Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 S3 PC/C/STE
Examen de mathématiques Deuxième session
Durée 2h00
Un résumé de cours manuscrit en bleu sur une feuille de papier format A4 en recto-verso est autorisé.
Calculatrices et tout autre document sont interdits.
Dans les exercices et le problème on pourra admettre les résultats d’une question pour faire les questions suivantes.
(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).
Exercice 1 :Séries entières (5pts) On considère la série entière suivante :
f(x) =
+∞
X
n=0
xn (2n+ 1)!.
1) Calculer le rayon de convergence de cette série. On note alors Df le domaine de définition def.
2) On définit pour toutx tel quex2∈ Df,
s(x) =xf(−x2).
a) Donner le domaine de définition des.
b) Montrer quesest une série entière dont vous préciserez le terme général et le rayon de convergence.
c) Préciser l’ensemble des pointsx oùsest C∞.
d) Calculers00(x) (sous forme de série entière). En déduire une expression simple de s(x) +s00(x).
Exercice 2 :Intégrale généralisée (6pts) On souhaite étudier quand elle est définie
F(x) = Z +∞
0
sin(xt2) t dt.
1) Pourx= 0,F(0)est-elle définie ? 2) Pourx6= 0 fixé, on introduit
GA(x) = Z A
1
sin(xt2) t dt.
a) En faisant une intégration par partie montrer qu’il existe deux constantes aet b telles que
GA(x) =a cosx
x −cos(xA2) xA2
+b
Z A
1
cos(xt2) xt3 dt.
1
(On pourra noter que sin(xt2)
t = 2xtsin(xt2) 1 2xt2.)
b) En faisant tendreA vers +∞, en déduire que l’intégraleG(x) = Z +∞
1
sin(xt2) t dt est convergente (on en proposera une autre expression).
c) En déduire que l’intégraleF(x) est convergente.
3) SoientK >1. Montrer que F est continue en tout pointx tel que K1 <|x|< K.(on pourra écrireF en fonction de l’autre expression de Get utiliser que |sinu| ≤ |u|).
Problème :Intégrales curvilignes et intégrales multiples (9pts) On considère les deux courbes suivantes
Γ1 ={(x, y),(x−1)2+ y2 4 = 1}, Γ2 ={(x, y),(x−1)2+ y2
4 = 4},
On note Γ+1 et Γ+2 ces courbes parcourues dans le sens trigonométrique. On souhaite calculer la travail de la force suivante le long de ces deux courbes :
F(x, y) =~
−y 4(x−1)2+y2
(x−1)
4(x−1)2+y2 +x2−2x+ y2 4
1) Rappeler la nature deΓ1 etΓ2.
2) Donner un paramètrage deΓ1. En déduire le travail deF~ le long deΓ+1. On définit le domaine suivant
Ω ={(x, y),1≤(x−1)2+y2 4 ≤4}.
3) Dessiner sur une m^eme figure Ω,Γ1 etΓ2. 4) En utilisant Green-Riemann montrer que
Z
Γ+2
F .d~~ σ = Z
Γ+1
F .d~~ σ+ ZZ
Ω
2(x−1)dxdy
5) On se propose de faire le changement de variables(x, y) = (1 +rcost,2rsint) avec (r, t)∈[1,2]×[0,2π].
a) Montrer que l’application précédente est à valeursΩ.
b) Calculer le jacobien de cette application.
c) En admettant que l’on puisse appliquer la formule de changement de variables, montrer qu’il existe une constantek telle que
ZZ
Ω
2(x−1)dxdy=k ZZ
[1,2]×[0,2π]
r2costdrdt
6) Calculer le travail deF~ le long deΓ+2.
2
Rappels de cours : 1 Intégrales généralisées
Définition 1.1 SoitI =]a, b[un intervalle ouvert deR. Soitf une fonction définie sur I continue par morceaux sur tout segment de I. Si il existe c ∈I tel que
Z c a
f(t)dt et Z b
c
f(t)dt sont convergentes alors on dit que Z b
a
f(t)dt est convergente et on pose
Z b
a
f(t)dt= Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt.
Sinon on dit que l’intégrale diverge.
Proposition 1.2 Soit J un intervalle de R. Soit f une fonction de deux variables à valeurs réelles définie surJ ×I, vérifiant
• pour toutx∈J fixé, t7→f(x, t) est continue par morceaux sur tout segment de I,
• pour toutt∈I fixé, x7→f(x, t) est coninue surJ,
• il existe une fonctionh définie sur I, continue sur I, telle que
−∀(x, t)∈J ×I,|f(x, t)| ≤h(t),
− Z b
a
h(t)dt est une intégrale convergente.
Alors la fonction définie par
F(x) = Z b
a
f(x, t)dt, est continue surJ.
2 Séries entières
Définition 2.1 Soit(an) une suite relle et
∞
X
n=0
anxnsa srie entire associe.
On appelle rayon de convergence de la srie la borne sup de l’ensemble suivant {x≥ 0,(anxn) est borne}. On le noteR, siR=∞on dit que le rayon est infini, siR∈R∗ alors par dfinition on vrifie :
si |x|< Ralors la suite (anxn) est bornée si|x|> R alors la suite (anxn) n’est pas bornée.
3 Intégrales doubles
Théorème 3.1 (Formule de Fubini)
On considère deux fonctions ϕ1 et ϕ2 à valeurs réelles, définies et continues sur un m^eme intervalle [a, b] telles que
∀t∈[a, b], ϕ1(t)≤ϕ2(t).
On considère le domaine
Ω ={(x, y)∈R2, a≤x≤b, ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)}.
3
Alors le domaineΩ est un fermé régulier et pour toute fonction f intégrable sur Ω on vérifie
ZZ
Ω
f(x, y)dxdy = Z b
a
Z ϕ2(x) ϕ1(x)
f(x, y)dy
! dx.
Théorème 3.2 (Formule de changement de variables)
Soit Ω un ensemble fermé, borné, régulier du plan. Soit F une fonction définie de Ω dans Ω1 bijective et de classe C1. On suppose que pour tout (x, y) ∈ Ω JF(x, y) 6= 0.
On vérifie alors ZZ
Ω
f F(x, y)
JF(x, y)
dxdy= ZZ
Ω1
f(u, v)dudv.
Une formule de changement de variables en coordonnées polaire : ZZ
B(O,R)
f(x, y)dxdy = ZZ
[0,R]×[0,2π]
f(rcos(θ), rsin(θ))rdrdθ.
4 Intégrales curvilignes
SoitF~(x, y) =
P(x, y) Q(x, y)
un champ de vecteur.
SoitΓune courbe joignant les pointsAetB. Si(x(t), y(t))est un paramètrage deΓ sur le segment[a, b]tel queA= (x(a), y(a))etB = (x(b), y(b))alors on appelle travail de la forceF(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))~ le long deΓ de Aà B le réel suivant
I = Z
Γ
P(x, y) Q(x, y)
.d~σ =
Z b
a
(P(x(t), y(t))x0(t) +Q(x(t), y(t))y0(t))dt.
Théorème 4.1 (Formule de Green-Riemann)
SoitΩun ouvert borné régulier. Soit Γson bord que l’on suppose sans point double. On note Γ+ ce bord parcouru dans le sens positif. Alors si F(x, y) =~
P(x, y) Q(x, y)
est un champ de vecteur de classeC1
Z
Γ+
F(x, y).d~~ σ = ZZ
Ω
∂Q
∂x −∂P
∂y
dxdy.
4
