Intégration sur un intervalle quelconque
0 Rappels sur le lien entre intégrales et primitives pour les fonctions continues
Proposition 1. [étude de x7!
Z
a x
f(t) dt]
On considère un intervalleI, une fonction continuef:I!Cet un pointa2I.
Alors la fonction Fdéfinie sur IparF(x) = Z
a x
f(t) dt est une primitive def.
Proposition 2. [théorème fondamental]
On considère un segment [a; b]de R.
SiF: [a; b]!C est une primitive d'une fonction continuef: [a; b]!C, on a : Z
a b
f(t) dt=F(b)¡F(a):
Proposition 3. [intégration par changement de variable]
SoientIun intervalle et [; ]un segment de R.
Si': [; ]!Iest de classe C1 et sif:I!C est continue, alors on a : Z
f('(t))'0(t) dt= Z
'() '()
f(u) du:
Démonstration. Repose sur[F(u)]'()'()= [F'(t)] :
SoitF une primitive de f surI, alorsF'est dérivableC1sur[; ]et(F')0= (f')'0. DoncR
f('(t))'0(t) dt=R
(F')0(t) dt=F'()¡F'() =F('())¡F('()) =R
'()
'()f(u) du.
Remarque. S'utilise de deux manières.
1. Pour calculer une intégrale se présentant sous la forme :Z
f('(t))'0(t) dt.
On remplace directement les borneset par'()et '(), '(t)paruet l'expression '0(t) dtpardu.
2. A l'aide d'une fonction 'strictement monotone (c.à.d. bijective) bien choisie, pour calculerZ
a b
f(u) du.
On remplace les bornesaetb par'¡1(a)et '¡1(b),dupar '0(t) dtet upar '(t).
1 Intégration sur un segment : extension des résultats de PCSI
1.1 Fonctions continues par morceaux
Définition 1.1.1. fonction continue par morceaux sur un segment
Une applicationf: [a; b]!Kest dite continue par morceaux s'il existen2Net des réelsa=x0< x1< ::: < xn=b tels que la restriction de fà chaque intervalle ]xi; xi+1[est continue et prolongeable par continuité à [xi;xi+1], i2J0;n¡1K.
L'ensemble fxig06i6n est appelé subdivision de [a;b] adaptée àf.
Proposition 1.1.2. Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.
Démonstration. Avec les notations précédentes, pour touti < n, fd]xi;xi+1[ est prolongeable en une fonction continue fi donc bornée sur le segment [xi; xi+1]. Soit alors mi un majorant de jfij et soit M =max(fmi; i2J0; n¡1Kg [ fjf(xi)j; i2J0; nKg). AlorsM est un majorant dejfj. Notation. L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a;b] sera notéCM([a;b];K).
Proposition 1.1.3. [structure de CM([a;b];K)]
CM([a;b];K)est un sous-espace vectoriel, stable par produit, de l'ensemble des applications de [a;b]dans K.
Définition 1.1.4. Fonction CM sur un intervalle quelconque
Une application f:I!K est dite continue par morceaux sur Ilorsqu'elle est continue par morceaux sur tout segment deI.
1.2 Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
Définition 1.2.1. Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
Soitf: [a; b]!Kcontinue par morceaux et soit =fx0; :::; xngune subdivision adaptée à f. Sii2J0; n¡1K on notefi le prolongement continu à [xi; xi+1]de la restriction de f à ]xi; xi+1[. Alors les nombres Z
xi xi+1
fisont parfaitement définis et leur somme est indépendante de la subdivision. On l'appelle intégrale sur le segment [a; b]de la fonction f et on note :
Z
a b
f=X
i=0 n¡1Z
xi
xi+1
fi
Démonstration. Idée : notonsI(f ; )la somme ci-dessus relativement à.
si=fxig et0sont deux subdivisions adaptées, alors=[0=fyjgest adaptée à f.
En posantfietfjles prolongements continus relatifs àet, pour toutj, ou bienyj2et doncfj(yj) =fi(xi) oùxi=yj, ou bienyj2/et donc yjest un point de continuité def. En recollant les morceaux par Chasles, on obtient l'égalité entreI(f ; )etI(f ; ). Par symétrie entreet 0,I(f ; 0) =I(f ; ) =I(f ; ).
Proposition 1.2.2. [fonction continue positive d'intégrale nulle]
Soitf: [a; b]!Rcontinue et positive telle queZ
a b
f(t) dt= 0. Alors, pour toutt2[a; b],f(t) = 0
A retenir :Le résultat ci-dessus est faux si l'on suppose seulement que f est continue par morceaux.
