C'est pour cela qu'on représente la vitesse par un vecteur vitesse.
Ainsi 50 km.h-1 correspond à la norme du vecteur vitesse.
Pourquoi étudier les vecteurs ? Car, ils mettent en évidence des propriétés géométriques et permettent de résoudre des problèmes d'alignement, de parallélisme et de concours.
Historiquement, Sir William Rowan Hamilton, mathématicien Irlandais ( 1805 - 1865 ) fut le premier à employer le terme de vecteur. Ses travaux sur une forme de multiplication de triplets de nombres réels l'ont conduit, en 1843, à la découverte de la notion de quaternions. Les quaternions sont de nouveaux nombres, constitués de quatre composantes dans l'ensemble des nombres complexes. Leurs applications dans les domaines de la physique et des mathématiques ont contribué à la naissance du calcul vectoriel.
1 Introduction.
Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction.
Deux droites sécantes n’ont pas la même direction.
Il y a deux sens de parcours sur la droite ( AB ).
De A vers B.
De B vers A.
A deux points distincts A et B, on associe le vecteur
→
AB et le vecteur
→
BA.
Le vecteur
→
AB
a pour direction : la direction de la droite ( AB ) ; a pour sens : le sens de A vers B ;
a pour longueur : la longueur AB .
Lorsque les points A et B sont confondus, le vecteur
→
AAest appelé vecteur nul.
On écrit :
→
AA=
→
0.
Le vecteur nul n’a pas de direction.
Sa longueur est égale à 0.
Exemples : voir feuille annexe.
Deux vecteurs
→
AB et
→
CD sont égaux signifie que ils ont la même direction ;
ils ont le même sens ; ils ont la même longueur.
AB =
→ →
CD⇔ ABDC est un parallélogramme.
Si ÄAB = ÄCD = ÄEF = …, on note ce vecteur Åu.
ÄAB , ÄCD , ÄEF sont appelés des représentants du vecteur Åu.
La norme du vecteur ÄAB est la distance AB. On note AB = AB.
Propriété : Soit Åu un vecteur.
Alors pour tout point A, il existe un seul point B tel que ÄAB = Åu
Exemple : voir feuille annexe.
E1 Savoir reconnaître et construire deux vecteurs égaux.
N ° 1.
A, B et C sont trois points non alignés.
a. Construire le point E tel que ÄBE = ÄAC .
b. Les égalités suivantes sont-elles vraies ? ÄAB = ÄCE ; ÄAE = ÄBC ; ÄBE = ÄCA .
N ° 2. Åv
Åu
O
Construire les points D, F et G tels que ÄOD= Åu ; ÄDF = Åv ; ÄGF = Åu.
Quelle est la nature du quadrilatère ODFG ?
Parmi les vecteurs suivants, préciser ceux qui ont la même direction, ceux qui ont la même direction et le même sens, et ceux qui ont la même norme.
N
N ° 4.
Tracer un parallélogramme ABCD. Construire les points E et F tels que DCFE soit un parallélogramme.
Démontrer que le quadrilatère ABFE est un parallélogramme.
N ° 5.
IJKL est un parallélogramme et M est un point tel que ÄJK = ÄKM Démontrer que les segments [ IM ] et [ KL ] ont le même milieu.
2 Addition de vecteurs.
Relation de Chasles.
Pour additionner les vecteurs
→
u et
→
v ,
je marque deux points A et B tels que
→
AB =→u .
Je place un point C tel que
→
BC =
→
v .
J’obtiens
→
u +
→
v =
→
AB +
→
BC =
→
AC .
L’égalité
→
AB +
→
BC =
→
AC s’appelle la relation de Chasles.
Règle du parallélogramme.
Pour additionner les vecteurs
→
u et
→
v , je marque deux points A et B tels que
→
AB =
→
u .
Je place un point D tel que
→
AD =
→
v .
J’obtiens →u + →v =
→
AB +
→
AD =
→
AC .
[ AC ] est la diagonale du parallélogramme ABCD.
Propriété :
Åu + Åv = Åv + Åu
Exemple : voir feuille annexe.
E2 Savoir additionner deux vecteurs.
1. Soient Åa et Åb deux vecteurs. Représenter le vecteur Åa + Åb.
2. ABC est un triangle. Représenter le vecteur ÄAB + ÄAC . 3. DEF est un triangle. Représenter ÄDE + ÄFE .
4. GHI est un triangle. Représenter ÄIH + ÄIG .
5. Dans la figure suivante tracer en rouge Åu + Åv ; en vert Åi + Åj et en bleu Åk + Ål .
Ål Åi
Åv Åu
Åj
Åk
Ecrire sous la forme d'un seul vecteur :
1. Åu = ÄDA + ÄBD 2. Åv = ÄDA + ÄBC + ÄCD 3. Åw = ÄNF + ÄRS + ÄFG + ÄMN + ÄGH + ÄSR 3 Soustraction de deux vecteurs.
On appelle opposé du vecteur
→
u le vecteur noté -
→
u qui a la même direction que le vecteur
→
u et la même longueur mais qui a un sens contraire à →u .
Soient A et B deux points.
Notons Åw = ÄAB . Alors - Åw = - ÄAB = ÄBA .
→
u et →v sont deux vecteurs.
→
u –
→
v =
→
u + ( -
→
v ).
Soustraire un vecteur, c’est ajouter son opposé.
Exemple : voir feuille annexe.
E4 Savoir utiliser un quadrillage. Faire l'exercice sur la feuille quadrillée.
E5 Savoir soustraire deux vecteurs.
Dans la figure suivante tracer en rouge Åu − Åv ; en vert Åj − Åi et en bleu Åk − Ål .
Ål Åi
Åv Åu
Åj
Åk
