Probl` eme I – Ordre d’un ´ el´ ement et ordre d’un groupe ab´ elien

DS4 de MP2 18.10.16

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Dur´ ee : 4 heures

Probl` eme I – Ordre d’un ´ el´ ement et ordre d’un groupe ab´ elien

Dans tout ce probl`eme (sauf `a la derni`ere question), G est un groupe ab´elien d’ordre N. On note sa loi multiplicativement et 1G son ´el´ement neutre. Pour toutg∈G, on note o(g) l’ordre deg:

o(g) = min{k∈N^∗, g^k= 1G} On sait aussi que

{k∈Z, g^k= 1G}= o(g)Z

Partie I – G´ en´ eralit´ es sur les ordres

I.1Soitx∈G, d’ordrel.

a Donner l’ordre dex^l−1.

bSim∈N^∗divisel, donner l’ordre dex^m. I.2

a Rappeler l’´enonc´e du th´eor`eme de Lagrange pour les sous-groupes cycliques.

bMontrer l’´equivalence des assertions suivantes : 1. Gest cyclique.

2. Pour toutm∈N^∗ divisantN, Gadmet (au moins) un ´el´ement d’ordrem.

I.3On consid`ere deux ´el´ementsaetbdeG, d’ordres respectifsmet n.

a On supposemetnpremiers entre eux. Montrer que abest d’ordremn.

bOn ne suppose plusm etnpremiers entre eux. V´erifier qu’il existe un ´el´ement deGd’ordrem∨n.

Indication :on pourra remarquer, en le justifiant soigneusement, que ce ppcm s’´ecritm⁰n⁰, avec m⁰ divisant m,n⁰ divisantn, etm⁰ et n⁰ premiers entre eux.

Partie II – Exposant d’un groupe ab´ elien fini

II.1On consid`ere l’ensemble

Ω ={k∈N^∗,∀g∈G, g^k= 1G}

aMontrer que Ω admet un plus petit ´el´ement. Ce plus petit ´el´ement de Ω s’appelleexposant deG, et on le noterar.

bV´erifier que

r= ppcm(o(g), g∈G) cMontrer queGadmet un ´el´ement d’ordrer.

Indication : on pourra consid´erer un ´el´ement deGd’ordre maximal.

dEn d´eduire quem∈N^∗ est l’ordre d’un ´el´ement deGsi et seulement sim diviser.

II.2Caract´eriser le fait quer=N, et donner un exemple o`uN = 4 etr < N.

II.3Montrer que si on enl`eve l’hypoth`ese de commutativit´e deG, alors l’exposant deGn’est plus n´ecessai- rement l’ordre d’un ´el´ement deG.

Probl` eme II – Une version faible du th´ eor` eme des nombres premiers

On noteraP l’ensemble des nombres premiers. On sait que cet ensemble n’est pas vide, et on indexe la suite ordonn´ee des nombres premiers : p₁= 2, p₂= 3, p₃= 5, . . .

Dans tout le probl`eme, la lettrepest r´eserv´ee aux nombres premiers. ´Etant donn´e un r´eelx, sa partie enti`ere [x] est l’entiernqui v´erifie la double in´egalit´e suivante : [x] =n6x < n+ 1.

Partie III – L’ensemble des nombres premiers est infini

Le but de cette partie est de d´emontrer queP est infini et d’´etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eral

1 p_n

III.1D´emontrer que l’ensembleP des nombres premiers est infini.

III.2On se donne un entiernsup´erieur ou ´egal `a 2.

a Montrer que la s´erieP

k 1

n^k converge et donner la valeur de sa somme (on rappelle quenest un entier fix´e, sup´erieur ou ´egal `a 2, l’indice de sommation estk∈N).

SoitN le rang du plus grand nombre premier inf´erieur `a n:N = max{i∈N^∗, p_i6n}, de sorte que [[1, n]]∩ P={p₁, . . . , p_N}

bNous admettons la relation suivante :

n

X

k=1

1 k 6

N

Y

i=1

1− 1

p_i −1

A l’aide de ce r´` esultat admis, retrouver le fait queP soit infini.

cMontrer la divergence de la s´erie de terme g´en´eralνk, o`u

νk=−ln

1− 1 p_k

dEn d´eduire la nature de la s´erieP

k 1 pk. eMontrer que si la suite de terme g´en´eral ^pk+1_p

k converge (k∈N), alors sa limite vaut 1.

Partie IV – Minoration du ppcm des 2n + 1 premiers entiers naturels non nuls

Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 2, et soitdnle plus petit commun multiple de tous les entiers 1,2,3, ..., n: dn

def= ppcm(1,2, . . . , n) = 1∨2∨ · · · ∨n SoitN l’entier tel quepN 6n < pN+1.

