Sommes de Jacobi

Sommes de Jacobi

(Sous forme d’exercices)

Soit A un groupe ab´ elien fini. Soient f et g deux applications (ensemblistes) de A dans C ; le produit de convolution de f et g est l’application de A dans C , not´ ee f ∗ g, d´ efinie de la fa¸con suivante :

(f ∗ g)(z) = ^X

x+y=z

f (x) g(y) ,

la somme au second membre ´ etant index´ ee par le sous-ensemble de A × A form´ e des couples (x, y) avec x + y = z.

1) On note (comme ` a l’ordinaire) C

le C -espace vectoriel des applications de A dans C . Montrer que l’application bilin´ eaire C

× C

→ C

, (f, g) 7→ f ∗g fait de C

une C -alg` ebre commutative. Montrer en particulier que l’´ el´ ement neutre de la loi ∗ est “la masse de Dirac en z´ ero”, c’est-` a-dire l’application, not´ ee δ, d´ efinie par :

δ(x) =

( 1 pour x = 0 0 pour x 6= 0 .

2) Soit K un corps fini ` a q ´ el´ ements. On prend maintenant pour A le groupe additif de K.

On appelle caract` ere multiplicatif de K un homomorphisme de groupes de K

dans C

. Le produit de deux caract` eres multiplicatifs χ

et χ

, not´ e χ

χ

, est le caract` ere multiplicatif d´ efini par (χ

χ

)(x) = χ

(x)χ

(x). On note u le caract` ere multiplicatif trivial (d´ efini par u(x) = 1 pour tout x dans K

). Il est clair que l’ensemble des caract` eres multiplicatifs de K muni du produit introduit ci-dessus est un groupe dont l’´ el´ ement neutre est u ; l’inverse de χ est not´ e χ

.

Soit χ un caract` ere multiplicatif de K , on note χ _e l’application de K dans C obtenue en prolongeant χ par z´ ero, en clair :

χ(x) = e

( χ(x) pour x 6= 0

0 pour x = 0 .

1 2

J(χ

, χ

) = ^X

x1+x2=1

χ f

(x

) χ _f

(x

) ,

la somme au second membre ´ etant index´ ee par le sous-ensemble de K × K form´ e des couples (x

, x

) avec x

+ x

= 1 (J(χ

, χ

) s’appelle une somme de Jacobi ).

2.1) Soient χ

et χ

deux caract` eres multiplicatifs de K avec χ

χ

6= u.

Montrer que l’on a :

χ f

∗ χ _f

= J(χ

, χ

) χ ]

χ

.

2.2) Soit χ un caract` ere multiplicatif de K avec χ 6= u . Montrer que l’on a : χ e ∗ χ ^g

= χ(−1) (qδ − 1) ,

le symbole 1 dans l’expression qδ − 1 au second membre d´ esignant l’applica- tion constante sur K de valeur 1.

2.3) Soient χ

et χ

deux caract` eres multiplicatifs de K avec χ

6= u, χ

6= u et χ

χ

6= u. D´ eduire des deux formules pr´ ec´ edentes que l’on a :

|J(χ

, χ

)|

= q .

[Utiliser l’associativit´ e et la commutativit´ e du produit de convolution et observer que l’on a l’´ egalit´ e (qδ − 1) ∗ (qδ − 1) = q (qδ − 1).]

3) Soit p un nombre premier diff´ erent de 2. On prend maintenant pour K le corps F

. On note le caract` ere de Legendre, c’est-` a-dire le caract` ere multiplicatif de F

d´ efini par

(x) =

( +1 si x est un carr´ e dans F

−1 si x n

est pas un carr´ e dans F

.

3.1) Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes : (i) p ≡ 1 (mod 4) ;

(ii) −1 est un carr´ e dans F

;

(iii) il existe un caract` ere multiplicatif χ de F

avec χ

= .

Si la congruence p ≡ 1 (mod 4) est satisfaite alors combien y a-t-il de ca- ract` eres multiplicatifs χ de F

v´ erifiant χ

= ?

On suppose p ≡ 1 (mod 4) dans le reste de la question 3. Soit χ un caract` ere multiplicatif de F

avec χ

= . On pose

J(χ, χ) = a

+ ıb

avec a

et b

r´ eels.

3.2) Montrer que a

et b

sont des entiers et que l’on a : p = a

+ b

.

3.3) Montrer que a

est impair et b

pair.

[Observer que l’on a J(χ, χ) = χ(

)

+ 2 S avec S dans Z [ı].]

3.4) Montrer que a

est ind´ ependant du choix de χ.

3.5) Soit Γ le sous-ensemble de F

× F

form´ e des ´ el´ ements (x, y) v´ erifiant x

+ y

= 1. Montrer que l’on a :

2a

= (2) ^X

(x,y)∈Γ

e (x) .

[Observer que l’on a J(χ, χ) = P

x∈Fp

χ e (x(1 − x)) et 4x(1 − x) = 1 − (2x − 1)

.]

3.6) Soit ρ un racine carr´ ee de −1 dans F

. Montrer que l’application (en- sembliste)

F

→ F

× F

, z 7→ ( 1 2 (z + 1

z ) , 1

2ρ (z − 1 z ) ) induit une bijection de F

sur Γ. En d´ eduire que l’on a :

2a

= ^X

z∈F^×p

e (z + 1 z ) .

3.7) Montrer que la formule pr´ ec´ edente implique la congruence 2a

≡ −C

p−1 4 p−1

2

(mod p) .

