EXEMPLES DE PARTIES G´EN´ERATRICES D’UN GROUPE par Pascal Boyer

par Pascal Boyer

Table des mati`eres

1. G´en´eralit´es et cas commutatif . . . 2

1.1. D´efinitions . . . 2

1.2. Groupes cycliques . . . 2

1.3. Groupes ab´eliens de type fini . . . 4

1.4. Un groupe ab´elien non de type fini . . . 5

2. Exemples non commutatifs . . . 5

2.1. Le groupe sym´etrique . . . 5

2.2. Le groupe lin´eaire . . . 6

2.3. Le groupe orthogonal . . . 7

2.4. Le groupe unitaire . . . 8

2.5. Le groupe circulaire . . . 9

3. Pr´esentation d’un groupe par g´en´erateurs et relations . . . 9

3.1. D´efinition . . . 9

3.2. Cas des groupes sym´etriques et altern´es . . . 9

3.3. Groupes de Coxeter . . . 10

3.4. Lemme du ping-pong . . . 10

4. Applications . . . 11

4.1. Sous-groupes paradoxaux et paradoxe de Banach-Tarski . . . 11

4.2. S´eries thˆeta et formes modulaires . . . 13

4.3. Analyse harmonique . . . 13

5. D´eveloppements . . . 14

6. Questions . . . 14

7. Solutions . . . 14

R´ef´erences . . . 16

pr´erequis :

1. G´en´eralit´es et cas commutatif

1.1. D´efinitions. — Soit G un groupe et S une partie non vide de G; le groupe < S >

engendr´e parS dansG est le plus petit sous-groupe deG contenantS.

Remarque :l’existence de< S >est assur´ee par le fait que l’intersection de deux sous-groupes est un groupe :< S > est l’intersection de tous les sous-groupes deG contenant S. Dans le cas o`u < S >=G on dit queS estune partie g´en´eratrice de G; dans ce cas siS est fini, on dit que G est de type fini. Dans le cas G =< S > o`u S est de cardinal 1, on dit que G est monog`ene et si Gest fini, il est dit cyclique.

Propri´et´e: tout ´el´ementx∈< S >s’´ecrit sous la formes^²₁¹· · ·s^²_nⁿ o`un∈Nd´epend que dex, s₁,· · ·, s_n∈S et²_i=±1. En g´en´eral cette ´ecriture n’est pas unique.

Question: pour un groupe de type fini le cardinal d’un ensembleSde g´en´erateurs de cardinal minimal a-t-il un int´erˆet quelconque ? Mˆeme question pour un groupe qui n’est pas de type fini, en demandant que le groupe engendr´e parS soit dense.

Remarque : signalons qu’un ensemble de g´en´erateurS tel que tout sous-ensemble strict n’est pas g´en´erateur, n’est pas forc´ement de cardinal minimal : par exemple 2 et 3 engendrentZ alors que ni 2 ni 3 ne sont des g´en´erateurs.

1.2. Groupes cycliques. — Tout groupe cyclique de cardinalnest isomorphe `aZ/nZ; en effet soitG=< g >et consid´erons le morphisme f :Z→Gqui `a 1 associe g. Par d´efinition le noyau def estnZde sorte que f induit un isomorphisme ¯f :Z/nZ'G.

Proposition 1.1. — Tout sous-groupe de Z/nZ est de cardinal d o`u d est un diviseur de n. R´eciproquement pour tout d|n, il existe un unique sous-groupe d’ordre d de Z/nZ qui est isomorphe `a Z/dZ.

Preuve : Le premier point est un cas particulier du th´eor`eme de Lagrange. R´eciproquement soitH un sous-groupe de G=Z/nZ; consid´erons et φ:Z−→Z/nZ−→G/H, o`u G/H est le groupe quotient deGparH. Le noyau deφest un sous-groupe deZdonc de la forme dZ, contenant Kerψ=nZ, de sorte que d divisen. Ainsi H est cyclique, engendr´e par la classe ded; son ordre estn/d.

Corollaire 1.2. — Le groupe engendr´e par un ´el´ementk¯∈Z/nZest le groupe engendr´e par k∧n; il est de cardinal _n∧kⁿ .

Preuve : Commek est un multiple dek∧n, on a l’inclusion (k)⊂(k∧n). R´eciproquement on ´ecrit une relation de Bezoutuk+vn=n∧k de sorte que modulon,n∧k appartient au groupe engendr´e park et donc (k∧n)⊂(k). On en d´eduit alors que l’ordre de kdansZ/nZ qui est par d´efinition le cardinal du groupe engendr´e park, est _n∧kⁿ .

Remarque : un ´el´ement ¯k∈ Z/nZ est un g´en´erateur si et seulement si k∧n= 1 ; on notera ψ(n) le cardinal de l’ensemble des g´en´erateurs deZ/nZ, et donc aussi le cardinal des 1≤k≤n premiers avecn.

Corollaire 1.3. — L’ensemble des ´el´ements d’ordred|n(resp. d’ordre divisantd) dansZ/nZ est de cardinalψ(d) (resp. d). Par ailleurs on a n=P

d|nψ(d).

Preuve : Remarquons tout d’abord que sidne divise pasn, il n’y a aucun ´el´ement d’ordre d dans Z/nZ. Si d divise n, tous les ´el´ements d’ordre d appartiennent au groupe engendr´e par (ⁿ_d) qui est isomorphe, en tant que groupe cyclique d’ordred, `aZ/dZ. Ainsi les ´el´ements

d’ordredde Z/nZsont en bijection avec les ´el´ements d’ordre dde Z/dZqui sont en nombre ψ(d).

Cherchons maintenant les ´el´ements d’ordre divisant d dans Z/nZ qui sont donc d’ordre divisant d∧n et qui appartiennent au groupe engendr´e par _n∧dⁿ isomorphe `a Z/(n∧d)Z.

Ainsi, comme pr´ec´edemment, les ´el´ements d’ordre divisantdde Z/nZsont en bijection avec les ´el´ements d’ordre divisantn∧dde Z/(n∧d)Z, qui sont en nombren∧d.

