Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 S6 Calcul différentiel
Examen final Première session
Durée 3h00
Les calculatrices et les documents sont interdits
Dans les exercices et le problème, on pourra admettre les résultats d’une question pour faire les questions suivantes.
(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).
Exercice 1 :
(3pts)Soit u : E −→ F une application linéaire bijective entre deux espaces vectoriels normés.
1)(1,5 pts) Montrer que u est un isomorphisme (i.e. que u etu−1 sont continues) si et seulement si il existeα >0 etβ tels que
∀x∈E, αkxkE ≤ ku(x)kF ≤βkxkE.
2)(1,5 pts) Si u est un isomorphisme, montrer que E est une espace de Banach si et seulement siF est un espace de Banach.
Exercice 2 :
(7pts)1)Soit(x1, x2, x3)∈R3. On définit le polyn^ome suivant : P(X) = (X−x1)(X−x2)(X−x3).
Montrer qu’il existe un unique triplet (a2, a1, a0) ∈R3 que l’on exprimera en fonction de(x1, x2, x3) tel que
P(X) =X3−a2X2+a1X−a0.
On définit alors l’application f de R3 dans R3 qui à tout triplet (x1, x2, x3) associe le triplet(a0, a1, a2).
2)(1,5 pts) Montrer quef est de classeC1surR3et calculer sa différentielle (on pourra donner une représentation matricielle, en explicitant comment calculer df(x).h avec cette matrice).
SoitU ={(x1, x2, x3), i6=j ⇒xi6=xj}.
3)(1,5pt) Montrer queU est un ouvert deR3. Montrer quedf(x1, x2, x3)est un isomor- phisme si et seulement si(x1, x2, x3)∈U.
4)(3,5 pts) On munitR3[X]de la normek.kdonnée par le maximum de la valeur abso- lue des coefficients. SoitP(X) =a3X3+a2X2+a1X+a0 ∈R3[X]un polyn^ome ayant trois racines distinctes (on akPk=Max |a3|,|a2|,|a1|,|a0|
).
a) Montrer qu’il existeη3 >0tel que pour toutQ∈R3[X], sikP −Qk< η3 alorsQ est de degré trois. On note alorsB(P, η3) ={Q∈R3[X],kP−Qk< η3}.
1
b) Si pour tout Q ∈ R3[X] on note b3 le coefficient de degré trois, montrer que ϕ:Q(X)7→ 1
b3
Q(X)définie sur B(P, η3) est continue.
c) En appliquant le théorème d’inversion locale à la fonction f, montrer qu’il existe η >0 tel que pour toutQ∈B(P, η3), sikϕ(P)−ϕ(Q)k< η alors ϕ(Q)a trois racines réelles distinctes.
d) En déduire qu’il existeη0 >0tel que sikP−Qk< η0, alorsQa trois racines réelles distinctes.
Problème
(10 pts)Dans tout le problème, on note E = C0([−1,1],R) et F = C0([0,1]×[−1,1],R).
Ces deux espaces sont munis de la norme uniforme et on rappelle que ce sont alors des espaces de Banach.
Partie I :(4pts)
Soientg∈F etf0∈E. On s’intéresse aux fonctions deF,f : (t, x)7→f(t, x)dérivables par rapport à leur première variable solutions de
(P Lg,f0) ( ∂f
∂t(t, x)−1
2cos(g(t, x)).f(t, x) = 0, ∀(t, x)∈[0,1]×[−1,1], f(0, x) =f0(x), ∀x∈[−1,1]
1)Existence et unicité des solutions.
Si on pose pour tout (t, x) ∈ [0,1]×[−1,1], γ(t, x) = Z t
0
cos(g(s, x))ds, montrer que f ∈E est solution de(P Lg,f0) si et seulement si
∀(t, x)∈[0,1]×[−1,1], f(t, x) =f0(x).e12γ(t,x).
(On pourra étudier pourx fixé la nature de l’équation).
2)Deux résultats techniques
a) Montrer que si f ∈F est solution de(P Lg,f0)alors
∀(t, x)∈[0,1]×[−1,1], f(t, x) =f0(x) +1 2
Z t
0
cos(g(s, x))f(s, x)ds.
b) Soienth etϕdeux fonctions deF telles que
∀(t, x)∈[0,1]×[−1,1], h(t, x) = 1 2
Z t
0
cos(g(s, x))h(s, x)ds+ϕ(t, x).
Montrer quekhk∞≤2kϕk∞.
3)Soith0 ∈E. Montrer que si les fonctionsf˜etϕ dansF vérifient f˜(t, x) =h0(x) +1
2 Z t
0
cos(g(s, x)) ˜f(s, x)ds+ϕ(t, x),
alorsf la solution de(P Lg,h0)vérifie kf−f˜k∞≤2kϕk∞. (On pourra poserh=f−f˜)
2
Partie II(6pts)
Pour f0 ∈ E, on s’intéresse aux fonctions de F, f : (t, x) 7→ f(t, x) dérivables par rapport à leur première variable telles que
(Pf0)
( ∂f
∂t(t, x)−1
2sin(f(t, x)) = 0, ∀(t, x)∈[0,1]×[−1,1], f(0, x) =f0(x), ∀x∈[−1,1]
1)Montrer quef ∈F est solution si et seulement si
∀(t, x)∈[0,1]×[−1,1], f(t, x) =f0(x) +1 2
Z t
0
sin(f(s, x))ds.
2)Existence et unicité.
Soit ψ la fonction de F dans F qui à toute fonction f ∈ F associe la fonction définie sur[0,1]×[−1,1]par
ψ(f) : (t, x)7→f0(x) + 1 2
Z t
0
sin(f(s, x))ds.
a) Montrer queψ est 12-lipschitzienne.
b) En déduire l’existence et l’unicité des solutions àPf0.
On définit alorsΦl’application deE dansF qui à toute fonctionf0 associe la solution dansF du problème(Pf0).
3)On se propose de montrer queΦest lipshitzienne.
Soientf0 etg0 deux fonctions de E. Pour simplifier les notations, on poseΦ(f0) =f et Φ(g0) =g.
a) Montrer que pour tout(t, x)∈[0,1]×[−1,1],
|f(t, x)−g(t, x)| ≤ kf0−g0k∞+1 2
Z t
0
sin(f(s, x))−sin(g(s, x)) ds
.
b) En déduire quekf −gk∞≤ 2kf0−g0k∞. Conclure.
4)Différentiabilité deΦ.
Soientf0 eth0 deux fonctions de E.
a) En utilisant la question précédente, montrer que
ksin(Φ(f0+h0))−sin(Φ(f0))−cos(Φ(f0)) Φ(f0+h0)−Φ(f0)
k∞=o(kh0k∞).
b) En déduire que pour tout h0 il existe une fonction ϕ ∈ F telle que kϕk∞ = o(kh0k∞) avec ∀(t, x)∈[0,1]×[−1,1],
Φ(f0+h0)−Φ(f0)
(t, x) =h0(x)+1 2
Z t
0
cos(Φ(f0)). Φ(f0+h0)−Φ(f0)
(s, x)ds+ϕ(t, x).
c) En appliquant la partie I avecf˜= Φ(f0+h0)−Φ(f0) etg = Φ(f0), montrer que pour tout h0 ∈E il existe une fonction T(h0) ∈F solution du problème (P Lg,h0) telle que
kΦ(f0+h0)−Φ(f0)−T(h0)k∞=o(kh0k∞).
d) En utilisant la question 1) de la partie I, en déduire que Φ est différentiable en tout pointf0 ∈E et expliciterdΦ(f0).h0.
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