Proposition 1.2.3. [propriétés de l'intégrale]
On considère un segment [a; b]de R. Si ; 2K,c2[a; b] et sif ; g2 CM([a; b];K), on a : i. Linéarité de l'intégrale : Z
a b
( f+ g)(t) dt= Z
a b
f(t) dt+ Z
a b
g(t) dt:
ii. Relation de Chasles : Z
a b
f(t) dt= Z
a c
f(t) dt+ Z
c b
f(t) dt:
iii. Positivité et croissance : supposons b>a. Si f>0, alorsZ
a b
f(t) dt>0.
Sif>g, alorsZ
a b
f(t) dt>Z
a b
g(t) dt.
iv. Sia6b, jfj est continue par morceaux sur [a; b]et Z
a b
f(t) dt6Z
a b
jf(t)jdt6(b¡a)kfk1 [a;b]
:
Démonstration. Si=fx0; :::; xngune subdivision de[a; b]adaptée àf (resp. g), pour touti2J0; n¡1K, on note fi (resp. gi) le prolongement par continuité de f (resp. g) à[xi¡1; xi].
Les résultats reposent sur leurs analogues de PCSI sur les fonctions continues :
i. Considérons une subdivision de [a; b] adaptée à f et à g. Alors est adaptée à ( f + g) et R
a
b( f+ g) =P
k
R
xk xk+1
( f+ g) =P
k
R
xk xk+1
( fk+ gk) =P
k(R
xk xk+1
fk+R
xk xk+1
gk)
doncR
a
b( f+ g) =P
k
R
xk xk+1
fk+P
k
R
xk xk+1
gk=R
a bf+R
a bg.
On dit que f7!R
a
bf est une forme linéaire sur CM([a; b]).
ii. Il suffit de considérer une subdivision de[a; b]adaptée à f qui contientc.
Le résultat reste valable si, par exemple,a6b6c pour f2 CM([a; c]).
iii. Soit=fx0; :::; xng une subdivision de[a; b]adaptée à f. On a alors :R
a bf=P
k
R
xk xk+1
f=P
k
R
xk xk+1
fk. Par le théorème analogue de première année sur les fonctions continues, sif>0 alors il en va de même des fk et donc, pour toutk,R
xk
xk+1
fk>0. DoncR
a bf>0.
Puis, par linéarité,R
a bf¡R
a bg=R
a
b(f¡g)>0.
iv. Soit=fx0; :::; xng une subdivision de[a; b]adaptée à f. Alors, pour touti < n,limx
i+jfj=jlimx
i+fj= jfi(xi)jet, de même, sii >0,limx
i+1¡ jfj=limx
i+1¡ f=jfi(xi+1)jdoncjfjest bien continue par morceaux sur[a; b].
Il reste à remarquer que¡jfj6f6jfj et à appliquer le point précédent.
Proposition 1.2.4. [intégrale fonction de sa borne]
SoientIun intervalle de R,aun point de Ietf:I!K une fonction continue par morceaux surI.
Alors la fonction F:x7!
Z
a x
f(t) dt est continue sur I.
Démonstration. Soitx02Iet soit[; ]un segment inclus dansI, voisinage dex0dansI. Alorsf est continue par morceaux sur[; ]donc bornée sur ce segment. Pour tout x2[; ], le segment d'extrémitésxet x0est inclus dans[; ]et :
jF(x)¡F(x0)j= Z
a x
f¡ Z
a x0
f= Z
x0
x
f6 Z
x0
x
jfj6jx¡x0j kfk1
[;]! !!!!!!!!!!!x!x!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
0 0
Proposition 1.2.5. [changement de variable pour une fonction CMsur un segment]
Si ' est une bijection de classe C1 de [; ] sur [a; b] alors, pour toute fonction f 2 CM([a; b];K) f ' est continue par morceaux sur [; ] et
Z
'() '()
f= Z
(f')'0 soitZ
a b
f= Z
(f') j'0j Démonstration. Une telle bijection 'est nécessairement strictement monotone.
1er cas : si 'est (strictement) croissante.
Soit=fx0=a; :::; xn=bgune subdivision de[a; b]adaptée àf. Alors'¡1() =f'¡1(x0) =; :::; '¡1(xn) =g est une subdivision de [; ]et f' est continue sur chaque intervalle]'¡1(xi); '¡1(xi+1)[ ='¡1(]xi; xi+1[) de '¡1(). De plus, par continuité et croissance de ':
¡ sii2J1; nK,limt!'¡1(xi)¡f'(t) =limx!x
i¡f(x)
¡ sii2J0; n¡1K,limt!'¡1(xi)+f'(t) =limx!x
i+f(x)
Doncf'et (comme'0est continue)g= (f')'0sont continues par morceaux sur[; ]et la subdivision '¡1()de[; ]leur est adaptée.
