4;7 ab < 4;7 ab -<- 44 0;3 a - 4 b - 4 4;7 0;3 ab < ab -<- 44 a - 4 b - 4 ab < - -

(1)

2de Devoir maison n° 5 à remettre le 24/10/2008

1. Calcul en fonction de x des aires des triangles AIL et BIJ.

aire de AIL = 1 1

AL AI= (7 )

2× × 2× × −x x d’où aire de AIL = 1 ² 7

2x 2x

− + .

aire de BJI = 1 1

BI BJ= (9 )

2× × 2× × −x x d’où aire de BIJ = 1 ² 9

2x 2x

− + .

2. Aire du parallélogramme IJKL

aire de IJKL = aire de ABCD −²×aire de AIL −²×aire de BJI

donc 1 ² 7 1 ² 9 ² ²

( ) 9 7 2 2 63 7 9

2 2 2 2

f x  x x  x x x x x x

= × − × − + − × − + = + − + −

   

d’où f x( )=2x²−16x+63.

3. Etude du sens de variation de la fonction f sur l’intervalle

[

^{4 ; 7}

]

^:

a . Vérifions que f x( )=2(x−4)²+31

2 2 2 2

2(x−4) + =31 2(x − +8x 16) 31+ =2x −16x+32 31+ =2x −16x+63= f x( ) d’où f x( )=2(x−4)²+31.

b. Soit a et b deux nombres réels appartenant à l’intervalle

[

^{4 ; 7}

]

^{tels que}^a^<^b^.

• Comparons a−4 et b−4.

a<b, en retranchant 4 à chaque membre on obtient : a− < −4 b 4^.

• Comparons (a−4)² et (b−4)²

a et b appartenant à l’intervalle

[

^{4 ; 7}

]

^,^a⁻⁴^et^b⁻⁴ appartiennent à l’intervalle

[ ]

^{0 ; 3} ^.

La fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 3} ^donc

4 4

a− < −b entraîne (a−4)² < −(b 4)².

• Comparons ( )f a et ( )f b

2 2

(a−4) < −(b 4) , en multipliant chaque membre par le nombre positif 2, on obtient :

2 2

2(a−4) <2(b−4) et en ajoutant 31 à chaque membre on obtient :

2 2

2(a−4) + <31 2(b−4) +31 c’est-à-dire ( )f a < f b( ).

• Conclusion : on vient de prouver que pour tous a et b appartenant à l’intervalle

[

^{4 ; 7}

]

^,

a<b entraîne ( )f a < f b( ).

La fonction f est croissante (et même strictement croissante) sur l’intervalle

[

^{4 ; 7}

]

^.

(2)

4. On démontre de façon analogue que la fonction f est décroissante sur l’intervalle

[

^{0 ; 4}

]

^.

Tableau de variation de la fonction f :

x 0 4 7 f

63 49 31

5. L’aire de IJKL est minimale pour x=4 et l’aire minimale est égale à 31 cm². 6. Voir le graphique ci-dessous.

7. Est-il possible que l’aire du parallélogramme IJKL soit égale à la moitié de l’aire du rectangle ABCD ? Si oui, combien y a-t-il de possibilités ?

La moitié de l’aire du parallélogramme ABCD est égale à 31,5.

Deux points de la courbe C ont pour ordonnée 31,5. _f

Les abscisses x₁ et x₂ de ces deux points sont les solutions de l’équation ( )f x =31,5.

Conclusion : il est possible que l’aire du parallélogramme IJKL soit égale à la moitié de l’aire du rectangle ABCD et deux valeurs sont possibles pour x.

(3)

Barème : 10 pts 1) 1 pt

2) 1 pt 3) a) 1 pt b) 1,5 pt 4) 1 pt 5) 1pt 6) 2 pts 7) 1,5 pt