d s (1+s2)2 (que l’on ne cherchera pas à calculer)

Université de Rouen Master 1 MFA Année 2013-2014

Analyse Fonctionnelle

Examen du 14 janvier 2013, durée 3h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE(ET ENCORE)EST INTERDIT.

IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.

Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.

Exercice 1. Pour toutndansNon définit la fonction fn parfn(x)= 1 1+(x−n)². (a) Montrer quefn converge simplement vers 0.

(b) Montrer que, pour toutn dansN, fn appartient àL²(R). ExprimerkfnkL²(R) en fonction de l’inté- graleR_+∞

−∞

d s

(1+s²)² (que l’on ne cherchera pas à calculer). En déduire que fn ne converge pas forte- ment dansL²(R).

(c) Soitg∈C⁰(R) (l’ensemble des fonctions continues) et à support compact. Montrer que

n→+∞lim Z _+∞

−∞

fn(t)g(t)d t=0.

(d) En utilisant que l’ensemble des fonctionsC⁰(R) à support compact est dense dansL²(R), démon- trer que fn converge faiblement vers 0 dansL²(R).

Exercice 2. Soit (E,k · k) un espace vectoriel normé de dimensionfinieet soitC un convexe non vide deE tel que 0∉C. Le but de l’exercice est démontrer que l’on peut séparerC et {0}, sans hypothèse additionnelle surC. Soit (xn)_n≥1 une famille dénombrable d’éléments deC, dense dansC. Pour tout n≥1 on définitCnpar

Cn=nXⁿ

i=1

tixi;ti≥0 et

n

X

i=1

ti=1o

(a) Montrer, pour toutn≥1, queCn est un convexe compact. Montrer que∪n≥1Cnest dense dansC. (b) Montrer à l’aide d’un théorème du cours que pour toutn≥1 il existe fn∈E⁰ tel quekfnkE⁰=1 et

fn(x)≥0 pour toutxdansCn.

(c) En utilisant le fait queE⁰est de dimension finie, en déduire qu’il existef ∈E⁰tel que kfkE⁰=1, et f(x)≥0 pour toutxdansC.

(d) Conclure

[Question bonus] Montrer l’existence d’une famille dénombrable d’éléments deC, dense dansC.

Exercice 3. [Suite et base de Schauder]

Les parties I et II sont indépendantes. La partie III n’utilise que la définition d’une base de Schauder.

Partie I :`^∞

Notations et rappels : l’espace des suites réelles bornées est noté `<sup>∞</sup>. Pour éviter toute confusion entre élément de`^∞ et suite d’éléments de`<sup>∞</sup>, un élément x de`^∞ est considéré comme une appli- cation deNdansR: x(0),x(1),x(2), etc. On définitk · k∞parkxk∞=sup_n∈N|x(n)|. L’espace vectoriel normé (`^∞,k · k∞) est un espace Banach. On définit les sous-ensembles

— c={x∈`^∞tel que la suite (x(n))_n∈Nconverge dansR}

— c0={x∈`^∞tel que la suite (x(n))n∈Nconverge vers 0}

— c₀₀={x∈`^∞tel que la suite (x(n))n∈Nest non nulle pour un nombre fini d’indices}.

(a) Montrer les inclusionsc00⊂c0⊂c⊂`^∞et que ces inclusions sont strictes.

(b) Montrer quecetc0sont des sous espaces vectoriels fermés de`^∞. (c) Montrer quec00=c0. [ lire la fermeture dec₀₀]

1

Partie II : Bases de Schauder

Soit (E,k · k) un espace de Banach de dimension infinie. On dit que la famille (en)n∈Nd’éléments de E est une base de Schauder si

1. pour toutn∈N,kenk =1.

2. pour toutx∈E, il existe uneuniquesuite réelle (αn)_n∈Ntelle que (1) x=

+∞X

k=0

αkek dans le sens où

N

X

k=0

αkek converge en norme versxdansE quandN→ +∞.

Comme la suite (αn)_n∈Nest unique, on définit alors pour toutN∈N, « l’application coordonnée » fN

∀x∈E, f_N(x)=αN, où (αn)_n∈Nvérifie (1) et l’application « somme partielle »FN

∀x∈E FN(x)=

N

X

k=0

fk(x)ek=

N

X

k=0

αkek.

Le but est de montrer queFnest une application continue et que sup_n∈NkFnk_L(E,E)< +∞. Pour cela on définit pour toutx∈E

x =sup

n∈NkFn(x)k.

(a) Montrer, pour toutN∈N, que fN etFN sont des applications linéaires.

(b) Montrer que · est une norme et quekxk ≤ xpour toutx∈E.

(c) On montre dans cette question que (E, · ) est complet. Soit (xn) une suite de Cauchy dans E pour · .

-i- Montrer que (xn)n∈Nest une suite de Cauchy dans E pourk · k. En déduire l’existence dex dansE tel quexnconverge versxdans (E,k · k).

-ii- Montrer que pour toutk∈Nla suite (f_k(xn))n∈Nest de Cauchy dansR. En déduire quef_k(xn) converge vers un réel notéa_k quandn→ +∞.

-iii- Montrer que pour toutε>0 il existen0∈Ntel que pour toutn≥n0et toutk∈Non a kF_k(x_n)−

k

X

i=0

a_ie_ik <ε.

-iv- En utilisant la décomposition x−

k

X

i=0

aiei=x−xn+xn−F_k(xn)+F_k(xn)−

k

X

i=0

aiei

montrer quePk

i=0aiei converge versxdans (E,k · k) quandk→ ∞, c’est-à-direx=P_∞

i=0aiei. -v- Montrer quex_n−P_∞

i=0a_ie_iconverge vers 0 quandn→ ∞. Conclure que (E, · ) est com- plet.

(d) À l’aide d’un théorème du cours montrer que les deux normesk · ket · sont équivalentes.

(e) Conclure que sup_n∈NkFnkL(E,E)< +∞.

Partie III : Bases de Schauder des espaces de suites Pour toutn∈Non définiten∈`^∞paren(k)=0 pourk6=neten(n)=1.

(a) Montrer que la famille (en)_n∈Nest une base de Schauder dec0.

(b) Monter que la famille (en)n∈Nn’est pas une base de Schauder decni de`^∞. [indication : regarder la suite constante égale à 1 par exemple]

(c) En ajoutant l’élémentude`^∞,u(n)=1 pour toutn∈N(la suite constante égale à 1), montrer que la famille {u,e₁,e₂, . . . ,en, . . .} est une base de Schauder dec.

2