IV.1D´emontrer que

dn=

N

Y

i=1

p^α_iⁱ,

o`u, pour touti∈[[1, N]],αi=_lnn

lnp_i

.

IV.2Etant donn´´ e un entiernsup´erieur ou ´egal `a 2 (n>2), soitI_nl’int´egrale d´efinie par la relation suivante : I_n =R1

0 xⁿ(1−x)ⁿdx.

a Etablir la majoration :´ In64¹ⁿ.

bMontrer que pour toutk∈[[0, n]],n+k+ 1 divise d_2n+1.

c En d´eduire que le produit d_2n+1I_n est un entier en consid´erant, par exemple, une expression de I_n obtenue par d´eveloppement de (1−x)ⁿ.

IV.3Etablir, `´ a l’aide de la majoration de l’int´egrale I_n, une minoration ded_2n+1.

Partie V – Majoration du produit des N premiers nombres premiers

Pour tousxet y r´eels positifs avecx > y, on d´efinitP(x, y) comme valant 1 si l’intervalle ]y, x] ne contient pas de nombre premier ;

le produit des nombres premiers de l’intervalle ]y, x] sinon.

On a donc, pour tout (x, y, z)∈R³+ tel quez6y6x, la relation : P(x, z) =P(x, y)P(y, z).

Pour toutx∈R^∗+, on noteK(x) =P(x,0).

V.1DonnerK(x), pour toutx∈]0,6]. Donner les points de discontinuit´e de la fonctionK.

Soitmun entier naturel non nul.

V.2Montrer que ^2m+1_m 64^m.

V.3Montrer que l’entier P(2m+ 1, m+ 1) divise l’entier ^2m+1_m . V.4En d´eduire que siK(m+ 1)64^m+1, alorsK(2m+ 1)64^2m+1. V.5

a Montrer que :

∀n∈N^∗, K(n)64ⁿ

bEn d´eduire la majoration :

∀x∈R^∗+, K(x)64^x

Partie VI – N (x) = Θ

ln(x)

On noteN la fonction d´efinie par :

∀x>0, N(x) = Card{k∈N^∗, pk∈[0, x]}

Pour toutx>0,N(x) est donc le nombre d’entiers premiers inf´erieurs ou ´egaux `a x.

On noteS la fonction d´efinie sur [2,+∞[ par

∀x>2, S(x) = ln(K(x)).

VI.1Pour toutx>2, d´eduire de la partie pr´ec´edente un majorant deS(x).

VI.2Soitf une fonction d´efinie sur [2,+∞[ `a valeurs r´eelles, d´erivable et `a d´eriv´ee continue.

a Montrer que pour toutk entier naturel non nul, on a Z p_k

2

S(t)f⁰(t)dt=− X

i∈[[1,k]]

ln(pi)f(pi) +S(pk)f(pk).

bD´eduire pour tout r´eelxsup´erieur ou ´egal `a 2 la relation : X

i∈[[1,N(x)]]

ln(pi)f(pi) =S(x)f(x)− Z x

2

S(t)f⁰(t)dt.

VI.3On prendf = _ln¹. D´eduire de la question pr´ec´edente l’in´egalit´e :

N(x)62 ln 2 x

lnx+ Z x

2

dt (lnt)²

.

VI.4

aEtudier sur l’intervalle [ln 2,´ +∞[ la fonctionψ :u7→ ^e_u^u2. Montrer qu’il existe un unique r´eel (not´eu0) strictement sup´erieur `a ln 2 tel que

e^u0 u²₀ = 2

(ln 2)².

bMontrer, pour toutx > e^u0, la majoration : Z lnx

ln 2

e^u

u²du6 x

(lnx)²(lnx−ln 2).

cD´eduire, pour toutx > e^u0, l’in´egalit´e :

N(x)64 ln 2 x lnx.

VI.5 En utilisant par exemple la minoration du p.p.c.m. d2n+1 obtenue pr´ec´edemment, d´emontrer qu’il existe un r´eelx1 tel que pour tout r´eel xsup´erieur ou ´egal `ax1, la fonction N v´erifie la minoration suivante :

N(x)>ln 2 2

x lnx

Ces deux r´esultats sont coh´erents avec le th´eor`eme des nombres premiers ´etabli par Hadamard et De La Vall´ee Poussin en 1896, qui affirme plus pr´ecis´ement que

N(x)∼x→+∞

x ln(x)

VI.6On admet dans cette question le th´eor`eme des nombres premiers.

a Montrer que

pn∼nln(n)

bRetrouver la divergence deP 1 pn.

cD´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eral ^pn+1_p

n .