MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 13
Semaine du lundi 11 au vendredi 15 janvier — Bonne année 2021 ! ! !
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 12 : intégration sur un intervalle quelconque
1. Intégrales impropres.
1.1 Intégrales impropres sur un intervalle semi-ouvert
Définition : sif est continue par morceaux sur[a, b[, on dit que l’intégrale impropre Z b
a
f(t)dtconverge lorsque x7→
Z x
a
f(t)dt admet une limite enb.
Proposition : cohérence de la notation, pour les fonctions continues par morceaux sur [a, b[ et admettant une limite finie enb.
Remarque : dans la situation de la proposition on parle alors d’intégrale faussement impropre.
Proposition : localisation / reste d’une intégrale impropre (pour tout c ∈]a, b[, Z b
a
converge ssi Z b
c
converge, plus relation de Chasles).
Définition : l’applicationx7→
Z b
x
f(t)dtest appelée reste de l’intégrale impropre convergente.
Proposition : linéarité de l’intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert.
1.2 Intégrales impropres sur un intervalle ouvert Définition de l’intégrale impropre sur un intervalle ouvert.
Proposition : linéarité de l’intégrale impropre un intervalle ouvert.
1.3 Une propriété séquentielle
Proposition : si Z b
a
f(t)dtconverge alors pour toutes suites(an)n et(bn)nqui convergent respectivement versa
et bon a lim
n→+∞
Z bn
an
f(t)dt= Z b
a
f(t)dt.
2. Intégration sur un intervalle quelconque.
2.1 Fonctions intégrables positives
Définition : intégrabilité d’une fonction continue par morceaux et à valeurs réelles positives.
2.2 Critères d’intégrabilité
Théorème (critère de domination) : si une fonction f positive continue par morceaux est dominée par une fonction intégrable, alorsf est intégrable.
Théorème : si f est positive et continue par morceaux sur]a, b[ alors pour tout c ∈]a, b[, f est intégrable sur ]a, b[ssiF :x7→
Z x
c
f(t)dt admet des limites finies enaetb.
Remarque : il ne suffit pas que x 7→ Rx
−xf(t)dt admette une limite en +∞ pour que f soit intégrable sur ]− ∞,+∞[.
2.3 Exemples de référence
Théorème : CNS d’intégrabilité dex7→ 1
xα sur[a,+∞[, sur sur]0, a].
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/3 18 novembre 2020
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2.4 Propriétés de l’intégrale Proposition : croissance de f 7→
Z
I
f; sif ≤galors Z
I
f ≤ Z
I
g.
Théorème : une fonction continue positive d’intégrale nulle sur Iest identiquement nulle.
2.5 Fonctions intégrables complexes
Définition : intégrabilité d’une fonction continue par morceaux à valeurs complexes.
2.6 Changement de variable
Théorème : changement de variable pour une fonction intégrable à valeurs réelles ou complexes.
3. Convergence en moyenne, en moyenne quadratique.
3.1 Norme de la convergence en moyenne
Définition : espace des fonctions continues et intégrables ; normeN1:f 7→
Z
I
|f|de la convergence en moyenne.
Convergence en moyenne.
3.2 Norme de la convergence en moyenne quadratique
Définition : espace des fonctions continues et de carré intégrable ; produit scalaire (f, g)7→R
If g; normeN2 : f 7→
Z
I
|f|2 1/2
de la convergence en moyenne quadratique.
Convergence en moyenne quadratique.
3.3 Lien entre les deux normes
Remarque : la convergence pour la norme infinie, la convergence en moyenne et la convergence en moyenne quadratique sont indépendantes.
Théorème : le produit de deux fonctionsf etgcontinues de carré intégrable est intégrable et|(f|g)| ≤N1(f g)≤ N2(f)N2(g).
Corollaire : continuité du produit scalaire.
4. Suites et séries de fonctions intégrables.
4.1 Théorème de convergence dominée
Remarque : contrairement à l’intégration sur un segment, la convergence uniforme d’une suite de fonctions (fn)intégrables sur un intervalle quelconqueI vers une fonction intégrable surI, ne suffit pas pour assurer que
n→+∞lim Z
I
fn
= Z
I
n→+∞lim fn
.
Théorème de convergence dominée (ADMIS).
Remarque : si Iest borné une fonction dominante constante suffit.
4.2 Intégration terme à terme d’une série de fonctions
Théorème d’intégration terme à terme d’une série de fonctions (ADMIS).
5. Intégrales dépendant d’un paramètre.
5.1 Théorème de continuité sous le signe somme Théorème de continuité sous le signe somme.
Remarque : la domination locale suffit.
Corollaire : sif :A×[a, b]→Cest continue alorsF :x7→
Z b
a
f(x, t)dtest continue sur A.
Remarque : dans le corollaire la continuité par rapport à chacune des variables ne suffit pas.
Corollaire : théorème de limite sous le signe somme.
5.2 Dérivation sous le signe somme Théorème : dérivation sous le signe somme.
Remarque : la domination locale suffit.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/3 18 novembre 2020
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5.3 Application : la fonctionΓ Définition.
Proposition : la fonctionΓest de classeC∞ surR∗+. Théorème : pour toutx∈R∗+,Γ(x+ 1) =xΓ(x).
Corollaire : pour toutn∈N∗,Γ(n) = (n−1)!.
Variations de Γ, limites en0 et+∞.
Semaine suivante : espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/3 18 novembre 2020