[Utiliser le fait que l’image dans Z /p de l’entier e (t) est ´ egale ` a t

pour tout t dans Z /p.]

C

est pair. On a donc aussi : a

≡ − 1

2 C

p−1 4 p−1

2

(mod p) .

Soit r

: Z → Z /p la surjection canonique et s

: Z /p → Z l’unique section de r

(dire que s

est une section de r

signifie que la compos´ ee r

◦s

est l’identit´ e de Z /p) v´ erifiant −

≤ s

(x) <

pour tout x dans Z /p. Montrer que l’on a la formule “explicite” :

a

= (s

◦ r

)( − 1 2 C

p−1 4 p−1

2

) .

[Observer que l’on a l’in´ egalit´ e |a

| < √ p.]

3.9) Soit C le sous-ensemble de F

× F

form´ e des ´ el´ ements (x, y) v´ erifiant x

+ y

= 1.

On note π : C → Γ l’application (x, y) 7→ (x

, y). Montrer que l’on a, pour tout point (x, y) de Γ :

card( π

((x, y ))) = 1 + e (x) ,

la notation card( ) d´ esignant le cardinal d’un ensemble fini. En d´ eduire l’´ egalit´ e :

card(C) = p − 1 + 2 (2) a

et l’in´ egalit´ e :

|card(C) − (p − 1)| < 2 √ p .

[Montrer que l’avant-derni` ere ´ egalit´ e entraˆıne card (C) = card (Γ) + 2 (2)a

et utiliser la premi` ere partie de la question 3.6.]

4) Soit p un nombre premier diff´ erent de 2 et 3.

4.1) Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes : (i) p ≡ 1 (mod 3) ;

(ii) il existe un caract` ere multiplicatif χ de F

avec χ

= u et χ 6= u.

Si la congruence p ≡ 1 (mod 3) est satisfaite alors combien y a-t-il de ca- ract` eres multiplicatifs χ de F

v´ erifiant χ

= u et χ 6= u ?

On suppose p ≡ 1 (mod 3) dans le reste de la question 4. Soit χ un caract` ere multiplicatif de F

avec χ

= u et χ 6= u. On pose

J(χ, χ) = a

+ b



avec a

et b

r´ eels (la notation  d´ esigne, comme ` a l’ordinaire, la racine cubique de l’unit´ e exp(

) dans C ).

4.2) Montrer que a

et b

sont des entiers et que l’on a : p = a

− a

b

+ b

.

4.3) Montrer que l’on a :

χ e ∗ χ _e ∗ χ _e = J(χ, χ) (pδ − 1) . En d´ eduire la formule :

J(χ, χ) = − ^X

x+y+z=1

χ(x) e χ(y) e χ(z) e

et les congruences :

a

≡ −1 (mod 3) , b

≡ 0 (mod 3) .

[Observer que l’on a P

x+y+z=1

χ(x) e χ(y) e χ(z) = e χ (

)

+ 3 S avec S dans Z [].]

4.4) On pose A

= 2 a

− b

et B

=

b

; A

et B

sont donc deux entiers relatifs avec 4p = A

+ 27 B

et A

≡ 1 (mod 3).

Montrer que A

est ind´ ependant du choix de χ.

Montrer que 4p s’´ ecrit de fa¸con unique A

+ 27 B

avec A et B deux entiers naturels.

[Utiliser le fait que l’anneau Z [] est principal pour montrer que si a, b, a

, b

sont des

´

el´ ements de Z avec p = a

− ab + b

et p = a

− a

b

+ b

alors il existe un ´ el´ ement u de Z []

tel que l’on a a

+ b

 = u (a + b ) ou a

+ b

 = u (a + b 

).]

En d´ eduire que l’on a : A

=

( +A pour A ≡ +1 (mod 3)

−A pour A ≡ −1 (mod 3) .

4.5) Soit t un ´ el´ ement de Z /p. Montrer que χ(t) + _e χ(t) _e est un entier dont l’image dans Z /p est ´ egale ` a t

+ t

.

En d´ eduire la congruence suivante : A

≡ −C

p−1 3

2^p−1₃

(mod p) .

[Observer que l’on a A

= P

x∈Fp

χ e (x(1 − x)) + χ e (x(1 − x))

.]

4.6) Montrer que l’on a la formule “explicite” : A

= (s

◦ r

)( −C

p−1 3

2^p−1₃

) .

4.7) Soient k un ´ el´ ement non nul de F

et D

le sous-ensemble de F

× F

form´ e des ´ el´ ements (x, y) v´ erifiant k x

+ y

= 1.

On note π : D

→ F

l’application (x, y) 7→ y. Montrer que l’on a, pour tout point y de F

:

card( π

(y)) = 1 + χ( e 1 − y

k ) + χ( e 1 − y

k )

2

.

En d´ eduire l’´ egalit´ e :

card(D

) = p + 2 < ( χ(2k)

J(χ, χ))

(la notation <( ) d´ esigne la partie r´ eelle d’un nombre complexe) et l’in´ egalit´ e :

|card(D

) − p| < 2 √ p .

4.8) Soit l un ´ el´ ement non nul de F

; on pose d

(l) = 2 < (χ(l)

J(χ, χ)) (d

(l) est donc un entier ind´ ependant du choix de χ). Montrer que l’on a la formule “explicite” :

d

(l) = (s

◦ r

)( −C

p−1 3

2^p−1₃

l

) ,

au moins pour p ≥ 19.