Pour touti2J0; n¡1K, avec les notations usuelles, les prolongements continusfietgivérifientgi= (fi')'0 et, par le théorème de changement de variable pour une fonction continue sur un segment vu en PCSI,R
xi
xi+1fi= R
'¡1(xi) '¡1(xi+1)
(fi')'0. On a alors, entre autres par Chasles : Z
a b
f = X
i=0 n¡1Z
xi xi+1
f = X
i=0 n¡1Z
xi xi+1
fi
= X
i=0 n¡1Z
'¡1(xi) '¡1(xi+1)
(fi')'0
= X
i=0 n¡1Z
'¡1(xi) '¡1(xi+1)
(f')'0 = Z
(f')'0
Intégration sur un segment : extension des résultats de PCSI 3
2ème cas : si'est (strictement) décroissante, il faut changer les intervalles de '¡1()en : '¡1(]xi; xi+1[) = ]'¡1(xi+1); '¡1(xi)[
les limites à gauches de la composée f'donnent les limites à droite de f... Bref.
On trouveR
(f')'0=¡R
(f')'0=R
(f') j'0j.
2 Intégrales impropres convergentes
2.1 Intégrale impropre sur [a; b[
On a vu :
Définition 2.1.1. fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque
SoitIun intervalle quelconque de R. Une applicationf:I!Kest dite continue par morceaux surIlorsqu'elle est continue par morceaux sur tout segment de I.
Définition 2.1.2. Intégrale impropre convergente sur [a; b[
On considère un intervalle [a; b[de Roù b2R[ f+1g. Soit f2 CM([a; b[;K).
On dit que l'intégrale impropre de f est convergente sur [a; b[ si l'applicationF:x7!
Z
a x
f possède une limite dans K (donc finie) quandxtend versb. Dans ce cas, on note cette limite Z
a b
fouZ
[a;b[
f.
SiFn'a pas de limite dans K en b, on dit que l'intégrale est divergente.
Définition 2.1.3. Intégrale impropre convergente sur ]a; b[
On considère un intervalle ]a; b[de Roù a2R[ f¡1get b2R[ f+1g.
Soitf2 CM(]a; b[;K). On dit que l'intégrale impropre defest convergente sur ]a; b[ s'il existec2]a; b[tel que les intégrales Z
a c
f etZ
c b
fsoient toutes deux convergentes. Dans ce cas, on pose Z
a b
f= Z
a c
f+ Z
c b
f.
Sans perte de généralité, on considère un intervalle[a; b[deRoù¡1< a < b6+1.
2.2 Intégrales absolument convergentes, fonction intégrable
Proposition 2.2.1. [convergence de l'intégrale d'une fonction positive]
Soitf2 CM([a; b[;R)à valeurs positives.
AlorsZ
a b
f est convergente si et seulement si la fonction F:x7!
Z
a x
f est majorée.
Démonstration. Si x; y2[a; b[, x>y, F(x)¡F(y) = Z
y x
f>0 car f>0. Donc F est croissante et possède (limite monotone) une limite finie enbsi et seulement si elle est majorée.
Définition 2.2.2. Intégrale absolument convergente, intégrabilité Soitf2 CM([a; b[;K). L'intégrale impropreZ
a b
f est dite absolument convergente lorsqueZ
a b
jfjconverge.
On dit alors quef est intégrable sur [a; b[.
Proposition 2.2.3. [absolue convergence entraîne convergence]
Soitf2 CM([a; b[;K). Si Z
a b
fest absolument convergente, alors elle est convergente. Dans ce cas :
Z
a b
f6Z
a b
jfj
Démonstration.
a) Cas réel : Si Z
a b
f est absolument convergente, comme06f+jfj62jfj, la fonction x7!
Z
a x
(f+jfj) est croissante et majorée et donc l'intégraleZ
a x
(f+jfj), ainsi queZ
a b
f par linéarité, est convergente.
De plus, comme¡jfj6f6jfj,¡ Z
a b
jfj6Z
a b
f6Z
a b
jfjpar passage à la limite.
b) Cas complexe :
pour tousx; y2R,max(jxj;jyj)6px2+y2
=jx+ iyj. DoncjRe(f)j6jfjet jIm(f)j6jfj. SiZ
a b
jfj converge,Z
a b
jRe(f)jetZ
a b
jIm(f)j sont alors convergentes comme au a) par majoration.
Par le i.,Z
a b
Re(f)etZ
a b
Im(f) sont convergentes et doncZ
a b
f converge.
Par1.2.3-iv, pour toutx2[a; b[,jR
a xfj6R
a
xjfj. Il suffit alors de passer à la limite quandx!b.
Proposition 2.2.4. [convergence absolue et comparaison]
Soientf ; g2 CM([a; b[;R).
i. Si jfj6jgj et siZ
a b
gest absolument convergente alors Z
a b
f est absolument convergente.
c'est-à-dire : (jfj6jgj etg intégrable)) f intégrable ii. Sif=bO(g) et siZ
a b
g est absolument convergente alorsZ
a b
f est absolument convergente.
iii. Sifbgalors Z
a b
gest absolument convergente si et seulement siZ
a b
f est absolument convergente.