La derni`ere ´egalit´e d´ecoule du d´enombrement des ´el´ements de Z/nZselon leur ordre.

Th´eor`eme 1.4. — (chinois) Soient n et m des entiers premiers entre eux ; l’application Z→Z/nZ×Z/mZqui `a un entierkassocie sa classe modulonetm, induit un isomorphisme

Z/nmZ'Z/n×Z/mZ.

Preuve : Consid´erons tout d’abord un ´el´ement k du noyau de sorte que n et m divise k et comme n∧m = 1, d’apr`es le lemme de Gauss nm|k. Ainsi le noyau est contenu dans nmZ, l’inclusion r´eciproque ´etant ´evidente de sorte que l’on a une injection de Z/nmZ ,→ Z/n×Z/mZqui est un isomorphisme par ´egalit´e des cardinaux.

Remarque : il peut ˆetre utile de savoir d´eterminer un ant´ec´edent d’un couple (¯a,¯b)∈Z/nZ× Z/mZ. Pour cela on part d’une relation de B´ezoutun+vm= 1 et on pose k=unb+vma; on v´erifie ais´ement que comme un ≡ 1 mod m et vm ≡ 1 mod n, on a k ≡ a mod n et k≡b mod m. Dans le cas o`u n∧m=d, le noyau est n∨mZ et l’image

{(a, b)∈Z/nZ×Z/mZ: d|a−b}.

1.5 — L’ensemble Z/nZ est aussi muni d’une structure d’anneau d´eduite de celle de Z; on note (Z/nZ)^× le groupe multiplicatif de Z/nZ, i.e. l’ensemble des ´el´ements inversibles muni de la multiplication.

Proposition 1.6. — Un ´el´ement k∈Z/nZappartient `a(Z/nZ)^× si et seulement s’il est un g´en´erateur additif deZ/nZ. En particulier (Z/nZ)^× est de cardinal ϕ(n).

Preuve : Par d´efinitionk est inversible si et seulement s’il existek⁰ tel quekk⁰≡1 mod n, i.e. s’il existe λ∈Z tel quekk⁰+λn = 1 ce qui est ´equivalent `a k∧n= 1 et donc k est un g´en´erateur deZ/nZ.

Remarque : comme Z/nZ est monog`ene tout morphisme de source Z/nZ est d´etermin´e par l’image de ¯1 de sorte qu’en particulier le groupe aut(Z/nZ) est isomorphe `a (Z/nZ)^×. Corollaire 1.7. — L’anneauZ/nZ est un corps si et seulement sin=p est premier auquel cas on le noteraF_p.

Th´eor`eme 1.8. — (de Fermat)Pour tout n∈Z et k∧n= 1, on ak^ϕ(n)≡1 mod n.

Preuve : Nous avons vu que le cardinal de (Z/nZ)^× est ´egal `aϕ(n) et comme l’ordre d’un

´el´ement divise le cardinal du groupe, l’ordre dek diviseϕ(n) et donck^ϕ(n) ≡1 mod n.

Proposition 1.9. — Pour n=p^α₁¹· · ·p^α_r^r, on a ϕ(n) =

Yr

i=1

p^α_iⁱ⁻¹(p_i−1).

Preuve : Le th´eor`eme chinois donne un isomorphisme (Z/nZ)^×'

Yr

i=1

(Z/p^α_iⁱZ)^×;

le r´esultat d´ecoule alors du fait que le cardinal des 1≤k≤p^α divisible par pest de cardinal p^α−1 et donc ϕ(p^α) =p^α−1(p−1).

En ce qui concerne les (Z/p^αZ)^×, on a le r´esultat suivant que nous admettrons.

Proposition 1.10. — Pourppremier impair etα≥1,(Z/p^aZ)^× est cyclique et pourp= 2, on a

(Z/2^αZ)^×'(Z/2Z)×(Z/2^α−2).

1.3. Groupes ab´eliens de type fini. — Tout groupe ab´elien G est de type fini est iso- morphe `aZ^r×Q_n

i=1Z/a_iZ o`u 1< a₁| · · · |a_n. L’entierr s’appelle le rang deG et lesa_i sont ses facteurs invariants.

Remarque : notons que l’entierr+nest le nombre minimal de g´en´erateurs n´ecessaires deG.

On pourra par exemple utiliser ce fait pour montrer que le sous-groupe deGL₂(C) engendr´e

par les similitudes µ

1 1

−1 1

¶ µ

−1 1

−1 −1

¶

est isomorphe `aZ×Z/4Z.

R´eseaux : ce sont les groupes ab´eliens de type fini sans torsion. Soit Γ un r´eseau de V,eune Z-base de Γ et v une base deV.

– v est une Z-base de Γ si et seulement si la matrice de passage de e `a v appartient `a GL_n(Z) ou encore si et seulement s’il existe une matriceA∈GL_n(Z) telle que



 v₁

... v_n



=A



 e₁ . ..

e_n



;

– un vecteur v= (v_i)_i=1,···,n∈Zⁿ peut ˆetre compl´et´e en uneZ-base deZⁿ si et seulement si lesv_i sont premiers entre eux ;

– plus g´en´eralement v₁,· · · , v_r des vecteurs de Zⁿ peuvent ˆetre compl´et´es en une Z-base de Zⁿ si et seulement si le pgcd des mineures d’ordrer sont premiers entre eux.

Dans la recherche, en g´en´eral algorithmique, d’une base la meilleure possible signalons les possibilit´es suivantes :

– les vecteurs de base le plus courts possibles : r´eduction de Minkowski

– la famille de vecteurs de base la plus orthogonale possible : r´eduction de Korkine et Zolotarev

– r´eduction de Lenstra, Lenstra et Lovasz : ´etant donn´ee une base (e₁,· · · , e_n) on notera (e^∗₁,· · · , e^∗_n) la base obtenue par le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt

e^∗_i =e_i− Xi−1

j=1

µ_i,je^∗_j o`u µ_i,j = ^<e_||bⁱ∗^|e∗j>

j||² . La base (e_i) est dite LLL-r´eduite si|µ_i,j| ≤1/2 et que

||e^∗_i +µ_i,i−1e^∗_i−1||² ≥ 3

4||e^∗_i−1||²

On dispose alors d’un algorithme dit LLL qui permet de calculer une base LLL-r´eduite

`a partir d’une base quelconque : cependant si j’ai bien compris la complexit´e de cet algorithme est mal comprise.

