4 - Séries entières - Sujet 1

(1)

St. Joseph/ICAM Toulouse CB4 - 2019-2020 - Correction

CB n

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4 - Séries entières - Sujet 1

EXERCICE 1

Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

1. Xn³ n!zⁿ On a :

(n+ 1)³n!

n³(n+ 1)!

∼ 1

n −→

n→+∞0. La règle de d’Alembert donne le rayon de convergence égal à+∞.

2. X

e⁻³ⁿz²ⁿ On a : ∀z∈C^∗,

e^−3(n+1)z²⁽ⁿ⁺¹⁾ e⁻³ⁿz²ⁿ

=e⁻³|z|².

D’après le critère de d’Alembert, si |z²|e⁻³ < 1 (c’est-à-dire |z| < e³²), alors la série est absolument convergente et si|z²|e⁻³>1(c’est-à-dire |z|>e³²) la série est divergente.

On en déduit que le rayon de convergence est e³² 3. X

1 + 1

√n n

zⁿ Soitr >0; on a :

1 + 1

√n

r n

=eⁿ

ln(r)+ln

1+^√¹_n

=eⁿ

ln(r)+^√¹_n+o √1

n

. Ainsi, la suite

1 + 1

√n n

rⁿ

est bornée si et seulement si r <1 (sinon elle a pour limite+∞).

On en déduit que le rayon de convergence de la série est 1.

4. X 1 2ⁿzⁿ²

Soitr >0; on a : 1

2ⁿrⁿ² =eⁿ

2

(ln(r)−^ln(2)_n

. Ainsi, la suite

1 2ⁿrⁿ²

est bornée si et seulement si r≤1 (sinon elle a pour limite+∞).

EXERCICE 2

Déterminer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes :

1. X

n≥1

2ⁿ nxⁿ

La règle de d’Alembert donne immédiatement un rayon de convergence égal à 1

2, et d’après le cours,

+∞

X

n=1

(2x)ⁿ

n =−ln(1−2x).

2. X

n≥0

2n²−1 n! xⁿ

La règle de d’Alembert donne immédiatement un rayon de convergence égal à +∞.

Pour tout entiern, on a : 2n²−1

n! = 2n(n−1) + 2n−1

n! .

Spé PT B Page 1 sur 4

(2)

Le rayon de convergence de la sérieXxⁿ

n! est +∞, ainsi, pour tout réelx, on a :

+∞

X

n=0

2n²−1 n! xⁿ=

+∞

X

n=2

2xⁿ (n−2)!+

+∞

X

n=1

2xⁿ (n−1)! −

+∞

X

n=0

xⁿ

n! = (2x²+ 2x−1)e^x.

EXERCICE 3

Donner les développements en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes, et préciser les rayons de convergence :

1. x7→ 1 2 +x²

Pour tout réel xtel que x²

2 <1, c’est-à-dire|x|<√

2, on a d’après le cours :

1

2 +x² = 1 2

+∞

X

n=0

(−x²)ⁿ 2ⁿ =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2ⁿ⁺¹ x²ⁿ.

Le critère de d’Alembert pour les séries numériques donne la convergence de la série pour|x|<

√ 2et la divergence pour|x|>√

2, ce qui donne une rayon de convergence égal à √ 2.

2. x7→ln(2x²−7x+ 3)

Pour tout réel x, on a :2x²−7x+ 3 = (3−x)(1−2x) = 3

1−x 3

(1−2x).

Ainsi, pour toutx∈

−1 2,1

2

, on a d’après le cours : ln(2x²−7x+ 3) = ln(3) + ln

1−x 3

+ ln(1−2x) = ln 3−

+∞

X

n=1

1 3ⁿ + 2ⁿ

xⁿ n. De plus,

1 3ⁿ + 2ⁿ

∼2ⁿ, donc la série a le même rayon de convergence que la série X2ⁿxⁿ n ; la règle de d’Alembert donne immédiatement ce rayon égal à 1

2.

(3)

CB n

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4 - Séries entières - Sujet 2

EXERCICE 1

Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

1. Xeⁿ n!zⁿ On a :

eⁿ⁺¹n!

eⁿ(n+ 1)!

∼ e

n −→

n→+∞0. La règle de d’Alembert donne le rayon de convergence égal à+∞.

2. X e²ⁿz³ⁿ On a : ∀z∈C^∗,

e²⁽ⁿ⁺¹⁾z³⁽ⁿ⁺¹⁾ e²ⁿz³ⁿ

=e²|z|³.

D’après le critère de d’Alembert, si |z³|e² < 1 (c’est-à-dire |z| < e⁻²³), alors la série est absolument convergente et si|z³|e²>1(c’est-à-dire |z|>e⁻²³) la série est divergente.

On en déduit que le rayon de convergence est e⁻²³ 3. X

1− 2

√n n

zⁿ Soitr >0; on a :

1− 2

√n

r n

=eⁿ

ln(r)+ln 1−^√²

n

=eⁿ

ln(r)−^√²

n+o

√1 n

. Ainsi, la suite

1− 2

√n n

rⁿ

4. X 1 3ⁿzⁿ³

Soitr >0; On a : 1

3ⁿrⁿ³ =eⁿ³

(ln(r)−^ln(3)

n2

. Ainsi, la suite

1 3ⁿrⁿ³

EXERCICE 2

Déterminer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes :

1. X

n≥1

3ⁿ nxⁿ

La règle de d’Alembert donne immédiatement un rayon de convergence égal à 1

3, et d’après le cours,

+∞

X

n=1

(3x)ⁿ

n =−ln(1−3x).

2. X

n≥0

2−n² n! xⁿ

La règle de d’Alembert donne immédiatement un rayon de convergence égal à +∞.

Pour tout entiern, on a : 2−n²

n! = −n(n−1)−n+ 2

n! .

(4)

Le rayon de convergence de la sérieXxⁿ

n! est +∞, ainsi, pour tout réelx, on a :

+∞

X

n=0

2−n²

n! xⁿ=−

+∞

X

n=2

xⁿ (n−2)! −

+∞

X

n=1

xⁿ (n−1)!+

+∞

X

n=0

xⁿ

n! = (−x²−x+ 2)e^x.

EXERCICE 3

Donner les développements en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes, et préciser les rayons de convergence :

1. x7→ 1 2−x³

Pour tout réel xtel que

x³ 2

<1, c’est-à-dire|x|< √³

2, on a d’après le cours :

1

2−x³ = 1 2

+∞

X

n=0

x³ 2

n

=

+∞

X

n=0

x³ⁿ 2ⁿ⁺¹.

Le critère de d’Alembert pour les séries numériques donne la convergence de la série pour|x|<√³ 2et la divergence pour|x|>√³

2, ce qui donne une rayon de convergence égal à √³ 2.

2. x7→ln(3x²−5x+ 2)

Pour tout réel x, on a :3x²−5x+ 2 = (1−x)(2−3x) = 2(1−x)

1−3x 2

. Ainsi, pour toutx∈

−2 3,2

3

, on a : ln(3x²−5x+ 2) = ln(2) + ln(1−x) + ln

1−3

2x

= ln 2−

+∞

X

n=1

3 2

n

+ 1 xⁿ

n . De plus,

3 2

n

+ 1

∼ 3

2 n

, donc la série a le même rayon de convergence que la sérieX ³₂ n

xⁿ

n ;

la règle de d’Alembert donne immédiatement ce rayon égal à 2 3.