Séries entières 1

Séries entières

1 Soit S(x)=



^

0 3

)!

3

p (

p

p

x . Domaine de définition de S ? Trouver une EDL simple vérifiée par S.

2 Soit u_n(x) =

) 1 2 )(

1 2 (

) 1

( ^{2 1}





 ^

n n

x ⁿ

n

et f(x) =



^

0

) (

n n x

u . RDCV ? Exprimer f à l'aide de fonctions usuelles, puis calculer



^

 



0 4 ² 1

) 1 (

n

n

n . On trouve

4 2 1_

 .

3 Soit u(x) = ^{2 1}

0 !2 ) 1

( _





 ^{ n} n

n n

n x et v(x) =



^

0

2

!² 4

1

n

n

n x

n a Montrer que les deux RDCV sont infinis.

b Exprimer u(x) à l'aide de fonctions usuelles.

c Justifier l'existence et calculer



0^u(x)v(x)dx 4 Soit f(x) =



0²1_ sin²



t x

dt . Trouver I = def( f ). Montrer que f est C sur I.

Etudier le DSE de f, calculer f(x).

5 Soit f(x) =



0^/2ln(1^xcost)dt ; étudier le domaine de définition I, le DSE, la continuité de f sur I.

6 Soit a_n=



 n

k 0 k!

1 ; soit f(x) =



^

0 n

n nx

a ; déterminer le RDCV, puis calculer f(x). 7 Soit I_n le nombre d'involutions de {1,...,n } ; montrer que I_n1 = I_n nI_n1. Soit a_n =

! n I_n

et f(x) =



^

0 n

n nx

a . RDCV et somme ? (Utiliser une EDL).

8 Soit a_n =



^

_n 

k k(k n)

1 ; existence, équivalent de a_n? Soit f(x)=



^

1 n

n nx

a . R ? Etude en R^ et R^.

9 Montrer que si z < 1,



^

1 1

n

n n

z z

n =



^

1  )2

1

n (

n n

z z .

10 u_n1= 3u_n2v_n, v_n1 = 2u_n 2v_n. Calculer f(x) =



^

0

n xn

n u

! . 11 Soit f(x) =



^

 



1

) 1 (

n

n

x

n . Montrer que f est continue, C^ sur I = ] 1 , +[, puis DSE. R ? 12 Soit f(x) =



1^ _^ dt

t x

e ^t

, g(x) =



1^ x t² dt

 . Etude, DSE, RDCV ? 13 Soit a_n =



0²cos



dt

nt

. Existence, calcul et équivalent en R^ de f(x) =



^

0 n

n nx a ?

14 DSE de f(x) =

² 1

1 x x

 ? On peut utiliser ₃ 1

1

x . DSE de f(x) = e^xsinx ? 15 Soit ( p_n) ℕ^ℕ telle que no(p_n) ; soit f(x) =



^

0 n

p_n

x ; RDCV ? Montrer que lim (1 ) ( )

1

x f x

x

 

 = 0.

16 Soit f(x) =

) ( 1

1 x

sh . Montrer que f est DSE et préciser le rayon.

17 Soit d_n le nombre de diviseurs de n, et f(x) =



^

1 n

n nx

d . R ? montrer que si x < R, f(x) =



^

₁1

n

n n

x x ; trouver un équivalent de



 n

k

dk 1

; en déduire un équivalent de f en 1. Autre méthode ?

18 Soit r_n le plus petit des modules des racines dans ℂ de P_n =



 n

k k

k X

0 ! . Lim r_n ?

19 On note P = sup{ P(z) / z = 1}. Montrer qu'il s'agit d'une norme sur E = ℂ[X]. Montrer que :

 P E, P(0)  P ( utiliser



0^2 P(e^it)dt) ; cas d’égalité ? Montrer que si z < 1, P(z)  P en remarquant que sup P est atteint sur le disque fermé.

Montrer que :  Pℂd[X],  z  ℂ, P(z)  P . 20 Montrer que :  xℝ,



0^e^t2sin(2tx)dt = ^ex



0^{xet dt}

2

2 . DSE de cette fonction ?

21 Montrer que sin ne coincide avec une fonction rationnelle sur aucun intervalle I non réduit à un point.

(commencer par le cas où 0  I ).

22 Soit a_n=



0¹ _ 2) (1 dt

t t _n

et f(x)=



^

0 n

n nx

a ; montrer que a_n≤ _n 2

1 ; que peut-on en déduire pour le RDCV R ? Déterminer R, puis calculer f(x). Déterminer ⁿ _n

n a

lim et retrouver la valeur de R.

23 0 < a < 1. Soit f(x) =



^

0

) (

n

nx a

sh . Montrer que f est C^ sur ℝ. Etablir que f est DSE au voisinage de 0.

Préciser ce développement et son intervalle de validité.

24 Soit  > 0 ; montrer que l'équation suivante admet une unique solution DSE sur



^1,1



^:



  

 ²

' y xy

xy = 0 ; montrer que cette solution vérifie y(x) = ) 1 ( 1 O x

 au voisinage de 1.

25 Soit f(z) =



^

0 n

n nz

a fonction définie sur ℂ. On suppose que :

 k > 0,  n ℕ,  r > 0,  z ℂ, z  r  f(z)  kzⁿ. Montrer que f est polynomiale.

Même question avec | Re f(z)|  kzⁿ, puis Re f(z)  kzⁿ. ) , 1 max( z ^d