Th´eor`eme 1.11. — (Hermite) Γ poss`ede une base e₁,· · · , e_n telle que N(e₁).· · ·.N(e_n)≤(4

3)^n(n−1)/2det Γ

Remarque : on rappelle que l’in´egalit´e d’Hadamard donne que det Γ≤N(e₁).· · ·.N(e_n). En d´eduire alors qu’il existe un vecteur non nul de Γ de norme inf´erieure ou ´egale `a (⁴₃)^n(n−1)/2det(Γ)^1/n. Remarque : l’algorithme LLL a de nombreuses applications, notamment en cryptographie (cf.

l’attaque du sac `a dos).

1.4. Un groupe ab´elien non de type fini. — Notons G = Q/Z qui est clairement de torsion et pas de type fini puisque tout groupe de torsion de type fini est fini. Soit alors

G_p = [

n≥1

1

pⁿZ/Z= 1

pZ/Z⊂ 1

p²Z/Z⊂ · · · ⊂ 1

pⁿZ/Z⊂ · · · Lemme 1.12. — G_p est l’unique pro-p-groupe de Sylow de G.

Preuve : Remarquons tout d’abord que G_p est un groupe : soientx, y∈G alors il existen etm tels quex ∈ _p¹nZ/Z ety ∈ _p¹mZ/Z et donc pourr = max{n, m}, x, y ∈ _p¹rZ/Z qui est un groupe et donc x−y ∈ G_p. Par ailleurs si x ∈ G est d’ordre une puissance de p, alors clairementx∈G_p.

Lemme 1.13. — Les sous-groupes stricts de G_p sont les _p¹nZ/Z.

Preuve : Pour tout n ≥ 0, _p¹nZ/Z est un sous-groupe de G_p. R´eciproquement soit H un sous-groupe deG_p et supposons queH ne soit pas de la forme _p¹nZ/Zde sorte que pour tout n, il existe x 6∈ _p¹nZ/Z. Soit m tel que x∈ _p¹mZ/Z avec doncm > n de sorte que p^m−nx est un g´en´erateur de _p¹nZ/Zet donc _p¹nZ/Z⊂H et finalement H=G_p.

Lemme 1.14. — Tout sous-groupe H de G est la somme directe de ses sous-groupes de SylowH_p=H∩G_p.

Preuve : Soitx∈H etntel quex∈ _n¹Z/Z'Q

p 1

p^αpZ/Zo`un=Q

pp^αp et doncx=P

px_p avecx_p= _pⁿαpx∈H∩G_p. AinsiH⊂L

pH_p, l’inclusion r´eciproque ´etant ´evidente.

Remarque : Q/Z est isomorphe au sous-groupe de torsion de SO(2,R) 'U. Par ailleurs le groupe dual deG_p est isomorphe `a l’anneau des entiers p-adiques Z_p que l’on peut obtenir aussi comme la limite projective des _p¹nZ/Z.

2. Exemples non commutatifs

2.1. Le groupe sym´etrique. — Si on cherche les g´en´erateurs les plus simples possibles, on se tourne vers les transpositions et on peut montrer les r´esultats suivants :

(i) les transpositions engendrentS_n;

(ii) les transpositions (i i+ 1) engendrent S_n; (iii) les transpositions (1 i) engendrentS_n.

Dans les deux derniers cas, on remarque qu’on ne peut pas enlever des transpositions : si (iii) on enl`eve (1k) alors toute permutation dans le groupe engendr´e par les autres laisse k invariant ; dans (ii) ce sont les sous-ensembles [1, k] et [k+ 1, n] qui sont stables. On peut en fait montrer le r´esultat suivant.

Proposition 2.1. — (cf.[?]) Soit{τ₁,· · ·, τ_r}un ensemble de transpositions qui engendrent S_n, alors r≥n−1.

Remarque : si on s’autorise `a prendre d’autres permutations, on note que (1 2) et (1 2· · ·n) engendrent S<sub>n</sub>; ´evidemment comme S<sub>n</sub> n’est pas commutatif pour n ≥ 3, on ne peut pas trouver un seul g´en´erateur. On note `a ce propose que le cardinal minimal d’un syst`eme de g´en´erateurs ne donne aucun renseignement sur la taille du groupe ni sur ses sous-groupes. En effet tout groupe peut ˆetre vu comme un sous-groupe deS_n de sorte que si Gest un groupe ab´elien fini n´ecessitant r g´en´erateurs, il est un sous-groupe d’un groupe ne n´ecessitant que deux g´en´erateurs.

Proposition 2.2. — Pour n≥3, A_n est engendr´e par les 3-cycles.

Application : : pour n≥5,A_n est simple. Comme tous les 3 cycles sont conjugu´es dans A_n, il suffit de montrer que tout sous-groupe distingu´e deA_n contient un 3-cycle.

2.2. Le groupe lin´eaire. — SL_n(K) est engendr´ee par les transvections ´el´ementaires re- lativement `a la base canonique

Remarque : les matrices de permutation ne sont pas utiles puisqu’elles s’obtiennent `a partir des matrices de transvections. Pour les faire entrer dans le jeu :

– pour M ∈M_p,n(K) de rangr >0, alors il existeQ∈SL_n(K) (qui est donc produit des T_i,j(λ) et σ ∈ S_n tels que QM P_σ =

µ I_r⁰ A

0 0

¶

o`u P<sub>σ</sub> est la matrice de permutation associ´ee `a σ et I_r⁰ = I_r si r < p et I_r⁰ = diag(1,· · ·,1, α) (la matrice de permutation sert `a permuter les colonnes quand on moment de pivoter sur cette colonne celle-ci est combinaison lin´eaire des pr´ec´edentes). Si on ne s’autorise pas `a pivoter les colonnes on obtient une matrice ´echelonn´ee cf. plus loin

– d´ecomposition de Bruhat : T(n,C)\GL(n,C)/T(n,C) ' S_n o`u T(n,C) d´esigne l’en- semble des matrices triangulaires sup´erieures. On interpr`ete ce r´esultat en termes de dra- peaux : l’ensemble des classes de paires de drapeaux complets sous l’action deGL(n,C), est en bijection avecS_n.

