Université de Rouen L2 Math/Info Année 2014-2015
Algèbre
Examen du 9 janvier 2015, durée 3h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT.
IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Questions de cours.
(a) Soient (G,·) et (H,∗) deux groupes. Donner la définition d’un morphisme de groupe f défini de (G,·) dans (H,∗). Montrer qu’un tel morphisme est injectif si et seulement si ker(f)={eG}, oùeG désigne l’élément neutre de (G,·).
(b) Donner la définition du support d’une permutation. Montrer que siσetτsont deux permuta- tions à supports disjoints alorsσ◦τ=τ◦σ.
(c) Donner un exemple de deux permutations qui ne commutent pas.
Exercice 1. Pour toutn∈N∗on définitun=(1+p
2)netvn=(1−p 2)n.
(a) Démontrer que pour tout n∈N∗ il existe un unique couple (an,bn)∈N2 vérifiant un=an+ bnp
2 etvn=an−bnp
2. [pour l’unicité on pourra utiliser, sans le démontrer, le fait quep 2∉Q] (b) Calculera2n−2b2n.
(c) Montrer quean etbnsont premiers entre eux.
Exercice 2. Soit Z[i]={a+i b,a,b ∈Z} considéré comme sous ensemble de C. Pour tout z∈Z[i]
s’écrivantz=a+i bavec (a,b)∈Z2on définitµ(z)=a2+b2.
(a) Montrer queZ[i] est un sous-anneau unitaire deC.Z[i] est-il un sous-corps deC? (b) Montrer que pour toutz1,z2éléments deZ[i] on aµ(z1z2)=µ(z1)µ(z2).
(c) Montrer quez∈Z[i] est inversible dansZ[i] si et seulement siµ(z)=1. En déduire l’ensemble des inversibles deZ[i].
(d) Montrer que 2 est réductible dans Z[i] (on pourra chercher a et b dansZtels que 2=(a+ i b)(a−i b)).
Le but est de démontrer queZ[i] est un anneau principal. Pour cela nous avons besoin de construire sur Z[i] une « division euclidienne » dans laquelle intervient la fonction µ. La question suivante aborde un exemple de calcul, le cas général est traité dans la question (f ).
(e) Soientz=4+5ietw=3−i. -i- Écrire la fraction z
w sous la forme z
w =u+i vavecu etvdansQ. -ii- Trouveru0etv0dansZtels que
|u−u0| ≤1
2 et |v−v0| ≤1
2 (| · |désigne la valeur absolue).
-iii- On pose q =u0+i v0 etr =z−w q. Expliciter tous les calculs et montrer que le couple (q,r) appartient àZ[i]×Z[i] et vérifiez=w q+r etµ(r)<µ(w).
(f ) Soientz∈Z[i] etw∈Z[i]\{0}, s’écrivant respectivementz=a+i betw=x+i yaveca,b,x,y∈Z (donc (x,y)6=(0, 0)).
-i- Montrer que z
w =u+i v avecu etvdansQ.
1 Tournez la page S.V.P.
-ii- Montrer qu’il existeu0etv0appartenant àZtels que
|u−u0| ≤1
2 et |v−v0| ≤1
2. (1)
-iii- Soient u0 et v0 dans Z vérifiant (1). On pose q =u0+i v0 et r =z−w q. Montrer que (q,r)∈Z[i]×Z[i] vérifie
(z=w q+r,
µ(r)<µ(w). (2)
(g) Le couple défini dans la question précédente est-il nécessairement unique ? [l’égalité 3=2× 2−1=2+1 peut aider.]
(h) Montrer queZ[i] est un anneau principal. SiI désigne un idéalZ[i] on pourra montrer l’exis- tence dew∈I tel queµ(w)=min{µ(z);z∈I,z6=0} et en s’inspirant de la preuve dans le cas de l’anneauZ(ou celui des polynômes) démontrer queI=wZ[i].
Exercice 3. Soitσla permutation deS10définie par σ=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 1 6 3 4 9 10 8 5 2
¶
(a) Déterminerσ−1.
(b) Décomposerσen produit de cycles à supports disjoints.
(c) Décomposerσen produit de transpositions.
(d) Calculer la signature deσet son ordre.
(e) Calculerσ2015.
(f ) Siτdésigne la permutationτ=(2 3)(4 5)(3 10)(6 7)(8 9)(1 2) calculerσ−1τσ. Exercice 4. Décomposer dansR[X] la fraction rationnelle
F=2X4−X3+2X2−5X+1 X3−2X2 .
Exercice 5. Montrer les divisibilités suivantes
(a) pour toutn≥2 le polynômeX2divise le polynôme (X+1)n−nX−1.
(b) pour toutn≥1 le polynôme (X−1)3divise le polynômenXn+2−(n+2)Xn+1+(n+2)X−n.
2
