AD=1AD0AB ⇔ D1 ;0

Correction du devoir sur les vecteurs Seconde

• Comment s'appelle la relation toujours vraie ABBC=AC ? La relation de Chasles.

• Pour quelles positions des points I, J et K a-t-on IJJK=IK ? La relation est vraie si et seulement si J appartient au segment [IK].

• Écrire les formules donnant les coordonnées du milieu I du segment [AB]

I est le milieu de [AB] ⇔ {^{xyII==xyAAx22yBB}

• Recopier la phrase suivante sur votre copie en complétant les trous :

IK=3KL signifie que les vecteurs ^IK et ^KL sont colinéaires . Autrement dit, les droites (IK) et (KL) sont parallèles avec un point en commun , ainsi les points I, J et K sont alignés.

2. AB ^{xBy– xB – yA=A– 2 – 1=3 – 2==1– 3}

CD ^{yxDD– y– xCC==0 –1 – 7– 2 == – 62}

3. On remarque que CD=2AB ^{donc les} vecteurs AB ^et CD sont colinéaires et les droites AB et CD sont parallèles.

4. x_K=x_Bx_C

2 =–27 2 =5

2 ^et y_K=y_By_C

2 =3–2

2 =1

2 ^donc K⁵2;1 2

BECD est un parallélogramme ⇔ BE=DC ^⇔ {^xyEE^{– x}– y^B_B⁼=^xy^C_C^{– x}– y^D_D ^⇔ {^yxE^E–^2=63=−2 ^⇔ {^yxE^E=⁼⁶–23=1^–2=4

1ère étape : Coordonnées des points de la figure dans le repère A ;AD ;AB

A est l'origine du repère donc A0; 0.

AD=1AD0AB ^⇔ D1 ;0.

AB=0AD1AB ⇔ B0 ; 1.

AC=ADAB=1AD1AB ^⇔ C1 ;1.

AE=ACCE=ADAB –1

4AB=1AD3 4AB

⇔ E^1;34^.

AF=ACCF=ADAB1

3AD=4

3ADAB ⇔ F⁴3;1^.

2010©My Maths Space 1/2 Cours

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Correction du devoir sur les vecteurs Seconde

2ème étape : Les points A, E et F sont-ils alignés ?

1. D'après le cours, les points A, E et F sont alignés si et seulement si AE ^et AF sont colinéaires.

2. u ^ab ^{et u '} ^a'b' sont colinéaires si et seulement si a ' b=ab'

AE ^{yxEE– y– xAA==1−0=143−0=34} ^{ab et AF} ^{xyFF– x– yAA==431––00==431}  ^a'b'

a ' b=4 3×3

4=1 et ab'=1×1=1 ; a ' b=ab' donc les vecteurs AE et AF sont colinéaires et A , E et F sont alignés.

AD=2ABAC ^et BE=1 3BC

2. Pour démontrer que les points A, D et E sont alignés, on peut par exemple prouver que les vecteurs AD ^et AE sont colinéaires.

BE=1

3BC ^⇔

BAAE=1

3BAAC ⇔

AE=1

3BA –BA1

3AC ^⇔

AE=–2

3BA1

3AC ^⇔

AE=2

3AB1

3AC ⇔ AE=1

32ABAC ⇔ AE=1 3AD La dernière égalité prouve qu'il existe un réel k (ici 1

3 ) tel que AE=kAD donc les vecteurs AD ^et

AE sont colinéaires et les points A, D et E sont alignés.

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