– soit M un ´el´ement de GL_n(K), alors M D_n(detM⁻¹) est un produit de transvections

´el´ementaires (moins den²) relativement `a la base canonique

– si on autorise toutes les transvections et pas seulement les T_i,j(λ) alors pour 1_E 6= f ∈ SL(E) qui n’est pas une affinit´e (resp. une affinit´e) alorsf est produit de r (resp.r+ 1) transvections avecr =n−dim_KKer(f−1_V) et que ce nombre est minimal.

Sous-groupes libres de GL₂(R) : soienta, b≥2 des r´eels :A=

µ 1 a 0 1

¶

etB =

µ 1 0 b 1

¶ . Le groupe L_a,b engendr´e par A et B est libre et discret dans SL₂(R). Si aest transcendant alorsL_a,a est libre de rang 2 alors queL_1,1 ne l’est pas.

Remarque :en affine, on rappelle que le groupe affine est le produit semi-direct du sous-groupe des translations par le groupe lin´eaire que l’on voit comme le sous-groupe fixant un pointO.

2.3. Le groupe orthogonal. — Les r´eflexions par rapport `a un hyperplan (resp. les ren- versements) engendrentO(n) (resp.SO(n) pour n≥3). Plus pr´ecis´ement

– soit u ∈ O(n) et F_u = {x ∈ E / u(x) = x}; on note p_u = n−dimF_u. Alors u peut s’´ecrire comme le produit de p_u r´eflexions et pas moins ;

– pour n≥3, tout ´el´ement de SO(n) est produit d’au plusn renversements.

– Pour n= 2, SO(2,R)'R/Z et ne poss`ede pas de classe g´en´eratrice particuli`ere ; signa- lons que le groupe Q/Z´etudi´e plus haut est le groupe de torsion de SO(2,R).

Remarque : soient u₁ et u₂ deux sym´etries orthogonales de mˆeme nature (i.e. tels que dim Ker(u₁−Id) = dim Ker(u₂−Id)) ; alorsu₁ etu₂ sont conjugu´ees par SO(n). On obtient ainsi une strat´egie pour montrer la simplicit´e desSO(n) pourn≥3 : il suffit de montrer que tout sous-groupe distingu´e contient un renversement.

Remarque : la composition de deux rotations de R³ peut se calculer assez simplement en utilisant les quaternions :

Remarque : en affine il faut absolument savoir jouer avec les isom´etries en dimension 2 et 3.

Groupes cristallographiques : ca concerne les pavages p´eriodiques, la description des groupes cristallographiques de l’espace euclidien Rⁿ est r´egl´e par les th´eor`emes suivants dus `aBie- berbach:

– le sous-groupe Γ⁰ des translation d’un groupe cristallographique Γ de l’espace euclidien Rⁿ est d’indice fini engendr´e et isomorphe `a Zⁿ;

– tout isomorphisme de groupes abstraits entre deux groupes cristallographiques est de la formeφ(g) =h◦g◦h⁻¹ o`uh est une bijection affine de Rⁿ;

– il n’existe qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de groupes cristallographiques (17 en dimension 2, 219 en dimension 3, un meilleure compr´ehension de la table est toujours un sujet d’actualit´e.

Remarque : une rotation d’angleαtelα/π 6∈Q, engendre un sous-groupe dense deSO(2,R).

En ce qui concerneSO(3,R) citons le r´esultat suivant.

Proposition 2.3. — Une rotation de SO(3) sera not´ee par r = (k, θ) o`u k est le vecteur unitaire de l’axe de la rotation etθson angle. Soient alorsr= (OA,2α)ets= (OB,2β) deux rotations telles que ^α_π et ^β_π soient irrationnels. Except´e une infinit´e d´enombrable de valeurs pour la mesure cde l’angle entre les axes OA etOB, le groupe engendr´e parr et sest dense dansSO(3).

Preuve : Si P₃ est le plan OAB et P₂ = (OA,−α)(P₃) alors r s’´ecrit comme le produit des r´eflexions par rapport aux plans P₂ et P₃. De mˆeme s est le produit de P₁ et P₂ o`u P₁ = (OB, β)(P₃).

Afin d’approcher une rotation (k,2θ), on approche son axe puis son angle. Pour approcher R.k, on approche les plans qu’il d´etermine avec OA, et OB. D’apr`es le th´eor`eme de Jacobi- Kronecker, ils sont respectivement approch´es parP₂⁰ = (OA,−pα)(P₃) et P₁⁰ = (OB, qβ)(P₃) sip etq sont des entiers ad´equats. AinsiRk⁰ =P₁⁰ ∩P₂⁰ approcheRk.

Puisque r^p = (OA,2pα)) = (P₃)(P₂⁰) et s^q = (OB,2qβ) = (P₁⁰)(P₃), on a s^qr^p = (P₁⁰)(P₂⁰) dont la mesure 2γ⁰ de l’angle est donn´ee par la formule fondamentale de la trigonom´etrie sph´erique

cosγ⁰ = sin(pα) sin(qβ) cosc−cos(pα) cos(qβ)

On cherche ^γ_π⁰ irrationnel ; la formule pr´ec´edente montre que sip etq d´ecrivent les entiers et si ^γ_π⁰ d´ecrit les rationnels, cosc ne prend qu’une infinit´e d´enombrable de valeurs. On choisit alorsc pour que cosc n’appartienne pas `a cet ensemble de valeurs. Il en r´esulte alors que ^γ_π⁰

est irrationnel pour tout p, q. Le th´eor`eme de Jacobi-Kronecker montre alors que l’on peut choisirnpour que 2nγ⁰ approche 2θde sorte que (s^qr^p)ⁿ approche (k,2θ).

