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MVA101 T. Horsin
2012–2013 http://maths.cnam.fr CNAM Paris Centre
Février 2013, Première session d’examen. Durée: 3h Tous documents autorisés, calculatrices interdites.
Le barême, donné à titre indicatif, pourra être modifié.
Exercice 1. (2 points)
Déterminer le rayon de convergenceRdes séries entières suivantes:
i.
∞
X
n=0
(n2 −1 + (−1)n)xn.
ii.
∞
X
n=0
en en+n2xn.
Exercice 2. (4 points)
On considèref une fonction deux fois dérivable surR qui satisfait
∀x ∈R, x2f00(x) + 4xf0(x) + (2−x2)f(x) = 1.
On admet quef est développable en série entière.
i. Déterminer le développement en série entière de f, et donner son rayon de con- vergence.
ii. Déterminerf à l’aide des fonctions élémentaires.
Exercice 3. (6 points)
Dans cet exercice la question i n’est pas utile pour les questions suivantes.
SoitA la matrice donnée parA :=
2 1 1
−1 2 1
0 0 2
.
i. Montrer que les valeurs propres deAsont 1 2et3.
ii. On considère3 fonctionsx yetz dérivables surR+, vérifiant
∀t ∈ [0,+∞[,
x0(t) = 2x(t)−y(t) +z(t), y0(t) = −x(t) + 2y(t) +z(t), z0(t) = 2z(t),
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.
(1)
On noteXetYetZles transformées de Laplace dex ety. Déterminer le système d’équations vérifiées par X, YetZ.
iii. DéterminerX, YetZ, et en déduirex yetz.
Exercice 4. (5 points) i. Montrer que
∀x ∈ R, |sin(x)| = 2/π+X
n≥2
−2.(−1)n −2 n2π−π ii. Soitf une fonction dérivable2πpériodique vérifiant
∀x ∈ R, f0(x) +f(x) = |sin(x)|. Déterminer S(f)son développement en série de Fourier.
iii. Vérifier queS(f)est bien une fonction dérivable.
Exercice 5. (6 points)
Dire si les séries suivantes sont convergentes:
i. 1
(ln(n))n ii. 1−cos(1/n).
iii. 1
an+b − c
n aveca 6= 0 etb6= 0.
