Chapitre XI : Intégration et primitive I- Notion d'intégrale sur un intervalle :

Chapitre XI : Intégration et primitive

I- Notion d'intégrale sur un intervalle :

1. Fonctions en escalier :

a . Soit f :[a , b]ℝune fonction constante sur]a ,b[

( c'est à dire qu'il existe un réel k tel que pour toutx∈]a , b[, f x=k ) alors on appelle intégrale de f sur [a , b]le réel notéI_{[a , b]}f=

∫

a b

f xdx=b−a×k Interprétation géométrique :

Si k0, alors

∫

a b

fxdxest l'aire, dans l'unité d'aire choisie, du rectangle de longueur (b-a) et de largeur k .

Si k0, alors

∫

a b

fxdxest l'opposé de l'aire, dans l'unité d'aire choisie, du rectangle de longueur (b-a) et de largeur k .

b . Soit f une fonction en escalier sur [a,b] :

( c'est à dire qu'il existe une subdivision a=x₁ x₂ x₃ ⋯x_n=btelle que sur chaque intervalle ]x_i, x_i1[, 1 in−1, il existe un réel k_i tel que pour toutx∈]x_i, x_i1[, f x=k_i )

alors l'intégrale de f sur [a , b]est le réel I_{[a ,b]} f=

∫

a b

f xdx=

∑

i=1

n−1x_i1−x_i×k_i. Interprétation géométrique :

∫

fxdxest la somme des aires algébriques, dans l'unité d'aire choisie, des rectangles de longueur x_i1−x_i et de largeur k_i.

Aires algébriques : On compte positivement les aires géométriques lorsque^ki0et négativement lorsque^ki0.

Remarque :

∫

a b

fxdxpeut être notée

∫

a b

ftdt. La variable d'intégration x ou t est une variable muette comme i, j ou k dans une somme Σ.

2. Intégrale d'une fonction continue :

Soit f une fonction continue sur[a , b], alors il existe deux suites de fonctions en escaliersg_n eth_n telles que :

• ∀n∈ℕ, ∀t∈[a , b] , g_ntfth_nt.

• lim

n∞ Ig_n=lim

n∞ Ih_n=l, avec l indépendant des suites g_neth_n. Interprétation géométrique :

Définition 1 : Cette limite commune est l'intégrale

∫

a b

fxdxde f sur [a , b]. Interprétation géométrique :

∫

fxdxest l'aire algébrique, dans l'unité d'aire choisie, de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses, et les deux droites d'équation x=aetx=b.

II- Propriétés des intégrales :

Définition 2 : Par convention a .

∫

a b

fxdx=−

∫

b a

f xdx. b .

∫

a a

fxdx=0

Théorème 1 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, alors pour tout a , b et c de I on a :

∫

fxdx

∫

c b

f xdx=

∫

a b

f xdx Cette relation est appelée relation de Chasles.

Interprétation graphique

Cas particuliers : Soit a un réel et f une fonction définie et continue sur [-a , a] alors dans le cas où f est impaire :

∫

−a a

f xdx=0. dans le cas où f est paire :

∫

−a a

f xdx=2

∫

0 a

f xdx Théorème 2 : (linéarité de l'intégrale).

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a , b] etun réel, alors a .

∫

a b

 f xdx=

∫

a b

fxdx b .

∫

a b

fxgxdx=

∫

a b

f xdx

∫

a b

gxdx

Propriété 1 : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I.

a . Siabet∀x∈[a , b], f x0alors

∫

a b

fxdx0. b . Siabet∀x∈[a , b], f xgxalors

∫

a b

fxdx

∫

a b

gxdx. Démonstration du b . :

Propriété 2 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels queab. S'il existe deux réels m et M tels que ∀x∈[a , b], mfxMalors :

mb−a

∫

a b

f xdxMb−a. Démonstration :

Interprétation graphique :

Théorème 3 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels quea≠b. Alors il existe un réel c compris entre a et b tel que :

∫

fxdx=b−af c. Le réel 1

b−a

∫

a b

f xdxest appelé valeur moyenne de f entre a et b . Démonstration :

III – Primitives :

Définition 3 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I, telle que : ∀x∈I , F 'x=f x

Théorème 4 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives sur I. Toute autre primitive G de f sur I est définie par :

Gx=Fxk où k est un réel quelconque.

Démonstration :

Corollaire 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que f admette une primitive sur I.

Soit^x0 ∈Iet y₀ ∈ℝ, alors il existe une unique primitive G de f sur I telle que Gx₀=y_O. Démonstration :

Théorème 5 : (admis) Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Théorème 6 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a un réel de I, alors la fonction F définie sur I par : Fx=

∫

a x

f tdtest l'unique primitive de f sur I telle que F(a) = 0.

Démonstration :

IV – Calculs de primitives :

Théorème 7 : Si F et G sont deux primitives de deux fonctions f et g, alors : a . F + G est une primitive de f + g .

b . ∀ ∈ℝ, Fest une primitive de f. Tableau des primitives : k est un réel quelconque

Fonctions usuelles )

(x

f F(x) F est définie sur

1 xk _ℝ

xⁿ, n≠−1 x^n1

n1k ^ℝ si n > -1

ℝ^+* ou ℝ^-*si n < -1 1





1 x

lnxksi x > 0

ln−xksi x < 0 ℝ^+* ou ℝ^-*

e^x e^xk ℝ

cosx sinxk _ℝ

sinx ^x21−cosxk ℝ

1 tan² x ^tanxk ]−

2 k; 

k [, k∈ℝ

V-Calculs d'intégrales :

Théorème 8 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, F une primitive quelconque de f sur I, a et b deux réels de I, alors le réel F(b)-F(a) est indépendant de la primitive choisie et on a :

∫

fxdx=Fb−Fa=

[

]

Démonstration de l'indépendance (voir activité pour le lien primitive-intégrale):

Exemples : Calculer les intégrales suivantes : 1 .

∫

0 1

x²−3x4dx 2 .

∫

0

 4

tanx dx 3 .

∫

0 1

xe^x2dx. Théorème d'intégration par parties 9 :

Soient u et v deux fonctions dérivables dont les dérivées u ' et v ' sont continues sur un intervalle I.

Alors pour tout couple (a , b) de réel de I, on a :

∫

u 'xvxdx=

[

]

∫

a b

uxv 'xdx Démonstration :

Exemples : Calculer les intégrales suivantes :

1 .

∫

∫

∫