2.4. Le groupe unitaire. — Les matrices de Householder qui sont hermitiennes et uni- taires (cf. M-T p.186) avec en application :

– ce sont exactement les matrices de U(n) qui sont hermitiennes de signature (n−1,1) ; – toute matrice de SU(n) est un produit pair de matrices de Householder ;

– le sous-groupe deU(n) engendr´e par les matrices hermitiennes deU(n) est le sous-groupe de U(n) constitu´e des matrices de d´eterminant±1 ;

Une matrice M = [m_i,j]∈ M_n(K) est dite de Hessenberg si m_j,k = 0 pour tout (j, k) tel quej−k≥2. Le premier r´esultat est alors

Proposition 2.4. — (cf. [?] 10.1.1) Pour tout M ∈ M_n(C), il existe une matrice unitaire U ∈ GL_n(C) telle que U⁻¹M U est de Hessenberg ; si M est r´eelle on peut alors prendre U ∈O_n.

Preuve : On va construite une suite M₁ = M, M₂,· · ·, M_n−1 de matrices unitairement semblables telles queM_n−r est de la forme

µ H Z⁰ B O_r,n−r−1 Z N

¶

avec (HZ⁰)∈M_n−r(C) de Hessenberg etZ ∈C^r. On passe deM_n−r `a M<sub>n−r+1</sub> de la fa¸con suivante : siZ est colin´eaire au premier vecteure<sup>1</sup> de la base canonique deC<sup>r</sup> alors il n’y a rien `a faire, sinon soitX∈C^r unitaire tel que SZ est colin´eaire `a e<sup>1</sup> o`u S = I_m −2XX^∗ est la matrice unitaire de la sym´etrie par rapport `a l’hyperplanX<sup>⊥</sup> :SX=−X et pourY ∈X<sup>⊥</sup> i.e.X<sup>∗</sup>Y = 0,SY =Y. On consid`ere alors la matrice de Householder, cf.§??,V =

µ I_n−r 0_n−r,r 0_r,n−r S

¶

et on pose M_n−r+1 =V⁻¹M_n−rV =

µ H Z⁰ BS 0_n,n−r−1 SZ SN S

¶

qui est bien de la forme demand´ee.

Remarques :

– la d´etermination de U est algorithmique et n´ecessite 5n³/3 +O(n²) multiplications et 4n³/3 +O(n²) additions.

– Si M est hermitienne alorsA=U⁻¹M U es tridiagonale avec a_j,j+1=a_j+1,j eta_j,j ∈R.

La complexit´e est alors de 2n³/3 +O(n²) multiplications. ´Ecrivons

A=









m ¯a 0 · · · 0 a

0 A₁ ... 0









et notons χ_A0, χ_A1 les polynˆomes caract´eristiques respectifs de A et A₁ : ce sont bien sˆur des ´el´ements de R[X] car les racines d’une matrice hermitienne sont r´eelles. En d´eveloppant par rapport `a la premi`ere colonne, on obtient alors

χ_A(X) =mχ_A1(X)− |a|²χ_A2(X)

o`u A<sub>2</sub> est la matrice extraite deA<sub>1</sub> constitu´ee de ses n−2 derni`eres lignes et colonnes.

On remarque alors que la suite (χ_Aj(X))_{0≤j≤n−1}est une suite de Sturm ce qui permet de calculer le nombre de racines de χ_A0(X) dans un intervalle [a, b]⊂Rquelconque. Il est

ainsi possible de calculer de mani`ere approch´ee les valeurs propres deA par dichotomie en calculantV(a),V(b),V(^a+b₂ ),· · ·.

– SoitM de Hessenberg etT triangulaire sup´erieure alorsT M etM T sont de Hessenberg.

Ainsi si M = QR est sa factorisation QR, Q = M R⁻¹ est aussi de Hessenberg. Cette remarque est utilis´ee dans la m´ethode QR de localisation des valeurs propres, cf.§??.

2.5. Le groupe circulaire. — Dans le plan compactifi´e (sph`ere de Riemann) : groupe qui conserve les droite-cercles : il est engendr´e par les inversions : c’est soit une homographie (conserve le bi-rapport) soit homographie de la conjugaison complexe

3. Pr´esentation d’un groupe par g´en´erateurs et relations

3.1. D´efinition. — Soit S={a_i; i∈I} un ensemble etT =S× {−1,1}: pour a∈S, on notea¹ ∈T pour (a,1)∈T et a⁻¹ = (a,−1). Un mot d’alphabet S est alors un ´el´ement de E =S

n∈NTⁿ que l’on note sous la forme M =a^²₁¹· · ·a^²_nⁿ avec a_i ∈S et ²_i =±1 ; il sera dit r´eduit si pour touti= 1,· · ·, n−1, (a^²_iⁱ, a^²_i+1ⁱ⁺¹) n’est pas de la forme (a¹, a⁻¹) ou (a⁻¹, a¹). On munitE d’une structure de mono¨ıde par concat´enation. Soit alors F(S) l’ensemble des mots r´eduits d’alphabetS; en supprimant les occurencesa¹a⁻¹ eta⁻¹a¹ dans la concat´enation des mots, on munit F(S) d’une structure de groupe d’´el´ement neutre est le mot vide : c’est le groupe libre construit surS.

Pour R = (r_j)_j∈J un ensemble de mots r´eduits de F(S), on note N(R) le plus petit sous- groupe distingu´e deF(S) contenant les r_j. Le groupe F(S)/N(R) est alors appel´ele groupe pr´esent´e par les g´en´erateurs S et soumis aux relations R. On le note aussi sous la forme

<(a_i)_i∈I |(r_j)_j∈J >.

Exemples simples :< a₁ >'Z,< a₁ |aⁿ₁ >'Z/nZ,< r, s|rⁿ, s², (sr)² >'D_n.

