Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 S3 PC/C/STE
Examen de mathématiques Première session
Durée 3h00
Les calculatrices et les documents sont interdits
Dans les exercices et le problème, on pourra admettre les résultats d’une question pour faire les questions suivantes.
(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).
Exercice 1 :
(5pts)On considère la fonction 2-périodique f définie par
∀x∈[0,2], f(x) = (x−1)2. 1) Dessiner la courbe représentative de f sur ]−4,4[.
2) Calculer les coefficients de Fourier def. 3) En utilisant la série de Fourier associé àf,
a) Retrouver la valeur de
∞
X
n=1
1 n2. b) Calculer la valeur de
∞
X
n=1
(−1)n n2 .
Exercice 2 :
(6pts)On définit la suite de fonctions (ϕn) telle que pour tout t ∈]0,+∞[: ϕn(t) = n arctg(nt)
1 +t+n2t2. 1) Montrer que pour tout n ∈ N fixé, l’intégrale In =
Z +∞
0
ϕn(t)dt est bien convergente.
2) Pour t >0fixé, calculer la limite de (ϕn(t))quand n tend vers +∞.
3) Pour toutn ∈N fixé, en faisant le changement de variables=nt, trouver une fonctionfn telle que
In= Z +∞
0
fn(s)ds.
4) Pour touts >0fixé montrer que(fn(s))converge quand n tend vers+∞vers une limitef(s).
5) En utilisant le théorème de convergence dominée avec fn, montrer que (In) converge vers une limite que l’on précisera (on pourra remarquer quef est de la
1
forme f(s) = u(s).u0(s)).
6) Pouvait-on appliquer le théorème de convergence dominée àϕn?
Problème
(9pts)On considère le domaine suivant :
Ω = {(x, y)∈R2, x2+ y2
4 ≤2x≤ y2 2}.
1) Etude deΩ : (3pts)
a) Donner la nature des domaines, Γ1 = {(x, y) ∈ R2,(x−1)2+ y2
4 = 1} et Γ2 ={(x, y)∈R2, x= y2
4}.
b) On noteΩ1 ={(x, y)∈[0,1]×[−2,2],(x−1)2+y2
4 ≤1} etΩ2 ={(x, y)∈ [0,1]×[−2,2], x≤ y2
4}. Dessiner sur une m^eme figure Ω, Ω1 et Ω2.
•On se propose maintenant de calculer deux intégrales : I =
ZZ
Ω1
6−4y2
(1 +y2)2dxdy.
J = ZZ
Ω2
x
33 +y5dxdy 2)Calcul de I :(3.5pts)
a) En utilisant Green-Riemann, montrer que
I = Z
Γ+
−5y 1 +y2 (x−1)
1 +y2
d~σ.
(On notera queΓ est la réunion d’un segment et un morceau deΓ1).
b) Donner un paramétrage de Γ+. c) Calculer J avec ce paramétrage.
3)Calcul de J :(3pts)
a) En utilisant Fubini d’abord par rapport à x, montrer que J =
Z b a
ky4 33 +y5dy b) En déduireJ.
2
Les points suivants sont des rappels de cours. S’il est inutile de réécrire les énoncés utilisés, il est par contre important de justifier que les hypothèses sont vérifiées.
1 Séries de Fourier :
Définition 1.1 On appelle coefficients de Fourier def, une fonctionT-périodique, les réels suivants
a0 = 1 T
Z T 0
f(t)dt, an= 2
T Z T
0
f(t) cos 2nπ
T t
dt,∀n≥1, bn = 2
T Z T
0
f(t) sin 2nπ
T t
dt,∀n ≥1.
Théorème 1.2 (Théorème de Dirichlet)
Si f est C1 par morceaux, alors sa série de Fourier S(x) converge. De plus si f est continue au pointx alors S(x) = f(x). Si x est un point de discontinuité , si on note f(x+) la limite à droite et f(x−) la limite à gauche, alors :
S(x) = f(x+) +f(x−)
2 .
Théorème 1.3 (Egalité de Parseval)
Si f est continue par morceaux sur une période, alors on vérifie l’égalité suivante 2
T Z T
0
f2(t)dt = 2a20+
∞
X
n=1
a2n+b2n.
2 Intégrale dépendant d’un paramètre
Théorème 2.1 Théorème de convergence dominé
Si(fn)n∈N converge simplement vers f surI (oùfn etf sont des fonctions conti- nues par morceaux sur tout segment deI), si de plus il existe une fonctiong telle que∀t∈I,∀n ∈N|fn(t)| ≤g(t)et
Z b a
g(t)dtest convergente, alorsI = Z b
a
f(t)dt est convergente et la suite
Z b a
fn(t)dt
n∈N
converge vers I.
3 Intégrales doubles
Théorème 3.1 (Formule de Fubini)
On considère deux fonctions ϕ1 et ϕ2 à valeurs réelles, définies et continues sur un m^eme intervalle [a, b] telles que
∀t∈[a, b], ϕ1(t)≤ϕ2(t).
3
On considère le domaine
Ω ={(x, y)∈R2, a≤x≤b, ϕ1(x)≤y ≤ϕ2(x)}.
Alors le domaine Ω est un fermé régulier et pour toute fonction f intégrable sur Ωon vérifie
ZZ
Ω
f(x, y)dxdy= Z b
a
Z ϕ2(x) ϕ1(x)
f(x, y)dy
! dx.
Théorème 3.2 (Formule de changement de variables)
Soit Ω un ensemble fermé, borné, régulier du plan. Soit F une fonction définie de Ω dans Ω1 bijective et de classe C1. On suppose que pour tout (x, y) ∈ Ω JF(x, y)6= 0. On vérifie alors
ZZ
Ω
f F(x, y)
JF(x, y)
dxdy= ZZ
Ω1
f(u, v)dudv.
Une formule de changement de variables en coordonnées polaire : ZZ
B(O,R)
f(x, y)dxdy = ZZ
[0,R]×[0,2π]
f(rcos(θ), rsin(θ))rdrdθ.
4 Intégrales curvilignes
Soit F~(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) un champ de vecteurs.
Proposition 4.1 Si F~ est de classe C1 et défini sur un ouvert étoiléU, alors F~ est exact si et seulement si ∂P
∂y(x, y)− ∂Q
∂x(x, y) = 0 sur U.
Proposition 4.2 Si F~ est exact sur un ouvert U, et si f est une primitive de F~ (∇f =F~) alors pour tout chemin Γ inclus dans U joignant des points A et B,
Z
Γ
F~(x, y).d~σ =f(B)−f(A).
Théorème 4.3 (Formule de Green-Riemann)
Soit Ω un ouvert borné régulier. Soit Γ son bord que l’on suppose sans point double. On note Γ+ ce bord parcouru dans le sens positif.
Si F~(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) est un champ de vecteurs de classe C1, alors Z
Γ+
F~(x, y)d~σ= ZZ
Ω
∂Q
∂x − ∂P
∂y
dxdy.
4
