108 - Exemples de parties g´ en´ eratrices d’un groupe.

108 - Exemples de parties g´ en´ eratrices d’un groupe.

Applications.

Version raisonnable

1 G´ en´ eralit´ es

D´efinition 1.1. SoitGun groupe etP ⊂Gune partie. Le sous-groupe deGengendr´e par P est le plus petit sous-groupe (au sens de l’inclusion) de G contenant P. On le notehPi.

Remarque 1.2. Ce sous-groupe est bien d´efini, et il est unique. On dispose en effet de deux caract´erisations de hPi :

1. une description interne :

hPi={g₁^ε1. . . g_r^εr :g_i ∈P, ε_i=±1,∀i}. 2. une description externe :

hPi= \ H < G P ⊂H

H .

Exemples :

— Le sous-groupe de G engendr´e par l’ensemble vide est le sous-groupe r´eduit `a l’´el´ement neutre.

— Si H < Gest un sous-groupe, alors hHi=H.

— Si G =Z, on a h{1}i =h{−1}i=Z, h{2}i= 2Z est le sous-groupe des entiers pairs, eth{2; 3}i=Z.

D´efinition 1.3. Soit G un groupe. Le sous-groupe d´eriv´e de G, not´e D(G), est le sous-groupe de G engendr´e par les commutateurs de G, i.e. les ´el´ements de la forme [g, h] :=g·h·g⁻¹·h⁻¹.

Proposition 1.4. Le sous-groupe G(G)< G est distingu´e, et G^ab :=G/D(G) est le plus grand quotient ab´elien de G, au sens suivant : pour tout groupe ab´elien A muni d’un morphisme ϕ : G → A, il existe un unique morphisme ϕ : G^ab → A tel que ϕ=ϕ◦π, o`uπ :G→G^ab est la surjection canonique.

D´efinition 1.5. On dit qu’une partie P ⊂Gest g´en´eratrice si hPi=G.

Exemples :

— Gest une partie g´en´eratrice deG.

— L’ensemble des commutateurs est une partie g´en´eratrice deD(G).

— {1} et{2; 3}sont des parties g´en´eratrices deZ.

— Une partie g´en´eratrice du groupe sous-jacent `a un espace vectoriel est une famille g´en´eratrice de cet espace.

— SoitGun groupe fini, etple plus petit facteur premier de|G|. Alors toute partie de cardinal> ^|G|_p est g´en´eratrice.

D´efinition 1.6. Un groupe G est dit de type fini s’il admet une partie g´en´eratrice finie.

Exemples :

— Un groupe fini est de type fini.

— Pour tout n∈N,Zⁿ est de type fini.

— Tout quotient d’un groupe de type fini est de type fini.

— SoitH / G un sous-groupe distingu´e. SiH etG/H sont de type fini, alors Gest de type fini.

— QetR ne sont pas de type fini.

2 Groupes ab´ eliens

2.1 Groupes monog`enes

D´efinition 2.1. Un groupeGest dit monog`ene s’il est engendr´e par un seul ´el´ement.

Un groupe cyclique est un groupe monog`ene fini.

Exemples :

— ZetZ/nZ sont monog`enes.

— Un groupe d’ordre premier est cyclique.

— Z² n’est pas monog`ene.

Lemme 2.2. Soit Gun groupe et H un sous-groupe du centre Z(G) de G.

Si G/H est monog`ene, alorsG est ab´elien.

Corollaire 2.3. Soit p un nombre premier. Tout groupe d’ordre p² est ab´elien.

Proposition 2.4. Soit G un groupe monog`ene, muni d’un g´en´erateur g<sub>0</sub>. 1. Si g0 est d’ordre fini (´egal `a n), alors G est isomorphe `a Z/nZ.

2. Si g0 n’est pas d’ordre fini, alorsG est isomorphe `a Z.

Autrement dit, les groupes monog`enes sont exactement lesZ/nZ et le groupeZ. Proposition 2.5. Le groupe cyclique Z/nZ admet exactement ϕ(n) g´en´erateurs. Ces g´en´erateurs sont exactement les ´el´ementsk∈Z/nZ(aveck∈Z) tels quekest premier avec n.

Un exemple fondamental de groupe cyclique est le suivant : 1

Th´eor`eme 2.6. ?

Soit K un corps etG <(K^×,·) un sous-groupe fini.

Alors G est cyclique.

En particulier, si Fq est un corps fini de cardinal q, alorsF^×q est cyclique.

