AB=0AD1AB ⇔ B0

Utilisation d'un repère pour démontrer une propriété géométrique 2nde

On considère le rectangle ABCD.

Placer le point E tel que 4CE=BA. Placer le point F tel que CF=1 3AD. Prouver que A, E et F sont alignés.

L'utilisation d'un repère passe par le choix d'un repère. Comme le dessin l'indique, on choisit le repère

A ;AD ;AB où A est l'origine, AD est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses et AB ^{celui de} l'axe des ordonnées.

1ère étape : Coordonnées des points de la figure.

A est l'origine du repère donc A0; 0.

AD=1AD0AB ⇔ D1 ;0.

AB=0AD1AB ^⇔ B0 ; 1.

AC=ADAB=1AD1AB ⇔ C1 ;1.

AE=ACCE=ADAB –1

4AB=1AD3

4AB ⇔ E^1;34^.

AF=ACCF=ADAB1

3AD=4

3ADAB ⇔ F⁴3;1^.

2ème étape : Les points A, E et F sont-ils alignés ?

1. D'après le cours, les points A, E et F sont alignés si et seulement si AE ^et AF sont colinéaires.

2. u ^ab ^{et u '} ^{a '}b' sont colinéaires si et seulement si a ' b=ab'

AE ^{yxEE– y– xAA==1−0=143−0=34} ^{ab et AF} ^{xyFF– x– yAA==431––00==431} ^a'b'

a ' b=4 3×3

4=1 et ab'=1×1=1 ; a ' b=ab' donc les vecteurs AE et AF sont colinéaires et A , E et F sont alignés.

2009©My Maths Space Page 1/1