St. Joseph/ICAM Toulouse CB4 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦4 - Séries entières - Sujet 1
EXERCICE 1
Déterminer les rayons de convergence,notés R, des séries entières suivantes : 1. X
n≥1
lnn n zn
On a : ln(n+ 1) n+ 1 × n
lnn ∼
n→+∞1. D’après le critère de d’Alembert, on a doncR = 1.
2. X
n≥0
sinπ 2n
zn On a : ∀n ∈N,
sinπ
2n ≤1.
Le rayon de convergence de la série X
zn étant 1, par comparaison : R≥1.
De plus, la série X
n≥0
sinπ 2n
est grossièrement divergente, doncR ≤1.
En conclusion,R = 1.
3. X
n≥0
n3z3n
On a : ∀n ≥1,∀z ∈C∗,
(n+ 1)3z3n+3 n3z3n
n→+∞∼ |z3|.
Le critère de d’Alembert (pour les séries numériques), donneX
n≥0
n3z3nabsolument conver- gente si |z3|<1 (c’est-à-dire |z|<1, donc R ≥1), et X
n≥0
n3z3n non absolument conver- gente si |z3|>1(c’est-à-dire |z|>1, donc R≤1).
Finalement, R= 1.
4. X
n≥1
e
√1 n −1
zn
On a : e
√1
n −1 ∼
n→+∞
√1
n ; ∀n ≥1,
√n
√n+ 1 ∼
n→+∞1. Le critère de d’Alembert donne le rayon de convergence de la série X
n≥1
√1
nzn égal à 1. Par comparaison,R = 1.
5. X
n≥0
(2n−3n)zn On a : |2n−3n| ∼
n→+∞3n. Le rayon de convergence de la série X
n≥0
3nzn est 1
3 (c’est une série géométrique qui converge absolument si|3z|<1et diverge si |3z|>1).
Par comparaison, R = 1 3.
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EXERCICE 2
Déterminer les rayons de convergence,notés R, et les sommes des séries entières suivantes : 1. X
n≥0
2nzn
Pourz ∈C∗, X
n≥0
2nzn est une série géométrique, qui converge absolument si |2z|<1, et diverge si |2z|>1. On a donc R= 1
2. Pour tout z ∈C, tel que |z|< 1
2, on a :
+∞
X
n=0
2nzn= 1 1−2z. 2. X
n≥0
2n+ 1 n! zn On a : 2n+ 3
(n+ 1)! × n!
2n+ 1 ∼
n→+∞
1
n. Le critère de d’Alembert donne donc R= +∞.
Soit p∈N.∀z ∈C,
p
X
n=0
2n+ 1 n! zn =
p
X
n=1
2zn (n−1)! +
p
X
n=0
zn n! = 2z
p−1
X
n=0
zn n! +
p
X
n=0
zn n!. Sachant que pour toutz ∈C,
+∞
X
n=0
zn
n! =ez, on obtient, par passage à la limite : (p→+∞) ∀z ∈C,
+∞
X
n=0
2n+ 1
n! zn =ez(2z+ 1).
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CB n
◦4 - Séries entières - Sujet 2
EXERCICE 1
Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :
1. X
n≥2
n lnnzn On a : n+ 1
ln(n+ 1) × lnn
n ∼
n→+∞1. D’après le critère de d’Alembert, on a doncR = 1.
2. X
n≥0
cos π
2n
zn On a : ∀n ∈N,
cosπ
2n ≤1.
Le rayon de convergence de la série X
zn étant 1, par comparaison : R≥1.
De plus, la série X
n≥0
cosπ 2n
est grossièrement divergente, doncR ≤1.
En conclusion,R = 1.
3. X
n≥0
n2z2n
On a : ∀n ≥1,∀z ∈C∗,
(n+ 1)2z2n+2 n2z2n
n→+∞∼ |z2|.
Le critère de d’Alembert (pour les séries numériques), donneX
n≥0
n2z2nabsolument conver- gente si |z2|<1 (c’est-à-dire |z|<1, donc R ≥1), et X
n≥0
n2z2n non absolument conver- gente si |z2|>1(c’est-à-dire |z|>1, donc R≤1).
Finalement, R= 1.
4. X
n≥0
e
√nzn
La série X
n≥0
e
√n
est grossièrement divergente, donc R≤1.
Soit r ∈]0,1[. e
√nrn = en
lnr+√1
n
n→+∞−→ 0 (car lnr < 0). Donc la suite e
√nrn est bornée. On en déduit que R≥1.
En conclusion,R = 1.
5. X
n≥2
(−1)n+ 1 2n
zn On a :
(−1)n+ 1 2n
n→+∞∼ 1. Donc, par comparaison, R = 1.
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EXERCICE 2
Déterminer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes :
1. X
n≥0
3nzn
Pourz ∈C∗, X
n≥0
3nzn est une série géométrique, qui converge absolument si |3z|<1, et diverge si |3z|>1. On a donc R= 1
3. Pour tout z ∈C, tel que |z|< 1
3, on a :
+∞
X
n=0
3nzn= 1 1−3z. 2. X
n≥0
3n−1 n! zn On a : 3n+ 2
(n+ 1)! × n!
3n−1 ∼
n→+∞
1
n. Le critère de d’Alembert donne donc R = +∞.
Soit p∈N.∀z ∈C,
p
X
n=0
3n−1 n! zn =
p
X
n=1
3zn (n−1)! −
p
X
n=0
zn n! = 3z
p−1
X
n=0
zn n! −
p
X
n=0
zn n!. Sachant que pour toutz ∈C,
+∞
X
n=0
zn
n! =ez, on obtient, par passage à la limite : (p→+∞) ∀z ∈C,
+∞
X
n=0
3n−1
n! zn=ez(3z−1).
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