Démonstration.
i. Soient F:x7!
Z
a x
jfjet G:x7!
Z
a x
jgj. Alors 06F6Get donc si Gest majorée, F est majorée. On conclut par la proposition2.2.1.
ii. Il existeM >0et c2[a; b[tels que06jfj6M jgj sur[c; b[, on applique alors lei.
iii. Provient duii.
A retenir :comparaison aux intégrales de Riemann
1. Soit f une fonction continue par morceaux sur]0;1]et 2R.
a. Si <1et si f(t) =Ot!0¡1 t
alorsZ
0 1
f est absolument convergente.
b. Si 1t=Ot!0(f(t))alorsZ
0 1
f n'est pas absolument convergente.
2. Soit f une fonction continue par morceaux sur[1;+1[ et2R.
a. Si >1et si f(t) =Ot!+1¡1 t
alorsZ
1 +1
f est absolument convergente.
b. Si 1t=Ot!+1(f(t))alorsZ
1 +1
f n'est pas absolument convergente.
Définition 2.2.5. Intégrale semi-convergente On dit que l'intégrale Z
a b
f est semi-convergente lorsqu'elle est convergente mais pas absolument convergente.
Intégrales impropres convergentes 5
2.3 Propriétés de l'intégrale
Proposition 2.3.1. Sif est continue et intégrable surI et siZ
Ijfj= 0, alorsf est la fonction nulle.
Démonstration. Si[c; d][a; b[,06Z
c d
jfj6Z
a b
jfj= 0doncZ
c d
jfj= 0. Comme vu en première année, comme jfjest continue et de signe constant sur le segment[c; d],jfjest nulle sur[c; d].
Proposition 2.3.2. [changement de variable]
SoientIet Jdeux intervalles de Ret soit'une bijection de classe C1de JsurI.
Alors, pour toute fonctionf2 CM(I ;K), les intégrales Z
I
fetZ
J
(f') j'0j sont de même nature.
Elles sont égales lorsqu'elles convergent : Z
I
f= Z
J
(f') j'0j
Démonstration. Dans le cas oùJ= [; [ et 'est (strictement) croissante.
Dans ce cas,I= [a; b[ = ['();lim
'[ et réciproquement,'¡1est aussi croissante,='¡1(a)et =lim
b '¡1. Posons, pouru2I,F(u) =
Z
a u
f.
On sait que(f')'0 est continue par morceaux surJ. Six2J,Z
a '(x)
f= Z
x
(f')'0. SiZ
a b
f converge, comme '(x)x!! b, par composition, Z
x
(f')'= Z
a '(x)
f=F'(x)x!! lim
y!bF(y) =lim
y!b
Z
a y
f= Z
a b
f, doncZ
(f')'0converge etZ
(f')'0=lim
x!
Z
x
(f')'0= Z
a b
f. Réciproquement, siZ
(f')'0 converge, puisque lim
y!b'¡1(y) = : Z
a y
f= Z
'¡1(y)
(f')'0! !!!!!!!!!!!y!b!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Z
(f')'0 doncZ
a b
f converge.
Les deux intégrales convergent donc simultanément et sont égales lorsqu'elles existent.
Proposition 2.3.3. [intégration par parties]
Soientf ; g2 C1([a; b[;C). On suppose que f gpossède une limite finie enb.
Alors les intégrales impropresZ
a b
f0getZ
a b
f g0 sont de même nature. Lorsqu'elles convergent : Z
a b
f0g= [f g]ab
¡ Z
a b
f g0
Démonstration. Sur tout segment [a; x]de [a; b], on peut appliquer le théorème de première année. Il suffit
alors de passer à la limite lorsquex!b.
Proposition 2.3.4. [comparaison série/intégrale]
Soitf2 CM(R+;R)une fonction positive et décroissante.
Alors la série X
n>1
wnde terme général wn= Z
n¡1 n
f
¡f(n)est une série à termes positifs convergente et : f est intégrable sur R+ si et seulement si X
n>0
f(n)converge
Démonstration. On a (1) : f(n)6Z
n¡1 n
f 6f(n¡1) donc06wn6f(n¡1)¡f(n). DoncP
n>1wnest à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées :Sn6f(0)¡f(n)6f(0). Donc la sériePwnconverge.
D'autre part, la fonction x7!
Z
0 x
f est croissante. Elle est majorée si et seulement si la suiteZ
0 n
f
n2N
est majorée, c'est-à-dire lorsque les sommes partielles de la sérieX
n>1
Z
n¡1 n
f le sont, soit lorsque cette série converge.
Ce qui, par (1), équivaut àPf(n)converge.
2.4 Espaces vectoriels (normés) associés aux fonctions intégrables
On veut définir surCM(I ;K)comme surC([a; b])des normes du typekfk1I,kfk2Ià l'aide de l'intégrale impropre surI.