Application : le probl`eme du logarithme discret. Soit G un groupe cyclique, donn´e avec un g´en´erateur g<sub>0</sub>. Pour un ´el´ement g ∈ G, le probl`eme du logarithme discret consiste `a trouver un entier n tel que g =g<sup>n</sup><sub>0</sub>. Si G= (Z/pZ)<sup>×</sup>, avec p premier assez grand, on ne dispose pas d’algorithme tr`es efficace pour r´esoudre ce probl`eme.

C’est utilis´e en pratique dans les deux protocoles suivants (p etg₀ sont publics) :

— Diffie-Hellman : Alice et Bob souhaitent partager un secret. Pour cela, ils choi- sissent chacun un entier secretaetb, puis ils ´echangent g^a₀ etg₀^b. Alors Alice et Bob disposent de l’´el´ement secret commun g^ab₀ . Un espion disposant de g₀, g₀^a, g₀^b peut retrouver le secret commun s’il sait r´esoudre le probl`eme du logarithme discret et donc calculeraou b.

— ElGamal : Alice souhaite envoyer un message secret m ∈ G `a Bob. Alice et Bob choisissent des entiersaet bsecr`etement, et publientg^a₀ etg₀^b. Alice envoie m·(g^b₀)^a = m·g^ab₀ . Pour d´ecoder, Bob multiplie ce qu’il a re¸cu par (g₀^a)^−b et peut lirem. De nouveau, un espion peut lirems’il sait r´esoudre le probl`eme du logarithme discret et calculer b`a partir de g0 etg₀^b.

2.2 Groupes ab´eliens de type fini

Th´eor`eme 2.7. ? Soit G un groupe ab´elien de type fini.

Il existe un unique r∈Net une unique suite d’entiers positifs (d₁, . . . , d_s)∈N^s tels que pour tout i, d_i|d_i+1 et

G−→^∼ Z^r×

s

Y

i=1

Z/diZ.

En particulier, tout groupe ab´elien de type fini est produit direct de groupes mo- nog`enes.

Corollaire 2.8. SoitGun groupe ab´elien de type fini. Soientr etsles entiers donn´es par le th´eor`eme 2.7. Alors le nombre minimal de g´en´erateurs de G est ´egal `a r+s.

Etudions maintenant le groupe (Z/nZ)´ ^×.

Th´eor`eme 2.9. ?? Soit p un nombre premier et n≥1.

1. Si p est impair, le groupe (Z/pⁿZ)^× est cyclique d’ordre pⁿ⁻¹·(p−1).

2. Sip= 2, le groupe (Z/2ⁿZ)^× est cyclique d’ordre2ⁿ⁻¹ sin≤2, il est isomorphe

`

a Z/2Z×Z/2ⁿ⁻²Z sin≥3.

Corollaire 2.10. Pour tout n≥1, le groupe (Z/nZ)^× est cyclique si et seulement si n= 1,2,4, p^m ou 2p^m, avec p premier impair.

2.3 Autres groupes ab´eliens

Th´eor`eme 2.11. SoitG <(R,+) un sous-groupe.

Alors G est dense ou monog`ene (i.e. de la forme Z·α, pour un α∈R).

Exemple : Soit x, y∈R, y6= 0. Alors le sous-groupe hx, yi =Z·x+Z·y est dense dansRsi et seulement si ^x_y ∈/Q.

Corollaire 2.12. ? On note U<(C^×,·) le groupe des nombres complexes de module 1. Soit G <(U,·).

Alors Gest dense ou il existe n∈Ntel que Gest le groupe cyclique Un des racines n-i`emes de l’unit´e.

Exemple : ?Soit α∈Retζ =e^2iπα.

— Siα ∈Q, alors le sous-groupehζide Uest cyclique, isomorphe `a U<sub>n</sub>, o`unest le d´enominateur d’une ´ecriture irr´eductible de α.

— Sinon, le sous-groupehζideUest dense. Mieux, il est ´equir´eparti au sens suivant : pour tout 0≤a < b≤2π,

n→+∞lim

{k∈J−n;nK:ζ^k∈[e^ia;e^ib]}

2n = b−a

2π .

3 Exemples de groupes non ab´ eliens

3.1 Groupe sym´etrique

Th´eor`eme 3.1. ? Le groupe S_n est engendr´e par : 1. les cycles.

2. les transpositions.

3. les transpositions (1i), 2≤i≤n.

4. les transpositions (i i+ 1),1≤i≤n−1.