3.2. Cas des groupes sym´etriques et altern´es. — SoitG_nle groupe engendr´ex₁,· · · , x_n−1 et soumis aux relations :

x²_i = 1 1≤i≤n−1 (x_ix_i+1)³= 1 2≤i≤n−2

(x_ix_j)² = 1 |i−j|>1.

Pour n = 2 on a d´ej`a vu que G₂ ' Z/2Z ' S₂. On suppose donc n ≥ 3 et soit H le sous-groupe deGengendr´e par x₁,· · · , x_n−2.

Lemme 3.1. — On aG=H∪Hx_n−1∪ · · · ∪Hx_n−1.· · ·.x₂.x₁.

Preuve : NotonsK=H∪Hx_n−1∪ · · · ∪Hx_n−1.· · · .x₂.x₁. Il suffit alors de montrer queK est un sous-groupe deG.

Proposition 3.2. — Pour tout 1 ≤ i ≤ n−1, soit a_i = (i, i+ 1) la transposition de S_n. Alors l’application< x₁,· · · , x_n−1 >→S_n qui `a x_i associe a_i, induit une bijection de G sur S_n.

Preuve : CommeS_n est engendr´e par les transpositionsa_i pour 1≤i≤n−1, l’application de l’´enonc´e est surjective. En outre comme lesa_i∈S_n v´erifient les relations suivantes :

a²_i = 1 1≤i≤n−1 (a_ia_i+1)³= 1 2≤i≤n−2

(a_ia_j)² = 1 |i−j|>1

l’application de l’´enonc´e se factorise parG. On va alors raisonner par r´ecurrence sur n.

Soit G⁰_n le groupe engendr´e par les g´en´erateursx₁,· · ·x_n−2 soumis aux relations : x³₁ =x²_i = 1 2≤i≤n−2

(x_ix_i+1)³= 1 1≤i≤n−3 (x_ix_j)² = 1 |i−j|>1.

Pourn= 3, on a d´ej`a vu queG⁰₃ 'Z/3Z' A₃. Supposons doncn≥4. SoitH le sous-groupe deG engendr´e parx₁,· · ·x_n−3.

Lemme 3.3. — On a

G⁰_n=H∪Hx_n−2∪ · · · ∪Hx_n−2.· · ·x₂.x₁∪Hx_n−2.· · · .x₂.x²₁

Preuve : NotonsK =H∪Hx_n−2∪ · · · ∪Hx_n−2.· · ·x₂.x₁∪Hx_n−2.· · · .x₂.x²₁. Il suffit donc de montrer queK est un sous-groupe deG⁰_n.

Proposition 3.4. — Soient a₁ = (1,2,3) et a_i = (1,2)(i+ 1, i+ 2) pour 2 ≤ i ≤ n−2 les permutations de A_n. L’application < x₁,· · · , x_n−2 >→ A_n qui `a x_i associe a_i, induit un isomorphismeG⁰_n' A_n.

Preuve : CommeA_n est engendr´e par a₁,· · · , a_n−2, l’application de l’´enonc´e est surjective.

Par ailleurs comme lesa_i v´erifient les relations suivantes : a³₁ =a²_i = 1 2≤i≤n−2 (a_ia_i+1)³= 1 1≤i≤n−3

(a_ia_j)² = 1 |i−j|>1

l’application se factorise parG⁰_n. On raisonne alors par r´ecurrence surn.

3.3. Groupes de Coxeter. — C’est un groupe ayant une pr´esentation du type< r₁,· · · , r_n|(r_ir_j)^mi,j >

o`u (m<sub>i,j</sub>)<sub>1≤i,j≤n</sub> est une matrice sym´etrique `a valeurs dans N∪ {∞} avec m_i,i = 1 (i.e. les g´en´erateurs sont d’ordre 2) etm_i,j ≥2 pouri6=j: la condition (rir_j)^∞signifie par convention qu’aucune relation n’est impos´ee entrer_i etr_j.

3.4. Lemme du ping-pong. — Soit G un groupe op´erant sur un ensemble X et soient H, H⁰ deux sous-groupes de G. On suppose qu’il existe deux parties non vides X, X⁰ de X telles que

hX⁰ ⊂X sih∈H\1 eth⁰X⊂X⁰ sih⁰ ∈H⁰\1

Alors siH⁰ n’est pas r´eduit `a 2 ´el´ements etX⁰ *X alors le morphisme canoniqueH∗H⁰ →<

H, H⁰> est un isomorphisme. (applications `aP SL₂(R) =Z/3Z∗Z/2Z

Preuve : On suppose H 6= 1, consid´erons d’abord un produit impair p = h₀h⁰₁h₁· · ·h⁰_kh_k avech_i∈H− {1} eth⁰_i ∈H⁰− {1}. Sip= 1 on a

X⁰=h₀h⁰₁h₁· · ·h⁰_kh_kX⁰⊂h₀h⁰₁h₁· · ·h⁰_kX⊂ · · · ⊂h₀X⁰ ⊂X

ce qui n’est pas. Pour un produit impair du styleh⁰₀h₁h⁰₁· · ·h_kh⁰_kle raisonnement est similaire.

Pour un produit pair p=h₁h⁰₁· · ·h_kh⁰_k, choisissons h⁰ ∈H⁰− {1, h⁰_k} de sorte que h⁰p(h⁰)⁻¹=h⁰h₁h⁰₁· · ·h_k(h(_k(h()⁻¹)

est un produit impair comme plus haut et donc p6= 1. Le cas p=h⁰₁h₁· · ·h⁰_kh_k se traite de la mˆeme fa¸con.