Proposition 2.4.1. [linéarité de l'intégrale]
L'ensemble L1(I ;K)des fonctions intégrables sur Iest un sous-espace vectoriel de CM(I ;K) et l'application f7!
Z
I
f est une forme linéaire surL1(I ;K).
Démonstration. L1(I ;K)est non vide et stable par combinaisons linéaires.
L'application f7!
Z
I
f est bien définie car l'absolue convergence entraîne la convergence.
Proposition 2.4.2. [espace vectoriel normé des fonctions continues intégrables sur I]
L'ensemble des fonctions continuesf:I!K (où K=Rou C) et intégrables sur Iforme un espace vectoriel normé par l'application k:k1, appelée norme de la convergence en moyenneet définie par :
kfk1= Z
Ijf(t)jdt:
Démonstration. C'est l'intersection deC(I ;K)et deL1(I ;K)donc un espace vectoriel.
sif2 C \ L1, et sikfk1= 0alorsjfjest continue positive d'intégrale nulle doncf= 0. Les autres axiomes d'une norme sont obtenus par passage à la limite dans les intégrales sur des segments (cf. chapitre e.v.n.).
Lemme 2.4.3. Le produit de deux fonctions continues de carré intégrable surI est intégrable surI.
Démonstration. Par majoration : on utilisejf gj612(jfj2+jgj2).
Définition 2.4.4. espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de carré intégrable L'ensemble des fonctions continues par morceauxf:I!K (où K=Rou C) et de carré intégrable surIforme un sous-espace vectoriel de CM(I ;K). On le noteraL2(I ;K).
Démonstration. C'est un s.e.v. de C(I ;K) : contient 0 et j f + gj262jj2jfj2+ 2 jj2jgj2 donc si
jfj2;jgj22 L1,j f+ gj22 L1.
Proposition 2.4.5. [espace vectoriel normé des fonctions continues de carré intégrable sur I]
On définit sur L2(I ;K)la norme de la convergence en moyenne quadratique : kfk2=
Z
Ijf(t)j2dt 1/2
Lorsque K=R, c'est la norme euclidienne associée au produit scalaire : hf ; gi=
Z
I
f(t)g(t) dt
Démonstration. Dans le cas réel, d'après le lemme, sif ; g2 L2, alors f g2 L1donchf ; giest bien défini.
Il reste à montrer que l'on a bien un produit scalaire. Dans le cas complexe, les axiomes d'une norme sont bien
vérifiés, en appliquant le cas réel àjfj.
Proposition 2.4.6. [inégalité de Cauchy-Schwarz]
Intégrales impropres convergentes 7
Sif etg sont continues de carré intégrable surI, Z
I
f g6kfk2I kgk2I
Démonstration. SiK=R, il s'agît de l'inégalité classique, si K=C, on applique l'inégalité précédente aux fonctions réellesjfjetjgj, ainsi quejR
If gj6R
Ijfj jgj.
3 Interversions limite-intégrale
3.1 Convergence dominée
Proposition 3.1.1. [théorème de convergence dominée - ADMIS]
Soit (fn)une suite de fonctions deCM(I ;K) convergeant simplement surIversf2 CM(I ;K).
S'il existe une fonction'intégrable surItelle que, pour tout n2N,jfnj6'(hypothèse de domination), alors les fonctionsfn etf sont intégrables sur I, la suite Z
I
fn
converge dans Ket l'on a : Z
I
f= lim
n!+1
Z
I
fn
Ce théorème peut aussi être appliqué à une série de fonctionsPun en posant fn=P
k=0
n uket f=P
k=0 +1uk.
3.2 Intégration terme à terme
Proposition 3.2.1. [intégration terme à terme - ADMIS]
Soit Pun une série de fonctions de L1(I ;K) qui converge simplement sur I. On suppose que : i. la fonction sommeX
n=0 +1
un est continue par morceaux surI ii. la série à termes réels positifs X Z
Ijunjconverge.
Alors la somme X
n=0 +1
un est intégrable surI, la série X Z
I
un converge etZ
I
X
n=0 +1
un
!
=X
n=0 +1Z
I
un
.
4 Intégrales dépendant d'un paramètre
4.1 Continuité et limites
Proposition 4.1.1. [continuité des intégrales à paramètre]
On considère deux intervallesIetJ de Ret une fonction f:IJ!C. On suppose : i. pour toutx2I, la fonction t7!f(x; t)est continue par morceaux sur J
ii. pour toutt2J, la fonctionx7!f(x; t)est continue sur I.
Si, de plus, il existe'2 L1(J ;R)telle que : 8(x; t)2IJ ; jf(x; t)j6'(t) (hypothèse de domination), alors la fonctiong:x7!
Z
J
f(x; t) dt est définie et continue surI.
Démonstration. (non exigible)
- Définition : pour toutx2I,f(x; :)2 CM(J ;K)etjf(x; :)j6'doncf(x; :)2 L1(J ;K)etgest bien définie surI.
