Soit G un groupe

Licence 3 Alg`ebre Universit´e Paris Diderot 2016-2017

Feuille de TD3–Morphismes de groupes, groupes quotients

Exercice 1. Soit Gun groupe. Montrer que x 7→x⁻¹ est morphisme si et seulement si G est un groupe ab´elien.

Exercice 2. L’image d’un groupe ab´elien par un morphisme est-elle un groupe ab´elien ? L’image r´eciproque d’un groupe ab´elien par un morphisme est-elle un groupe ab´elien ?

Exercice 3. Soit Gun groupe fini. D´eterminer les morphismes de GdansZ.

Exercice 4. Soit G un groupe. Soit X une partie g´en´eratrice de G. Soit f : G → H un morphisme. Montrer que f(X) engendre l’image de f. En d´eduire que l’image d’un groupe monog`ene est monog`ene, et que l’image d’un groupe cyclique d’ordre n est cyclique d’ordre divisant n. Supposons Gab´elien et posonsX ={x₁, x₂...x_n}. Montrer qu’on a un morphisme Zⁿ→G qui `a (m₁, m₂...m_n) associex^m₁¹x^m₂²...x^m_nⁿ. Est-ce encore un morphisme siGn’est pas ab´elien ?

Exercice 5. Soit Gun groupe. D´eterminer tous les morphismes Z→G. Soient net m deux entiers. En d´eduire tous les morphismes Z → Z/nZ, Z/mZ → Z/nZ, en particulier lorsque n=m. En d´eduire tous les automorphismes deZ/nZ.

Exercice 6. Soit H ={(x, y)∈Z²/x+y ∈2Z}. Montrer c’est un sous-groupe de Z² et qu’il est isomorphe `aZ².

Exercice 7. Soit n un entier ≥ 0. Montrer que l’application d´eterminant est un morphisme GL_n(R)→R^×surjectif. Quel est son noyau ? En d´eduire un sous-groupe distingu´e de GL_n(R).

Exercice 8. Montrer que l’application M_n(R)→M_n(R) qui `aM associe sa transpos´ee^tM est un morphisme. En d´eduire que les applicationsM 7→M +^tM etM 7→M−^tM sont aussi des morphismes. Quels sont les images et noyaux de ces morphismes ?

Les applications GL_n(R) →GL_n(R) qui `a M associe^tM, M⁻¹ et ^tM⁻¹ respectivement sont- elles des morphismes ?

Exercice 9. Le groupe quotient Z/6Z est-il isomorphe au groupe des isom´etries du triangle

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equilat´eral ? D´eterminer tous les groupes d’ordre 6 `a isomorphisme pr`es.

Exercice 10. D´emontrer que tout groupe d’ordre premier est cyclique.

Exercice 11. Le groupeR^×est-il isomorphe au groupeC^×? Le groupe (C,+) est-il isomorphe au groupe (C^×,×) ? SoitGun sous-groupe d’indice fini du groupe multiplicatifC^× . Montrer queG=C^×.

Exercice 12. Le groupeZ/9Zest-il isomorphe au groupeZ/3Z×Z/3Z?

Exercice 13. Soitnun entier>0. Montrer queµ_n={z∈C^×/zⁿ= 1}est un groupe cyclique d’ordren. Montrer que tous les sous-groupes finis de {z∈C/|z|= 1} sont cycliques.

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Exercice 14. Montrer que le groupe produitG×Gn’est pas cyclique lorsqueGest un groupe d’ordre>1.

Exercice 15. Montrer que tout quotient d’un groupe cyclique est cyclique.

Exercice 16. Montrer que le groupe µ={z∈C/|z|= 1} est isomorphe `a R/Z. En d´eduire que le groupe µ∞ des ´el´ements d’ordre fini de C<sup>×</sup> est isomorphe `a Q/Z. Soit n un entier

>0. Notons µn ={z ∈C^×/zⁿ = 1}. Montrer que c’est un sous-groupe de µ. Montrer que µ est isomorphe `a µ/µ<sub>n</sub>. Montrer que µ/µ∞ poss`ede 1 comme unique ´el´ement d’ordre fini. Les groupes µetµ/µ∞ sont-ils isomorphes ?

Exercice 17. Quels sont les sous-groupe distingu´es du groupe des quaternions Q8 ? Indiquer si les groupes quotients sont cycliques. Quels sont les sous-groupes distingu´es du groupe D₈ des isom´etries du carr´e ? Indiquer si les groupes quotients sont cycliques. Le groupeQ₈ est-il isomorphe `a D8 ? Quels sont les groupes d’automorphismes de Q8 etD8 ?

Exercice 18. Soit Gun groupe. SoitH un sous-groupe d’indice 2 de G. Montrer queG/H et H\Gposs`edent tout deux deux classes dont l’une est H. En d´eduire queG/H =H\Get donc queH est distingu´e dansG. Tout sous-groupe d’indice 3 est-il distingu´e ?

Exercice 19. Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e d’ordre n et d’indice m.

On suppose que metnsont premiers entre eux. Montrer queH est l’unique sous-groupe de G d’ordren.

Exercice 20. Soit G un groupe etH un sous groupe distingu´e de Gd’indice n. Montrer que pour touta∈G, on aaⁿ∈H. Donner un exemple de sous-groupe H non distingu´e deG pour lequel il existea∈Gavec aⁿ∈/H.

Exercice 21. Donner un exemple de groupeGmuni d’un sous-groupe distingu´eHavec Gnon isomorphe `a H×G/H. Donner un tel exemple avec G ab´elien. Donner un tel exemple avec G fini, |H| et |G/H| premiers entre eux. Y a-t-il de tels exemples avec G ab´elien fini, |H| et

|G/H|premiers entre eux ?

Exercice 22. SoitGun groupe,Aune partie non vide deG.On noteN(A) ={g∈G;gAg⁻¹= A} et C(A) = {g ∈ G/gag⁻¹ = a(a∈ A)}. Ce sont les normalisateur et centralisateur de A respectivement. Montrer que N(A) et C(A) sont des sous-groupes de G et que C(A) est un sous-groupe distingu´e de N(A).

Exercice 23. SoitGun groupe. On appellegroupe des commutateursde Get on note D(G) le sous-groupe deGengendr´e par{xyx⁻¹y⁻¹|x∈G, y∈G}. Montrer queD(G) est distingu´e dans G et que le quotientG/D(G) est ab´elien. SoitH un sous-groupe distingu´e de Gtel que G/H est ab´elien. Montrer que H contient D(G). (Autrement dit D(G) est le plus petit sous-groupe distingu´e de G tel que le quotient de G par ce sous-groupe est ab´elien.) Soit f : G → A un morphisme, avecA groupe ab´elien. Montrer que le noyau de f contient D(G).

Exercice 24. SoitGun groupe. Notons Aut(G) le groupe de ses automorphismes. Consid´erons l’application i: G→Aut(G) qui `a g associe la conjugaison par G. Montrer que c’est un mor- phisme. D´eterminer son noyau. Montrer que son image Int(G) (le groupe desautomorphismes int´erieurs de G) est distingu´e dans Aut(G). Le groupe quotient Aut(G)/Int(G) s’appelle le groupe des automorphismes ext´erieurs de G. D´eterminer Aut(G) et Int(G) lorsque G est le groupe des isom´etries du triangle ´equilat´eral.

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