Applications : dansSL₂(Z) on note T =

µ 1 1 0 1

¶

, S=

µ 0 −1

1 0

¶

– consid´erons l’application de Z/2 Zm∗Z/3Z qui `a (1,0) associe S et `a (0,1) T⁻¹S : comme S² = (ST)³ ce morphisme est bien d´efini, pour montrer qu’il s’agit d’un iso- morphisme il suffit de montrer que tout mot en X = S et Y = T⁻¹S de la forme X^e1Y^f1X^e2Y^f2· · ·X^erY^fr avec e₁ = 0,1, e_i = 1, 0 < f_i < 3 et 0 ≤ f_r ≤ 2. Il suffit de v´erifier que l’image de i est distincte de i ce qui permet de se ramener au cas o`u le mot est un produit de XY etXY<sup>2</sup>. Or on v´erifie ais´ement queXY etXY<sup>2</sup> conserve le deuxi`eme cadran et font baisser l’ordonn´ee, d’o`u le r´esultat.

Remarque : on peut aussi joueur au ping pong avec X=R_>0`

∞ etX⁰=R_≤0. – on note Γ(2) le noyau de SL₂(Z)³SL₂(Z/2Z) et soitA=

µ 1 2 0 1

¶

etB =

µ 1 0 2 1

¶ . En consid´erant l’action deSL₂(Z) surP¹(R) et en jouant au ”ping-pong” avec les parties P_A=]−1,1[ etP_B=P_A^c, on montre que Γ(2) est le groupe libre engendr´e par AetB.

4. Applications

4.1. Sous-groupes paradoxaux et paradoxe de Banach-Tarski. — On consid`ere les deux rotations vectorielles deR³,u, vdont les matrices dans la base canonique sont

U =



 0 1 0

1 0 0

0 0 −1



 etV =





1 0 0

0 −1/2 √

3/2 0 −√

3/2 −1/2





SoitGle groupe engendr´e par u etv.

Proposition 4.1. — Tout ´el´ement r ∈ G\{Id, u} s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme r=u^²1vⁿ¹uvⁿ²u· · ·uv^nku^²2 avec ²₁, ²₂ ∈ {0,1} et les n_i ∈ {1,2}.

Preuve :

On d´efinit une partition (I, J, K) de Gde la mani`ere suivante – pour tout n, (v²u)ⁿ∈I;

– pour tout n,u(v²u)ⁿ∈J; – pour tout n,vu(v²u)ⁿ∈K;

– les ´el´ements de Gqui ne sont pas de cette forme appartiennent `aI, J, K respectivement suivant que leur ´ecriture commence `a gauche par u, v, v² respectivement.

Lemme 4.2. — On aK =vJ,I =vK et I =u(J∪K).

Preuve :

Deux partiesAetB de l’espace euclidienR³sont dites superposables et on noteraADB, s’il existe un d´eplacementr de R³ tel que B=r(A) ; on d´efinit ainsi une relation d’´equivalence.

SoitS la sph`ere unit´e deR³; on pose

D={x∈S /∃r ∈G\{Id}, r(x) =x}

Lemme 4.3. — L’ensembleD est d´enombrable et est stable par G.

Les orbites de S\D sous l’action de G, constituent une partition de S\D. En utilisant l’axiome du choix, on construit un ensembleT contenant un ´el´ement de chaque orbite.

Lemme 4.4. — En posantA=I(T),B =J(T)etC =K(T), on obtient une partition finie (A, B, C, D) de S avec D d´enombrable, A, B, C superposables et AD(B∪C).

Remarque : en quelque sorte, A est `a la fois la moiti´e et le tiers de la sph`ere.

On appelle d´ecoupage d’une partieAdeR³, une partition finie (A_i)_1≤i≤ndeA. On dira que deux parties A, B de R³ sont puzzle-´equivalentes s’il existe une entier n et des d´ecoupages (A_i)_1≤i≤n et (B_i)_1≤i≤n tels que pour tout 1 ≤ i ≤ n, A_i et B_i sont superposables ; on d´efinit ainsi une relation d’´equivalence que l’on notera P. Soient S₁ et S₂ deux sph`eres dis- jointes de rayon 1, de centres respectifs O₁, O₂ et soient (A₁, B₁, C₁, D₁) et (A₂, B₂, C₂, D₂) les d´ecoupages obtenus en translatant (A, B, C, D).

Lemme 4.5. — On a(S\D)P((S₁\D₁)∪(S₂\D₂)).

On cherche `a ´eliminer les ensembles d´enombrables dans la duplication de la sph`ere ci- dessus. On veut prouver le r´esultat suivant : si Σ est une sph`ere et ∆ est un sous-ensemble d´enombrable de Σ, alors

ΣP(Σ\∆)

Pour cela on peut choisir δ ∈Σ tel que ±δ 6∈ ∆ de sorte que l’ensemble des rotations d’axe (O, δ) v´erifiant qu’il existen∈N\{0},x, y∈∆ tels querⁿ(x) =yest d´enombrable. Soit alors ρune rotation n’appartenant pas `a cet ensemble, de sorte que les ensemblesρⁿ(∆) sont deux

`a deux disjoints. En consid´erantU =S

n≥0ρⁿ(∆), on obtient le r´esultat.

On veut d´esormais dupliquer les boules ferm´ees ; on a

(K\{O})P((K₁\{O₁})∪(K₂\{O₂}))

de sorte qu’en consid´erant ∆ = {(cosn,sinn,0), n ∈ N}, la rotation d’axe z et d’angle 1 radian envoie ∆ sur ∆\{(1,0,0)} et ainsi

KPK\{(1,0,0)}

ce qui permet la duplication des boules.

Remarque : De mani`ere plus g´en´erale, on peut montrer le th´eor`eme suivant

Th´eor`eme 4.6. — (Banach-Tarski) SiAetBsont deux parties deR³born´ees et d’int´erieurs non vides, alorsA etB sont puzzle-´equivalentes.

