Mathématiques
MS3 PC-C-STE-Bil PC-ENSI PC Université de Cergy-Pontoise
2012-2013
Examen nal Durée : 3h
• Les calculatrices et les notes du cours sont interdits. Une seule feuille antisèche est permise.
• Dans les exercices, on pourra admettre les résultats d'une question pour faire les questions suivantes.
• Le barême est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer.
Exercice 1
1. Déterminer des séries numériques suivantes si elles sont convergentes ou divergentes. (2pt)
a)
∞
X
n=0
(−e)−n b)
∞
X
n=1
sin(n) n2 c)
∞
X
n=0
(n!)3
(3n)! d)
∞
X
n=1
1 2ln(n)
2. Déterminer la série entière des fonctions suivantes. (Il ne faut pas calculer le rayon de conver- gence.) (2pt)
a) 1
1 +x2 b) 1
(1 +x)2 c)ex−1
x d) ln
1 +x 1−x
3. SoitN >0 un nombre entier.
(a) Déterminer la série de Fourier de la fonction2π-périodique et paire f qui satisfait f(x) = N π pour0≤x < π/N
f(x) = 0 pourπ/N < x≤π (1pt) (b) Énoncer le théorème de Dirichlet. (1pt)
(c) Déduire dea) etb) que
∞
X
n=1
sin(nπN )
n = N −1 2N π (1pt)
Exercice 2
1. Déterminer quelles des intégrales suivantes sont convergentes. Motiver votre réponse. (2pt)
a) Z ∞
0
√t
1 +t2dt b)
Z 1 0
sin(1 x)dx c)
Z ∞
1
sin(1
x)dx d)
Z ∞
0
sin(x) x dx
1
Mathématiques
MS3 PC-C-STE-Bil PC-ENSI PC Université de Cergy-Pontoise
2012-2013
2. Un étudiant conclut que
n→∞lim Z ∞
0
sin(xn) x dx= 0
comme limn→∞sin(xn) = sin(0) = 0 pour tout x ≥ 0. Est-ce que son résultat est correct ? Est-ce que son raisonnement est correct/complet ? Motiver votre réponse. (2pt)
Exercice 3 1. CalculerR∞
−∞e−x2dx. (2pt)
2. (a) Dessiner l'ensembleU ={(x, y)|x >0, y >0,1/4< x2+y2<1}. (1pt) (b) CalculerRR
U xy
x2+y2dxdy par une transformation de variables appropriée. (2pt) Exercice 4
1. Dessiner les courbes
C0 ={(x, y)|x2+y2 = 1}
et
C1 ={(x, y)|(x, y)|(x−1)2+y2= 1 4}
dans le plan. En trouver des paramétrages essentielsγ0, respectivementγ1, tournant contre le sens des aiguilles d'une montre. (2pt)
2. SoitF :R2\(0,0)→R2 le champ de vecteurs F(x, y) = ( −y
x2+y2 , x x2+y2).
Calculer les intégrales curvilignes R
γ0F(p)·dpetR
γ1F(p)·dp. (2pt)
Rappels de cours
Dénition (Coecients de Fourier). Soit f une fonction sur Rqui est continue par morceaux et T-périodique. On appelle coecients de Fourier def les réels suivants :
a0 = 1 T
Z T2
−T
2
f(x)dx,
an = 2 T
Z T2
−T
2
f(x) cos(2nπ
T x)dx, n≥1 bn = 2
T Z T2
−T
2
f(x) sin(2nπ
T x)dx, n≥1.
Théorème (Théorème de Green-Riemann). Soit γ : [a, b] → R2 un lacet simple, continue et de classeC1 par morceaux, qui se tourne contre le sens des aiguilles d'une montre. Soit Ωγ la région bornée parγ. SoitF(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y))un champ de vecteurs de classeC1 sur un domaine ouvert qui contient Ωγ ainsi que l'image de γ. Alors
Z
γ
F(p)·dp= ZZ
Ωγ
(∂F2
∂x − ∂F1
∂y )dxdy.
2