- Continuité : soita2I, et(an)une suite deI qui converge versa.
On pose alorsfn=f(an; :)2 L1(J ;K)et l'on ajfnj6'.
Par continuité dex7!f(x; t), pour tout t2J, fn¡!CVSf(a; :)2 CM(J ;K).
Le théorème de convergence dominée montre alors queZ
J
fntend versZ
J
f(a; :)soit g(an)!g(a).
Extension : la continuité étant locale, on peut juste supposer la domination sur les segments K de I en remplaçant l'hypothèse par : pour tout segmentK, il existe 'K2 L1(J ;R) telle que 8(x; t)2KJ ; jf(x;
t)j6'K(t).
Le théorème prouve alors que g est définie et continue sur tout segmentK deI, donc surI.
Corollaire 4.1.2. [continuité dans le cas d'une fonctionf continue surI[a; b]]
On considère un intervalleIet un segmentJ= [a; b] de Ret une fonction continuef:I[a; b]!K.
Alors la fonction g:x7!
Z
a b
f(x; t) dtest définie et continue sur I.
Démonstration. Si K= [; ] est un segment de I, f est continue sur le fermé borné [; ][a; b] et on considère alors le réelM=sup[;][a;b]jfj et la fonction constante 'K définie sur[a; b]par'K(t) =M.
La fonction'Kest intégrable surJet les hypothèses de l'extension du théorème de continuité sont alors vérifiées : la fonctiong est définie et continue sur tout segment deI, donc surI.
4.2 Dérivabilité
Proposition 4.2.1. [dérivabilité des intégrales à paramètre - formule de Leibniz]
On considère deux intervallesIetJ de Ret une fonction f:IJ!C. On suppose : i. pour toutx2I, la fonction t7!f(x; t)est continue par morceaux et intégrable sur J
ii. pour toutt2J ; la fonction x7!f(x; t) est de classe C1 surI et vérifie : pour tout x2I, la fonction t7!@f@x(x; t)est continue par morceaux surJ.
iii. il existe '2 L1(J ;R) telle que : 8(x; t)2IJ ; j@f@x(x; t)j6'(t) (hypothèse de domination) alors la fonctiong:x7!
Z
J
f(x; t) dt est de classeC1surIet, pour tout x2I,g0(x) = Z
J
@f
@x(x; t) dt.
Démonstration. (non exigible)
Soita2I et(an)une suite deIn fagqui converge versa.
On pose alorshn=f(an; :)a ¡f(a; :)
n¡a 2 L1(J ;K)eth=@x@f(a; :). Par l'inégalité des A.F.,jhnj6'.
La suite(hn)converge simplement versh. On applique le théorème de convergence dominée à(hn)et on obtient que hest intégrable surJ et lim
n!+1
Z
J
hn= Z
J
h. La fonction g est donc bien dérivable en touta2I et on a g0(a) = lim
n!+1
g(an)¡g(a) an¡a = lim
n!+1
Z
J
f(an; t)¡f(a; t) an¡a dt=
Z
J
@f
@x(a; t) dt.
La fonctiong0vérifie alors les hypothèses du théorème de continuité précédent et gest de classeC1. Extension : la dérivabilité et la continuité étant locales, on peut juste supposer la domination sur tous les segmentsKdeI en remplaçant l'hypothèse par : pour tout segmentK, il existe 'K2 L1(J ;R)telle que 8(x;
t)2KJ ; j@f@x(x; t)j6'K(t).
Corollaire 4.2.2. [classe Ck]
Soitk2N et f:IJ!C une fonction qui possède des dérivées partielles @@xifi pour tout i2J0; kKvérifiant chacune toutes les hypothèses du théorème de continuité avec domination sur tout segment de I, alors g: x7!
Z
J
f(x; t) dt est de classeCk sur Iet, pour touti6ket toutx2I,g(i)(x) = Z
J
@if
@xi(x; t) dt.
On utilisera plutôt le résultat suivant, plus simple :
Intégrales dépendant d'un paramètre 9
Corollaire. (4.2.2:bis) (Admis) Soientk2N etf:IJ!C tels que :
¡ pour toutt2J, la fonctionx7!f(x; t)est de classeCk sur I
¡ pour touti2J0; k¡1K et toutx2I, la fonction t7!@@xifi(x; t)est intégrable surJ
¡ il existe une fonction'intégrable surJ telle que, pour tout (x; t)2IJ,@@xkfk(x; t)6'(t) Alors g:x7!
Z
J
f(x; t) dt est de classeCk surIet, pour touti6ket toutx2I,g(i)(x) = Z
J
@if
@xi(x; t) dt.
somme de série intégrale à parmaètre
S(x) =X
n=0 +1
un(x) g(x) =
Z
t2J
f(x; t) dt continuité
- pour toutn2N, la fonctionunest continue sur I - la série de fonctionsPunconverge uniformément sur I
alors la fonctionS:x7!X
n=0 +1
un(x)est définie et continue surI.
