Université de Cergy-Pontoise 2010-2011 S3 PC/C/STE
Examen de mathématiques Première session
Durée 3h00
Les calculatrices sont interdites
Un résumé de cours manuscrit en bleu sur une feuille blanche de format A4 en recto-verso est autorisé.
Dans les exercices et le problème, on pourra admettre les résultats d'une question pour faire les questions suivantes.
(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).
Exercice 1 :(5pts)
On considère la fonctionπ-périodiquef dénie par
∀x∈[0, π], f(x) = sin(x).
1) Dessiner la courbe représentative def sur [−2π; 2π].
2) Calculer les coecients de Fourier def. On vériera qu'il existe deux constantes k1 etk2 (dont l'une est nulle) telles que
∀n >0, an= k1
4n2−1, bn= k2 4n2−1. Indication : On pourra utiliser la formule de trigonométrie suivante sinacosb= 1
2(sin(a+b) + sin(a−b)).
3) En utilisant la série de Fourier associée àf, calculer la valeur de
∞
X
n=1
1 4n2−1. 4) On souhaite calculer la valeur deS =
∞
X
=1
(−1)k 16k2−1.
a) Exprimercos(nπ2)en fonction n(on pourra séparer les cas où nest paire ou impaire).
b) En utilisant la série de Fourier de f calculée en x = π
4, calculer la somme de la série numérique S.
Exercice 2 :(5pts)
On dénit la suite de fonctions(ϕn) telle que pour toutt∈]0,+∞[: fn(t) = 1
√t+tn.
On souhaite étudier les intégrales généralisées suivantes In=
Z +∞
0
√ 1
x+xndx.
1) Montrer que les intégrales In sont convergentes sin≥3. 2) Soitx∈]0,+∞[un réel xé.
1
a) Montrer(fn(x))n≥3 converge (on distinguera 3 cas ,x <1,x= 1 etx >1).
b) En déduire que la suite de fonction (fn) converge simplement vers une fonction f que l'on précisera.
c) Montrer que pour toutx∈]0,1[etn≥3,fn(x)≤ 1
√x. d) Montrer que pour toutx∈]1,+∞[etn≥3,fn(x)≤ 1
x32.
3) En déduire que la suite (In)n≥3 converge vers une limite que l'on précisera.
Exercice 3 :(5pts) SoitΩ =
(u, v),−1≤v≤1,u2
4 −v2 ≤1
. On souhaite calculer
A= ZZ
Ω
u2
√
1 +v2 du dv.
SoitR = [−2; 2]×[−1; 1].
1) Montrer que F :R → Ω telle queF(x, y) = (xp
1 +y2, y) est une bijection puis calculer le jacobien de F.
2) En utilisant la formule de changement de variables appliquée àF, montrer qu'il existe une constante ktelle que
A=k ZZ
R
x2(1 +y2)dx dy.
3) CalculerA.
Exercice 4 :(5pts)
Soient Γ0 le morceau d'ellipse d'équation x2
4 +y2 = 1 avec x, y ≥ 0 joignant les points A= (2,0)etB = (0,1)etΓ1 = [B;A]le segment joignantB àA. On considère le champ de force suivant
F(x, y) =
x+y x2+ 4y2
x2y
On souhaite calculerJ le travail deF sur le chemin fermé constitué deΓ0∪Γ1 parcouru dans le sens trigonométrique.
1) Dessiner sur une m^eme gureΓ0 etΓ1.
2) En choisissant une paramétrisation deΓ0, calculerJ0 = Z
Γ0
F(x, y).d~σ. 3) En choisissant une paramétrisation deΓ1, calculerJ1 =
Z
Γ1
F(x, y).d~σ.
4) En déduireJ.
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