4.2. S´eries thˆeta et formes modulaires. — Dans la preuve de l’´equation fonctionnelle de la fonction z´eta de Riemann, on utilise la fonction thˆeta usuelle

θ(z) =X

n∈Z

e^iπn2z

pourz=iy,y >0. Celle-ci d´efinit une fonction holomorphe sur le demi-plan de Poincar´e ; la formule sommatoire de Poisson donne par prolongement analytique l’´equation fonctionnelle

θ(−1

z) = (−iz)^1/2θ(z)

o`u (−iz)^1/2est donn´e par la branche de la fonction surHqui envoieiysur√

y. Cette relation jointe `a la relation ´evidente θ(z+ 2) = θ(z) donne une r`egle de transformation pour f(γz) pour toutγ ∈< T², S >⊂ P SL₂(Z) agissant sur H par homographies. De mˆeme pour tout k≥1, θ(z)^k satisfait `a des formules de transformation analogues. Par ailleurs les ´egalit´es

θ(z)^k=X

n≥0

r_k(n)e^iπnz

o`u r<sub>k</sub>(n) d´esigne le nombre de repr´esentations de n comme somme de k carr´es d’entiers, justifient `a elles seules, l’acharnement qu’ont subies ces s´eries. En particulier, on peut montrer les identit´es suivantes :

r₂(n) = 4P

d|nχ₄(d) r₄(n) = 8(3 + (−1)ⁿ)P

d|nd r₆(n) = 16P

d|nd²χ₄(ⁿ_d)−4P

d|nd²χ₄(d)

avec χ₄(n) =d₁(n)−d₃(n) o`u d₁(m) (resp.d₃(m)) est le nombre de diviseur d≡1 mod 4 (resp.d≡3 mod 4) de n. Plus g´en´eralement une fonctionf est diteelliptique par rapport

`a un r´eseau Λ si c’est une fonction m´eromorphe surCqui est Λ-p´eriodique, i.e.

f(z+ω) =f(z) pour toutz∈Cet tout ω∈Λ.

Remarque : f est Λ-p´eriodique si et seulement si f(z+ω₁) = f(z) = f(z+ω₂) pour tout z∈Cavec Λ =Zω₁⊕Zω₂. Par ailleurs sif n’a pas de poles, montrer que f est constante.

SoitF une fonction sur l’ensembleRdes r´eseaux deC`a valeurs complexes de poidsk∈Z, i.e. telle queF(λΓ) =λ^−2kF(Γ) pour tout r´eseau Γ∈ Ret tout λ∈C^×. La formule

F(Zω₁⊕Zω₂) =ω₂^−2kf(ω₁ ω₂)

d´efinit une fonction modulaire f de poids 2k et de niveau 1, i.e. f_|2kA = f pour tout A ∈ SL₂(Z), o`u

f_{|2k A} = (cz+d)^−kf(az+b

cz+d) A=

µ a b c d

¶ .

Remarque : l’´etude des formes modulaires et plus g´en´eralement des formes automorphes est intimement li´ee `a l’´etude des courbes elliptiques, `a la g´eom´etrie des vari´et´es de Shimura et aux repr´esentations galoisiennes via la philosophie de Langlands sur les fonctionsL qui leurs sont associ´ees.

4.3. Analyse harmonique. —

5. D´eveloppements – g´en´eration du SL_n par les transvections [1]

– simplicit´e de SO₃ [1]

– g´en´eration du groupe circulaire ou P SL₂(Z) – g´en´eration du groupe altern´e ou sym´etrique [1]

– groupes libres un exemple

6. Questions

Exercice 6.1. — Soit u ∈O(q) et F_u ={x ∈ E / u(x) =x} et on note p_u = n−dimF_u. Montrez par r´ecurrence sur p_u, que u est le produit d’au plus p_u r´eflexions. Montrez ensuite queu est le produit d’au moins p_u r´eflexions.

Exercice 6.2. — Montrez que pour n ≥ 3, tout ´el´ement de O⁺(q) est produit d’au plus n renversements.

Exercice 6.3. — Soient u₁ etu₂ deux sym´etries orthogonales de mˆeme nature (i.e. tels que dim Ker(u₁−Id) = dim Ker(u₂−Id)). Montrez que u₁ et u₂ sont conjugu´ees par O⁺(q). En d´eduire alors queD(O(q)) =D(O⁺(q)) =O⁺(q).

Exercice 6.4. — Montrez que pour tout u∈O(q), il existe une d´ecomposition orthogonale E = Ker(u−Id)⊕Ker(u+Id)⊕P₁⊕ · · · ⊕P_r

o`u les P_i sont des plans stables par u, tels que la restriction de u y soit une rotation.

Exercice 6.5. — (M-T p.187) Les matrices de Householder sont exactement les matrices de U(n) qui sont hermitiennes de signature(n−1,1).

Exercice 6.6. — (a) Montrer que le sous-espace vectoriel engendr´e par le cˆone nilpotent est l’hyperplan des matrices de trace nulle.

(b) Montrer que le sous-espace vectoriel engendr´e par les matrices nilpotentes de rang1est le mˆeme hyperplan.

(c) En d´eduire que le sous-espace vectoriel engendr´e par les matrices d’une classe de simi- litude quelconque de matrices nilpotentes est l’hyperplan des matrices de trace nulle.

Exercice 6.7. — Une rotation deSO(3)sera not´ee parr= (k, θ)o`ukest le vecteur unitaire de l’axe de la rotation etθson angle. Soient alorsr= (OA,2α)ets= (OB,2β)deux rotations telles que ^α_π et ^β_π soient irrationnels. Montrez que si l’on except´e une infinit´e d´enombrable de valeurs pour la mesure c de l’angle entre les axes OA et OB, le groupe engendr´e par r et s est dense dans SO(3).

7. Solutions

6.1 On raisonne par r´ecurrence sur p_u, le cas p_u = 0 correspondant `a u = Id. Supposons doncp_u > 0 et soit x ∈ F_u^⊥ non nul et soit y = u(x) 6=x car x 6∈ F_u; on a y ∈ F_u^⊥ car F_u

´etant stable paru,F_u^⊥ l’est aussi. De plus comme x ety on mˆeme norme, on en d´eduit que (x−y, x+y) = 0 (triangle isoc`ele). On consid`ere alors la r´eflexion τ d´efinie par x−y de sorte queτ(x−y) =y−x etτ(x+y) =x+y soit doncτ(y) =x avec τ_|Fu=Id. Ainsi on a F_u ⊂F_τ◦u ce dernier contenantx de sorte que p_τ◦u < p_u et on conclut par r´ecurrence.