- pour toutx2I, la fonction t7!f(x; t) est continue par morceaux surJ
- pour toutt2J, la fonctionx7!f(x; t)est continue surI
- il existe '2 L1(J ;R)telle que :
8(x; t)2IJ ; jf(x; t)j6'(t) (domination) alors la fonction g: x 7!
Z
J
f(x; t) dt est définie et continue surI.
classe C1 - la sérieP
un converge simplement surI
- pour toutn2N, la fonctionun est de classeC1surI
- la sérieP
un0 converge uniformément surI
alors la fonctionS:x7!X
n=0 +1
un(x)est de classeC1sur I et, pour tout x2I,S0(x) =X
n=0 +1
un0(x).
- pour toutx2I, la fonction t7!f(x; t) est continue par morceaux et intégrable surJ
- pour toutt2J ;la fonctionx7!f(x; t)est de classeC1 surI et vérifie : pour toutx2I, la fonctiont7!@x@f(x;
t)est continue par morceaux surJ. - il existe '2 L1(J ;R)telle que :
8(x; t)2IJ ; j@f
@x(x; t)j6'(t) (domination) alors la fonctiong:x7!
Z
J
f(x; t) dtest de classeC1sur I et, pour toutx2I,g0(x) =
Z
J
@f
@x(x; t) dt.
classe Ck - pour toutn2N, la fonctionunest de classeCksurI - pour tout i 2 J0; k ¡1K, la série Pun(i) converge simplement surI.
- la sériePun(k)converge uniformément surI.
Alors S:x7!X
n=0 +1
un(x)est de classeCksurIet, pour tout i6ket toutx2I, S0(x) =X
n=0 +1
un(i)(x).
- pour toutt2J, la fonctionx7!f(x; t)est de classe Ck sur I
- pour tout i2J0; k¡1K et tout x2I, la fonction t7!@@xifi(x; t)est intégrable surJ
- il existe une fonction ' intégrable sur J telle que, pour tout(x; t)2IJ,@@xkfk(x; t)6'(t)
Alors g:x7!
Z
J
f(x; t) dtest de classeCksurIet, pour touti6ket toutx2I, g(i)(x) =
Z
J
@if
@xi(x; t) dt.
A retenir
(mais le reste aussi...)1. Définition des fonctions continues par morceaux, intégrale sur un segment 2. Définition des intégrales impropres convergentes.
Caractérisation pour des fonctions positives et théorèmes de comparaison.
Fonction continue positive d'intégrale (impropre ou non) nulle.
Convergence absolue, semi-convergence. Convergence absolue entraîne convergence. Fonction inté- grable.
3. Changement de variable. Intégration par parties.
Comparaison série/intégrale pour les fonctions positives décroissantes.
Espaces de fonctions intégrables : normes de la convergence en moyenne, en moyenne quadratique.
4. Théorème de convergence dominée, théorème d'intégration terme à terme.
5. Intégrale dépendant d'un paramètre : continuité et dérivabilité.
Attention !
1. Les critères de comparaisons ne s'appliquent que pour les fonctions positives ou bien pour déterminer la convergence absolue d'une intégrale.
2. Intégrabilité : commencer par déterminer sur quel intervalle la fonction est continue par morceaux.
Intégrales dépendant d'un paramètre 11
--- Exercice 1. Étudier la convergence des intégrales suivantes :
1. Z
¡1 +1 dt
et+t2e¡t
2. Z
t=1 +1esint
t dt
3. Z
0 1t¡1
lnt dt
4. Z
t=0 +1
ln
1 +t2 1 +t3
dt
5. Z
t=e2
+1 dt
t(lnt)(ln lnt)
6. Z
t=0 +1 tlnt
(1 +t2)
7. Z
t=0 1 dt
1¡pt
8. Z
t=0
+1sin(t2) dt
9. Z
t=0 1 jlntj
(1¡t)dt
--- Exercice 2. Montrer la convergence des intégrales et prouver les égalités :
Préparez bien en particulier les éventuelles décompositions des fractions rationnelles, pour que l'on puisse en donner directement le résultat en classe sans en refaire le calcul.
1. Z
t=0 +1 dt
(1 +t2)2= 4
Lorsque1 +t2est au dénominateur, c'est très souvent le même changement de variable qui s'applique...
2. Z
t=¡1
+1 dt
t2+ 2t+ 2=
!méthode générale pour intégrer une fonction du typet7!t2+ 21t+ 2? Et s'il s'agissait det7!t2+ 2tt+ 2?
3. Z
t=¡1
+1 dt
(t2+ 1) (t2¡2tcos+ 1)=
2jsinj où/ 0 [].
