4 - Séries entières - Sujet 2

(1)

St. Joseph/ICAM Toulouse

CB n

^◦

4 - SERIES ENTIERES - Sujet 1

EXERCICE 1

Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

1. X2ⁿ n²zⁿ On a : 2ⁿ⁺¹n²

2ⁿ(n+ 1)² ∼

+∞2. La règle de d’Alembert donne un rayon de convergence égal à 1 2. 2. X√

nz²ⁿ On a : ∀z∈C^∗,

√n+ 1z²ⁿ⁺²

√nzⁿ

n→+∞∼ |z²|.

D’après le critère de d’Alembert, si|z|<1,X√

nz²ⁿconverge, et si |z|>1,X√

nz²ⁿ diverge.

Le rayon de convergence est donc 1.

3. X

nⁿ¹² −1

zⁿ On a : nⁿ¹² −1 ∼

+∞

ln(n)

n² ; ainsi la série entièreX

nⁿ¹² −1

zⁿ a le même rayon de convergence que Xln(n)

n² zⁿ. lim

n→+∞

ln(n+ 1)n²

ln(n)(n+ 1)² = 1, donc d’après la règle de d’Alembert, le rayon est 1.

4. X n²zⁿ²

Soit r > 0; la suite (n²rⁿ²) est bornée si, et seulement si r < 1. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est 1.

EXERCICE 2

Déterminer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes :

1. X

n≥0

n−2 n! xⁿ

On a : (n−1)n!

(n−2)(n+ 1)! ∼

+∞

1

n+ 1 −→

n→+∞0; la règle de d’Alembert donne un rayon infini.

La série X 1

n!zⁿa un rayon de convergence infini, donc pour tout x∈C, on a :

+∞

X

n=0

n−2 n! xⁿ=

+∞

X

n=0

n n!xⁿ−2

+∞

X

n=0

1

n!xⁿ=x

+∞

X

n=1

1

(n−1)!xⁿ⁻¹−2e^x= (x−2)e^x. 2. X

n≥0

ne⁻ⁿxⁿ

On a : (n+ 1)e⁻ⁿ⁻¹

ne⁻ⁿ ∼

+∞e⁻¹, donc d’après la règle de d’Alembert, le rayon de convergence est e.

Le théorème de dérivation des séries entières donne que la sérieX

nxⁿ⁻¹ a pour rayon de convergence 1, et

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= d dx

+∞

X

n=0

xⁿ= d dx

1 1−x

= 1

(1−x)² ; on a donc :

+∞

X

n=1

n(e⁻¹x)ⁿ= e⁻¹x (1−e⁻¹x)².

Spé PT B CB4 - 2018-2019

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EXERCICE 3

Donner les développements en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes, et préciser les rayons de convergence :

1. x7→ 1 2−3x² Pour x /∈

(

− r2

3, r2

3 )

, 1

2−3x² = 1 2 1−³₂x². La série X

xⁿ a pour rayon de convergence 1, et pour toutx∈]−1,1[,

+∞

X

n=0

xⁿ= 1 1−x; on en déduit que pour x∈

#

− r2

3, r2

3

"

, on a : 1

2−3x² = 1 2

+∞

X

n=0

3x² 2

n

=

+∞

X

n=0

3ⁿx²ⁿ 2ⁿ⁺¹ . De plus, la série diverge pour |x|>

r2

3, donc le rayon de convergence est r2

3. 2. x7→ln x²−6x+ 9

Pour x∈]−3,3[,ln x²−6x+ 9

= ln(3−x)²= 2 ln 3

1−x 3

= 2 ln(3) + 2 ln 1−x

3

. La série Xxⁿ

n a pour rayon de convergence 1, et pour toutx∈]−1,1[,

+∞

X

n=1

xⁿ

n =−ln(1−x); on en déduit que pour x∈]−3,3[,ln x²−6x+ 9

= 2 ln(3)−

+∞

X

n=1

2xⁿ n3ⁿ. De plus, la série diverge pour |x|>3, donc le rayon de convergence est 3.

Spé PT B CB4 - 2018-2019

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CB n

^◦

4 - Séries entières - Sujet 2

EXERCICE 1

Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

1. Xn² 2ⁿzⁿ

On a : (n+ 1)²2ⁿ 2ⁿ⁺¹n² ∼

+∞

1

2, donc la règle de d’Alembert donne le rayon de convergence égal à 2.

2. X 1

√nz²ⁿ On a : ∀z∈C^∗,

√nz²ⁿ⁺²

√n+ 1zⁿ

n→+∞∼ |z²|.

D’après le critère de d’Alembert, si|z|<1,X√

nz²ⁿconverge, et si |z|>1,X√

nz²ⁿ diverge.

Le rayon de convergence est donc 1.

3. X

1 + 1 n

n

zⁿ On a :

1 + 1

n n

+∞∼ e ; ainsi la série entière X 1 + 1

n n

zⁿ a le même rayon de convergence que Xezⁿ, c’est-à-dire 1.

4. X1 nzⁿ²

Soit r > 0; la suite rⁿ² n

!

est bornée si, et seulement si r ≤ 1. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est 1.

EXERCICE 2

Déterminer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes :

1. X

n≥0

2n−1 n! xⁿ

On a : (2n+ 1)n!

(2n−1)(n+ 1)! ∼

+∞

1

n+ 1 −→

n→+∞0; la règle de d’Alembert donne un rayon infini.

La série X 1

n!zⁿa un rayon de convergence infini, donc pour tout x∈C, on a :

+∞

X

n=0

2n−1 n! xⁿ= 2

+∞

X

n=0

n n!xⁿ−

+∞

X

n=0

1

n!xⁿ= 2x

+∞

X

n=1

1

(n−1)!xⁿ⁻¹−e^x= (2x−1)e^x. 2. X

n≥1

1 ne⁻ⁿxⁿ On a : ne⁻ⁿ⁻¹

(n+ 1)e⁻ⁿ ∼

+∞e⁻¹, donc d’après la règle de d’Alembert, le rayon de convergence est e.

Pour x∈]−e,e[, on a :

+∞

X

n=1

(e⁻¹x)ⁿ

n =−ln 1−e⁻¹x .

Spé PT B CB4 - 2018-2019

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EXERCICE 3

Donner les développements en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes, et préciser les rayons de convergence :

1. x7→ 1 2x²−3 Pour x /∈

(

− r3

2, r3

2 )

, 1

2x²−3 = −1 3 1−²₃x². La série X

xⁿ a pour rayon de convergence 1, et pour toutx∈]−1,1[,

+∞

X

n=0

xⁿ= 1 1−x; on en déduit que pour x∈

#

− r3

2, r3

2

"

, on a : 1

2x²−3 = −1 3

+∞

X

n=0

2x² 3

n

=

+∞

X

n=0

−2ⁿx²ⁿ 3ⁿ⁺¹ . De plus, la série diverge pour |x|>

r3

2, donc le rayon de convergence est r3

2. 2. x7→ln x²+ 4x+ 4

Pour x∈]−2,2[,ln x²+ 4x+ 4

= ln(2 +x)²= 2 ln 2

1 +x 2

= 2 ln(2) + 2 ln 1 +x

2

. La série X(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n a pour rayon de convergence 1, et pour tout x∈]−1,1[,

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n = ln(1 +x);

on en déduit que pour x∈]−2,2[,ln x²+ 4x+ 4

= 2 ln(2) +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ n2ⁿ⁻¹ . De plus, la série diverge pour |x|>2, donc le rayon de convergence est 2.

Spé PT B CB4 - 2018-2019