Soit(G,∗)un groupe etH un sous groupe

THÉORÈME DE LAGRANGE

Théorème 1. Soit(G,∗)un groupe d’ordre fini et soitH un sous groupe de(G,∗). Alors l’ordre deH divise l’ordre deG.

On s’appuie sur la proposition suivante

Proposition 2. Soit(G,∗)un groupe etH un sous groupe. SoitRla relation définie surGpar xRy si et seulement si x⁻¹∗y∈H,

oùx⁻¹désigne le symétrique dexdans(G,∗). AlorsRest une relation d’équivalence. De plus pour toutx∈G

cl(x)=x∗H={x∗y;y∈H}.

Démonstration. Pour toutx dansH, on a x⁻¹∗x=e. CommeH est un sous groupee∈H, ce qui entraînexRxpour toutx∈G;Rest réflexive.

SoientxetydansGtels quexRy. Par définitionx⁻¹∗y∈H. CommeHest un sous groupe le symétrique dex⁻¹∗y appartient àH, ce qui donne (x⁻¹∗y)⁻¹=y⁻¹∗x∈Hou encoreyRx.

La relationRest symétrique.

Pour la transitivité, soientx,y etzdansGtels quexRy etyRz. Il suffit de constater que x⁻¹∗z=x⁻¹∗e∗z=x⁻¹∗y∗y⁻¹∗z=(x⁻¹∗y)∗(y⁻¹∗z)

pour affirmer, commeHest un sous groupe, que (x⁻¹∗y)∗(y⁻¹∗z) appartient àH. AinsixRz etRest transitive.

La relationRest donc une relation d’équivalence surG. Passons à l’étude des classes d’équi- valence. Soitx∈Get rappelons que

cl(x)={y∈G;xRy}={y∈G;x⁻¹∗y∈H}.

Siy∈cl(x) alors on peut écrirey=x∗x⁻¹∗y=x∗(x⁻¹∗y). Commex⁻¹∗yappartient àH,y est de la formex∗z aveczdansH. On en déduit que cl(x)⊂x∗H. Réciproquement soity∈x∗H. Par définition, soitz∈Htel quey=x∗z. Clairementx⁻¹∗y=x⁻¹∗x∗z=zest un élément de H, doncxRy d’oùy∈cl(x). Ainsix∗H⊂cl(x).

On peut donc affirmer que cl(x)=x∗H.

Démonstration du théorème de Lagrange. Posonsn=card(G) etp=card(H).

Pour toutxdans Hl’ensemble cl(x)=x∗Hcontient le même nombre d’éléments queH. En effet siy1ety2sont dansH, alors, comme nous avons une structure de groupe,x∗y1=x∗y2

entraîney1=y2. Par contrapositiony16=y2entraînex∗y16=x∗y2. Les ensemblesHetx∗Hont donc même cardinal.

D’après le cours sur les relations d’équivalence, les classes d’équivalences (distinctes) forment une partition deG. Soitr le nombre (nécessairement fini) de classes d’équivalence distinctes.

Chaque classe contientpéléments et on dénombrer classes :n=r×p, d’où la conclusion.

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