1

X

n=m n

X

k=m

ak

!

(bn−bn+1)

1

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