Programme de colle 19
Classe de PC
Semaine du lundi 14 au vendredi 18 mars
Liste des questions de cours
• Tableau des lois de probabilités usuelles, avec les séries génératrices.
• Rayon de convergence de la somme de deux séries entières, avec preuve.
• Rayon et somme de X
n>1
ch (n) n x2n.
• Rayon deXcnzn, où cn est le nombre de chiffres de nen base 10.
• Rayon et somme des séries entières usuelles : famille exponentielle (exp, cos, sin, sh , ch ), géométrique ( 1
1−x, ln(1 +x), ln(1−x), Arctan (x)), (1 +x)α avec α∈R.
•
+∞
X
n=2
(−1)n
n(n−1) = 2 ln 2−1 (exercice 9).
• (volontariat) Z 1
0
√ dx
1−x4 =
+∞
X
n=0 2n
n
4n(4n+ 1).
• T =n(x, y)∈R2 |x+y >0oest convexe dans R2.
• Étude des limites en (0,0) de (x, y)7→ xy
x2+y2 et (x, y)7→ x2y x2+y2.
• det :Mn(R)→R est continue etGLn(R) est ouvert.
1 Séries numériques
Produit de Cauchy. Critère de D’Alembert.
2 Séries entières
2.1 Domaine de définition
Lemme d’Abel. Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux séries entières.
Comparaison des coefficients (6,O,∼).
Opérations sur les séries entières, rayon et somme.
2.2 Fonction somme
2.2.1 Variable complexe Continuité de la somme (admis).
Développement de 1
1−z, exponentielle complexe.
1
2.2.2 Variable réelle
2.2.2.1 Rappels sur les séries de fonctions Convergences simple, uniforme et normale.
Théorème de continuité, d’intégration terme à terme. Théorème de dérivation terme à terme.
2.2.2.2 Séries entières Convergence normale sur tout segment [a, b]⊂]−R, R[.
Continuité, primitivation terme à terme, dérivation terme à terme de la fonction somme sur ]−R, R[.
Caractère C∞. Expression des coefficients.
Unicité du développement en série entière (application : résolution d’équations différentielles).
2.3 Fonctions développables en séries entières
2.3.1 Définition et structures algébriques Définition, stabilité par combinaison linéaire et produit.
2.3.2 Séries entières usuelles
À connaître impérativement, et à savoir reconnaître, au voisinage de 0 :
ex, ch (x), sh (x), cos(x), sin(x), 1
1−x, 1
1 +x, ln(1 +x), (1 +x)α avec α∈R. Un série entière est inséparable de son rayon de convergence.
Détermination d’un développement en série entière à l’aide d’une équation différentielle.
2.4 Application aux probabilités : séries génératrices Le rayon de convergence est au moins égal à 1, et GX est définie en 1.
Liens entre série génératrice et espérance, variance, et loi de la variable aléatoire.
Série génératrice d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes.
Séries génératrices des lois usuelles.
3 Espaces vectoriels normés
3.1 Construction
3.1.1 Norme et distance
Norme, distance. Exemple des normes 1, 2 et ∞ usuelles dans Kn etC0([a, b],R).
Boules ouvertes, boules fermées, sphères.
3.1.2 Suites
Limite, sous-suites, suites coordonnées associées à une base en dimension finie. La convergence d’une suite et la valeur de sa limite ne dépendent pas de la norme choisie en dimension finie.
3.2 Parties d’un espace vectoriel normé
3.2.1 Topologie
Ouverts : définition, stabilité par union et intersection finie, ∅, E et les boules ouvertes sont des ouverts.
Intérieur ˚A d’une partieA, point intérieur.
Fermés : définition, stabilité par intersection et union finie, E, ∅ et les boules fermées sont des fermés.
Caractérisation séquentielle. Adhérence A d’une partie A, point adhérent. Frontière.
3.2.2 Autres parties
Parties bornées : définition, une suite convergente est bornée. Parties convexes : définition, les boules sont des convexes.
3.3 Fonctions continues
3.3.1 Limite
Définition, opérations algébriques, composition. Caractérisation séquentielle. Fonctions coordonnées dans une base de l’espace d’arrivée E0. Continuité en un point.
3.3.2 Continuité sur une partie
Définition, opérations algébriques, composition, composantes.
Nature topologique des ensembles définis par f :E→Rcontinue à l’aide d’une équation ou inéquation.
Toute fonction à valeurs dans R, continue sur une partie fermée bornée, est bornée et atteint ses bornes.
Fonctions lipschitziennes, linéaires, multilinéaires, polynomiales.