On pourra chercher à écrire (t2+ 1) (t2¡12tcos+ 1) sous la forme (t2A t+ 1)+(t2¡2B t+cos()Ct+ 1) et remarquer ensuite
queX2¡2cos()X+ 1n'a pas de racine réelle.
4. Z
t=0 2 dt
2 +sint= p3
à l'aide du changement de variableu=tan2t en faisant attention à l'intervalle d'application.
5. Z
t=0 /2
tant
p dt= Z
t=0 +12t2dt
1 +t4= p p2
à l'aide du changement de variableu=ptant
On pourra ensuite chercheraetbtels que, pour toutu2R, 1 +2uu24= a u+b
1 +p2
u+u2+ ¡a u+b
1¡p2 u+u2.
6. Z
t=¡1
1 dt
(1 +t2)p1¡t2= p2
Ici, il vaut mieux essayer de se débarrasser tout de suite de la racine. Par quel changement de variable ? ---
E11 28 novembre 2021
Exercice 3. Existence et calcul deZ
0
dt
1¡xcost oùx2]¡1;1[. On pourra poseru=tan2t.
--- Exercice 4. Soit2]0; [ etIn=
Z
t=0
cosn tdt 1¡sincost.
1. En posant =p+2q et 0=p¡2q, trouver une factorisation de cosp+cosqpour deux réels pet q.
2. Calculer In+In+2en fonction deIn+1.
3. Calculer I0par le changement de variable u=tant2 et déterminerI1à l'aide de I0.
4. ExprimerInen fonction deetn.
--- Exercice 5. Décomposer en éléments simples et calculerIn=
Z
t=0
+1 dt
(t+ 1) (t+ 2):::(t+n).
--- Exercice 6.
1. Montrer l'existence de la constante d'Euler = lim
n!+1
X
k=1 n 1
k¡lnn
! .
2. Calculer Z
t=1
+1t¡E(t)
t2 dten fonction de après avoir prouvé l'existence de cette intégrale.
--- Exercice 7. Intégrales de Gauss
On admet queZ
t=0 +1
e¡t2dt=p
2 . Calculer les intégrales :In=
Z
t=0 +1
e¡t2t2ndt pourn2N.
--- Exercice 8.
1. Écrire et¡1e¡t sous la forme d'une somme de série.
2. Calculer Z
0 +1tdt
sht à l'aide de la somme d'une série.
--- Exercice 9. Calculer les limites des suites de terme généralun:
a. un=
Z
0
+1 xn
xn+2+ 1dx b. un= Z
0
+1 xn
x2n+ 1dx c. un= Z
0
+1sinnx x2 dx
--- Exercice 10. Trouver la limite deZ
0 1
1¡un
p dulorsquen!+1.
En déduire un équivalent deZ
0 n
1¡ 1¡x
n n
r
dxlorsquen!+1.
---
la limite en+1de In=
0
n f(t)e dt.
--- Exercice 12. On veut montrer queZ
0
1Arctant
t dt=X
n=0
+1 (¡1)n
(2n+ 1)2 de deux manières différentes.
1. À l'aide du développement en série entière de la fonction Arctan.
2. À l'aide d'une intégration par parties et du développement de t7!1 +1t2.
--- Exercice 13. d'après Centrale
1. Montrer que la série de terme généralan=n!
nn converge.
2. Comparer anet n
Z
0 +1
tne¡ntdt.
3. En déduire que X
n=1 +1
an= Z
0
+1 t e¡t (1¡t e¡t)2dt.
--- Exercice 14. Montrer queZ
2 +1
((x)¡1) dx=X
n=2 +1
1 n2lnn
--- Exercice 15. On veut montrer queZ
0 +1X
n=1 +1
(¡1)n¡1 n2+t2 dt=
2 X
n=1 +1
(¡1)n¡1 n
1. Montrer que la fonction S:t7!X
n=1 +1
(¡1)n¡1
n2+t2 est définie et continue sur[0;+1[
2. Peut-on appliquer le théorème d'intégration terme à terme ? 3. Quel théorème peut-on appliquer ? Résoudre le problème.
--- Exercice 16. Soitf:x!
Z
0
+1 dt
1 +x3+t3
a. Montrer quef est définie surR+.
b. A l'aide du changement de variableu=1t, calculer f(0). On pourra additionner les deux intégrales égales obtenues.
c. Montrer quef est continue est décroissante.
d. Déterminer lim
+1f.
--- Exercice 17. f:R!Rdéfinie par
f(x) = Z
0
1e¡x(1+t2) 1 +t2 dt E11
a) Montrer quef est dérivable surRet exprimer f0(x).
b) Calculer f(0)et lim+1f.
c) On noteul'application définie paru(x) =f(x2). Montrer
u(x) + Z
0 xe¡t2dt
2
= 4 d) Conclure
Z
0 +1
e¡t2dt=p
2