5. la transposition (1 2) et le cycle (1 2. . . n).

Ce th´eor`eme permet notamment de d´efinir le morphisme signatureε:S_n→ {±1}.

Proposition 3.2. Soit P ⊂ S_n une partie form´ee de transpositions. Si hPi = S_n, alors|P| ≥n−1.

Corollaire 3.3. Soit K un corps, E, F des K-espaces vectoriels et f :Eⁿ→ F une application n-lin´eaire. Si f est altern´ee, alors f est antisym´etrique.

Une application g´eom´etrique :

Th´eor`eme 3.4. ? On se place dans un espace affine euclidien de dimension 3.

1. Le groupe des isom´etries d’un t´etra`edre r´egulier est isomorphe `a S₄.

2

2. Le groupe des isom´etries directes d’un cube ou d’un octa`edre est isomorphe `aS₄. Une application en th´eorie des groupes :

Th´eor`eme 3.5. ?? Pour tout n6= 6, tout automorphisme de S_n est int´erieur.

On rappelle queA_n:= ker(ε:S_n→ {±1}).

Th´eor`eme 3.6. Pour tout n≥1,

1. le groupe A_n est engendr´e par les 3-cycles.

2. si n≥5, les 3-cycles sont conjugu´es dans A_n.

Corollaire 3.7. Pour tout n≥1, D(Sn) =A_n, et si n≥5,D(An) =A_n. Une application importante :

Corollaire 3.8. ? Pour tout n≥3, n6= 4, le groupe A_n est simple.

3.2 Groupe lin´eaire Soit K un corps.

L’algorithme du pivot de Gauss assure le r´esultat suivant : Th´eor`eme 3.9. ?

1. Le groupe SLn(K) est engendr´e par les matrices de transvections In+λ·Ei,j :=











1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... . .. λ 0 0 0 . . . 1











, o`u Ei,j est la matrice dont tous les coefficients sont

nuls, sauf le coefficient d’indice(i, j) qui vaut 1; et λ∈K^× et1≤i < j ≤n.

2. Le groupeGLn(K) est engendr´e par les matrices de transvections et les matrices de dilatationsD_i(λ) :=I_n+(λ−1)·E_i,i= diag(1, . . . ,1, λ,1, . . . ,1), avecλ∈K^× et1≤i≤n.

Corollaire 3.10. Les groupes SLn(R), GLn(R)⁺, SLn(C) et GLn(C) sont connexes par arcs.

Corollaire 3.11 (Frobenius-Zolotarev). ? SoitK =Fq un corps fini `a q ´el´ements. Si a∈F^×_q, on note

a q

= 1 si a est un carr´e dans K et −1 sinon.

Alors pour tout A∈GLn(Fq),ε(A) =

det(A) q

.

Proposition 3.12. Si n ≥ 3 (resp. n ≥ 2), les matrices de transvections sont conjugu´ees dans SLn(K) (resp. GLn(K)).

Corollaire 3.13. 1. Si n >2 ou |K| 6= 2, alors D(GL_n(K)) = SL_n(K).

2. Si n >2 ou |K| 6= 2,3, alors D(SL_n(K)) = SL_n(K).

Th´eor`eme 3.14. ?? Si n >2 ou |K| 6= 2,3, alors PSLn(K) est simple.

3.3 Groupe orthogonal

On rappelle qu’une r´eflexion (resp. un renversement) dans l’espace euclidien Rⁿ est une sym´etrie orthogonale par rapport `a un hyperplan (resp. un sous-espace de dimensionn−2).

Th´eor`eme 3.15. ??

1. Pour tout n ≥ 2, le groupe O_n(R) est engendr´e par les r´eflexions. Plus pr´ecis´ement, tout ´el´ement de O_n(R) est produit d’au plus n r´eflexions.

2. Pour tout n ≥ 3, le groupe SO_n(R) est engendr´e par les renversements. Plus pr´ecis´ement, tout ´el´ement de SOn(R) est produit d’au plus nrenversements.

Corollaire 3.16. Pour tout n≥2, le groupe SO_n(R) est connexe par arcs.

Corollaire 3.17. Pour tout n≥2, D(O_n(R)) =SO_n(R) et si n≥3, D(SO_n(R)) = SOn(R).

Proposition 3.18. Pour toutn≥3, les retournements sont conjugu´es dansSO_n(R).

Th´eor`eme 3.19. ?? Le groupeSO₃(R) est simple.

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