IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT

Université de Rouen Master 1 MFA Année 2014-2015

Analyse Fonctionnelle

Examen du 24 juin 2015, durée 2h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT.

IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.

Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.

Exercice 1. On rappelle quec₀=c₀(N) désigne l’espace vectoriel des suites réelles convergentes vers 0. Pour tout élémentx=(xn)_n∈Non définit la norme (usuelle) infinie :kxk∞=sup{|xn|;n∈N}.

(a) Montrer quek · k∞définit bien une norme surc0.

(b) Montrer quec0muni quek · k∞est un espace de Banach.

Soitϕ:c07→Rdéfinie par

ϕ(x)= X

n∈N

xn

2ⁿ⁺¹, ∀x∈c0. (c) Montrer queϕest une forme linéaire continue.

(d) Montrer quekϕk(la norme de l’application linéaire continueϕ) vaut 1.

(e) Montrer qu’il n’existe pasx∈c₀tel quex6=0 etϕ(x)= kxk∞.

Exercice 2. SoitE un Banach. On considère une famille finief₁, . . . ,f_nd’éléments du dual topolo- giqueE⁰. Le but est de montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes

(1) il n’existe pasx∈Etel que<fi,x>E⁰,E<0 pour touti∈{1, . . . ,n}.

(2) la famille {f1, . . . ,fn} est positivement linéairement dépendante, c’est-à-dire il existeλ1, . . . ,λn

non tous nuls, vérifiantλi≥0 pour touti∈{1, . . .n} etPn

i=1λifi=0.

La preuve de ce résultat se décompose en deux questions indépendantes.

(a) Montrer que (2) implique (1).

(b) On suppose que la propriété (1) est vérifiée. Considérons les deux ensembles C1=n

y∈Rⁿ, yi<0, ∀1≤i≤no , C2=n

¡<f1,x>E⁰,E, . . . ,<fn,x>E⁰,E¢

, x∈Eo . -i- Montrer queC₁etC₂sont deux convexes ouverts et disjoints deRⁿ.

-ii- En appliquant un théorème de séparation (que l’on énoncera avec soin) montrer que (2) est vérifié.

Exercice 3. Pour toutn≥1 on définit sur ]0, 1[ la fonctionfnpar fn(x)= n 1+n²x. (a) Montrer quef_nconverge presque partout vers 0.

(b) Calculer kf_nkL²(]0,1[)en fonction den. En déduire que f_n ne converge pas fortement dans L²(]0, 1[).

(c) Soitg une fonctionC¹(]0, 1[) et à support compact. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que

n→+∞lim Z 1

0

fn(t)g(t)d t=0.

(d) Déduire de la question précédente que fn converge faiblement vers 0 dansL²(]0, 1[).

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