Université de Cergy-Pontoise 2005-2006 M-S4 B, Intégration
Examen Final : MI,M,MP, ENSI
Durée : 3h00
Les calculatrices et les documents sont interdits
Dans les exercices et le problème, on pourra admettre les résultats d'une question pour faire les questions suivantes.
Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer.
Exercice 1
(4pts)SoitU un ouvert deR2 de bord orienté dans le sens positifΓ+. Soitωla forme diérentielle dénie surU par
ω(x, y) = −y
2 −xy+y3 3
dx+
x 2 − x2
2 +xy2
dy.
En utilisant la formule de Green-Riemann (que l'on rappelera), montrer que Z
Γ+
ωdσ est égale à l'aire de U.
Exercice 2
(6pts)On dénit sur Ω = R2\ {(0,0)}la forme diérentielle suivante ω(x, y) =P(x, y)dx+Q(x, y)dy= −y
x2+y2dx+ x x2+y2dy.
1) Enoncer la propriété permettant de savoir si une forme diérentielle est exacte sur un ouvert.
2) Calculer pour tout (x, y)6= (0,0) ∂P
∂y(x, y) et ∂Q
∂x(x, y).
3) Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer la propriété énoncée au 1) surΩ. 4) Soit Γ+ le cercle de centre (0,0) et de rayon 1 parcouru dans le sens trigono- métrique.
a) Calculer Z
Γ+
ωdσ.
b) En déduire que ω n'est pas exacte sur R2\ {(0,0)}.
Problème
(10pts)Partie I(4pts)
Soit D={(t, z)∈R2,|t|+|z| ≤ 12}. On pose
J = ZZ
D
(1 +t)4z2dtdz.
1) Dessiner le domaineD.
2) Enoncer le théorème de Fubini (dans un seul sens).
3) Par Fubini montrer que
J = 2 3
Z 12
−12
(1 +t)4(1
2 − |t|)3dt.
4) CalculerJ (on pourra séparer en deux intégrales en traitant le cas t≥0 et le cast≤0).
Partie II(6pts)
Soit Ω ={(x, y, z)∈R3, y ≥0et |p
x2+y2−1|+|z| ≤ 12}. On pose I =
ZZZ
Ω
x2yz2dxdydz.
Enn on dénit :
F : [0, π]×D −→ Ω
(θ, t, z) 7−→ (1 +t) cos(θ),(1 +t) sin(θ), z . 1) Vérier que F est bien à valeurs dans Ω.
2) Montrer queF dénit une bijection.
3) Calculer le jacobien deF.
4) Enoncer la formule de changement de variables en dimension 3.
5) En utilisant le changement de variables donné par F, montrer que
I =J.
Z π
0
cos2(θ) sin(θ)dθ.
6) En utilisant la partie I, calculer la valeur deI.
