Primitives et lien avec l’intégrale
I- Notion de primitive d’une fonction sur un intervalle
1) Exemples et définition a) Exemples
Soitf et F les fonctions définies surRparf(x) = 9x2−1 et F(x) = 3x3−x+ 5.
Vérifier que pour toutx∈R, F0(x) =f(x)
Soith(x) = 2x−1, trouver une fonction H(x) qui vérifie H0(x) =h(x).
Peut-on en trouver d’autres ?
b) Définition
Soitf une fonction définie sur un intervalle I deR.
On appelle primitive def sur I toute fonction F dérivable sur I telle que, pour toutxde I, F0(x) =f(x).
Définition
c) Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Théorème Existence (admis)
II- Ensemble des primitives
1) Propriété
Si F est une primitive def sur un intervalle I alors tout autre primitive G def est de la forme G(x) = F(x) +k oùk∈R.
Propriété Ensemble des primitives
Exemple
Soitf la fonction dérivable surRdéfinie parf(x) = 3x2−2x+ 6 Déterminer l’ensemble des primitives def.
2) Conditions initiales
Soitf est une fonction dérivable sur un intervalle I,x0∈I ety0∈R.
Parmi les primitives def il existe une et une seule primitive F def vérifiant F(x0) =y0.
Théorème Unicité
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Exemple
Parmi les primitives de l’exemple précédent déterminer l’unique primitive F def vérifiant F(2) = 5.
III- Primitives des fonctions usuelles
La fonctionf définie parf(x) = admet pour primitive F définie par F(x) sur l’intervalle I =
k(fonction constante) kx R
x 12x2 R
x2 13x3 R
x3 14x4 R
xn,n entier naturel 1nxn+1 R
ex ex R
1
x2 −1
x ]− ∞; 0[∪]0; +∞[
1
xn,n entier naturel supérieur à 2 − 1
(n−1)xn−1 ]− ∞; 0[∪]0; +∞[
√1
x 2√
x ]0; +∞[
cosx sinx R
sinx −cosx R
f(x) = 1 + tan2x= 1
cos2x F(x) = tanx ]−π
2+ 2kπ;π2+ 2kπ[k∈Z
1
x ln|x| ]− ∞; 0[∪]0; +∞[
IV- Conséquences des théorèmes de dérivations
a) Primitives deu+vet deku.
Soit U une primitive d’une fonctionusur u intervalle I
Soit V une primitive d’une fonctionvsur I etkun nombre réel.
Alors U + V est une primitive deu+vetkU est une primitive deku.
Théorème
Exemple
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle précisé : 1) f(x) =x2+x−4, surR
2) g(x) = 8x−2x3+ 5, surR 3) h(x) = 1−cosx, surR.
4) c(x) =4 x+ 3
x2, sur ]0; +∞[
b) Resumé
udésigne une fonction dérivable sur un intervalle I.
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La fonctionf définie parf = admet pour primitive F = conditions suru
u0×eu eu
u0u 12u2
u0un,n∈N n+11 un+1
u0
√
u 2√
u uest strictement positive sur I.
u0
u lnu uest strictement positive sur I.
u0
un,n entier naturel supérieur à 2 − 1
(n−1)un−1 une s’annule pas sur I.
cos(ax+b) 1asin(ax+b)
sin(ax+b) −1
acos(ax+b) Exemple
Déterminer une primitive sur I de la fonctionf dans chacun des cas suivants :
1) a) f(x) = 2x(x2+ 3),I =R. b) f(x) = cosxsinx, I =R. c) f(x) =lnxx, I =R.
2) a) f(x) = 2x(x2−1)3, I =R. b) f(x) = (x+ 1)(x2+ 2x−3)4, I =R. c) f(x) = (5x+ 4)3, I =R.
3) f(x) =√ 3
3x−6 , I =]2; +∞[.
4) f(x) = 2x+ 2 cos(2x)−6 sin(3x−1), I =R 5) f(x) = 4x−2
x2−x+ 3, I =R
V- Intégrales et primitives
Soitf une fonction continue sur un intervalle I eta∈I.
La fonction F définie sur I par
F(x) = Z x
a
f(t) dt est l’unique primitive def sur I qui s’annule ena.
Théorème
Exemple
Zx 0
2texp t2
dt= exp x2
−1.
Soitf une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive def sur I. Pour tous réelsaetbde I, on a : Z b
a
f(t) dt= F(b)−F(a). Propriété
Exemple
Calculer les intégrales suivantes : 1) I =
Ze 1
1 2x+ 1dx.
2) J = Z 1
0
e−nxdx , n∈N∗.
3) K = Z 1
0
(3x3−4x2+ 6x−1)dx.
4) L = Z 4
3
4x−6 x2−3x+ 1dx.
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