Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 S6 Calcul différentiel
Deuxième session
Durée 2h00
Les calculatrices et les documents sont interdits
Dans les exercices et le problème, on pourra admettre les résultats d’une question pour faire les questions suivantes.
(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).
Exercice 1 :(4pts)
Soit E un espace vectoriel normé. Soit K un compact de E etA /∈K un point de E. On définit la réunion de tous les segments d’extrémitésA et un point deK :
Ω ={M ∈E,∃B ∈K, M ∈[A, B]}
On se propose de montrer queΩest compact.
Soit(Mn)une suite de points deΩ.
1) Montrer qu’il existe une suite de points(Bn)de K telle que pour toutn Mn∈[A, Bn].
2) En déduire qu’il existe une suite(θn) de [0,1]telle que pour toutn
−−−→AMn=θn−−→
ABn. 3) Montrer que(Mn)admet une sous-suite convergente.
4) Conclure.
Problème
Dans tout le problème, l’espace R2 est munie de la norme euclidienne classique.
On rappelle que l’ensemble des suites bornées de R2, noté l∞(R2), muni de la norme suivantek(un, vn)n∈N∗k∞= sup
n
k(un, vn)k= sup
n
pu2n+vn2, est un espace de Banach.
Partie I :(7pts)
Soitk∈[0,1[, un réel fixé.
On définit l’application suivante :
F : R2 −→ R2 x
y
7−→
x−ksiny y−ksinx
1) Montrer queF est différentiable et calculer en tout pointdF(x, y)(on pourra donner une repésentation matricielle).
2) Montrer que pour tout(x, y)∈R2,kdF(x, y)k ≤1 +k.
1
3) On souhaite montrer que F est bijective. Pour cela on se donne (α, β) ∈ R2 et on cherche à résoudre
F(x, y) = α
β
. (E)
a) Montrer qu’un point(x0, y0)∈R2 est solution de E si et seulement si x0
y0
−F(x0, y0)− α
β
= x0
y0
b) On introduit la fonctionG: x
y
7→
x y
−F(x, y)− α
β
. Montrer queG estk-lipshitziennne.
c) En déduire que l’équation(E) possède une unique solution. Conclure.
4) Montrer queF est un difféomorphisme.
5) Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2, kdF−1(x, y)k ≤ 1
1−k (On pourra commencer par donner une représentation matricielle dedF−1(x, y)).
Partie II(9pts)
On cherche à étudier quand elles existent les suites deR2 vérifiant pour toutn∈N∗ (n+ 1)2
an+1
bn+1
− an
bn
=
sin(bn+1) sin(an+1)
0) Vérifier que si une suite(an, bn)n∈N∗ est solution alors le terme(an, bn)s’exprime en fonction du terme(an+1, bn+1).
1) Montrer que si une suite(an, bn)n∈N∗est solution alors il existe une suite de fonctions Gn :R2 →R2 telles que pour toutn,(an+1, bn+1) =Gn(an, bn). (On pourra utiliser la partie I.)
2) En déduire que pour tout(α, β), il existe une unique suite(an, bn)n∈N∗ solution telle que(a1, b1) = (α, β).
3) Montrer que pour toute suite(an, bn)n∈N∗ solution on vérifie pour chaque entiern >0 fixé
k(an+1, bn+1)k ≤ 1
1−(n+1)1 2k(an, bn)k ≤
n
Y
k=1
1
1−(k+1)1 2k(a1, b1)k.
(On pourra utiliser les résultats de la partie I, appliqués aux fonctions Gn en notant queGn(0,0) = (0,0)).
4) En déduire que toute suite solution est bornée. (On pourra prendre le logarithme du terme produit dans l’inégalité précédente.)
5) On définit alors la fonctionϕ:R2 →l∞(R2)qui à tout couple(α, β)associe la suite (an, bn)n∈N∗ de premiers termes(a1, b1) = (α, β).
a) Montrer queϕest lipshitzienne.
b) Soit(α, β)∈R2. Siϕ(α, β) = (an, bn)n∈N∗, montrer que pour toutn fixé,(an, bn) peut s’exprimer en fonction de(α, β) (on fera apparaitre les fonctionGk).
c) En déduire queϕ est différentiable.
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